2023-2024學(xué)年湖南師大附中高一（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 2.命題“，”的否定是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，3.一元二次不等式的解集是(    )A.  B.  C.  D. 4.已知，則函數(shù)的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 5.設(shè)，，則有(    )A.  B.  C.  D. 6.已知，，，則下列結(jié)論正確的是(    )A.  B.  C.  D. 7.命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(    )A.  B.  C.  D. 8.在一次調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)閱讀量有如下關(guān)系：同學(xué)甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同，同學(xué)丙、丁閱讀量之和大于甲、乙閱讀量之和，乙的閱讀量大于甲、丁閱讀量之和．那么這四名同學(xué)中閱讀量最大的是(    )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列各組中，表示不同集合的是(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，10.若，，且，則下列不等式恒成立的是(    )A.  B.  C.  D. 11.下列命題中是真命題的是(    )A. “且”是“”的充要條件
B. “”是“”的充分不必要條件
C. “”是“關(guān)于的不等式的解集為空集”的充要條件
D. 若，則12.設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意、，都有、，、除數(shù)，則稱(chēng)是一個(gè)數(shù)域例如有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域；數(shù)集也是一個(gè)數(shù)域下列關(guān)于數(shù)域的命題中是真命題的為(    )A. ，是任何數(shù)域中的元素
B. 若數(shù)集，都是數(shù)域，則是一個(gè)數(shù)域
C. 存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域
D. 若數(shù)集，都是數(shù)域，則有理數(shù)集三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）13.已知不等式的解集是，則不等式的解集是______ ．14.已知集合，若集合至少有個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值為______ ．15.已知集合為非空數(shù)集，且同時(shí)滿足下列條件：
；
(ⅱ)對(duì)任意的，任意的，都有；
(ⅲ)對(duì)任意的且，都有．
給出下列四個(gè)結(jié)論：
；
；
對(duì)任意的，，都有；
對(duì)任意的，，都有．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______ ．四、解答題（本大題共7小題，共75.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.本小題分
設(shè)，，若，則實(shí)數(shù) ______ 17.本小題分
已知集合，；
若，求；
若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.本小題分
已知，，．
求的最小值；
求證：．19.本小題分
設(shè)集合，．
若，求的值；
設(shè)條件：，條件：，若是的充分條件，求的取值范圍．20.本小題分
關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式．
若，求該不等式解集；
若該不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.本小題分
某健身器材廠研制了一種足浴氣血養(yǎng)身機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腿起保健作用根據(jù)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為，對(duì)右腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為．
將臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和表示為的函數(shù)；
求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小值．22.本小題分
符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，．
已知方程的解集為，方程的解集為，直接寫(xiě)出集合、；
在的條件下，設(shè)集合，是否存在實(shí)數(shù)使得且，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
設(shè)函數(shù)，方程的兩個(gè)實(shí)根為和，且滿足若函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值記為，求證：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查了交集的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】
解：，，
．
故選：．2.【答案】 【解析】解：根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，
命題的否定是：，．
故選：．
根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，利用特稱(chēng)命題寫(xiě)出命題的否定命題．
本題考查了全稱(chēng)命題的否定，全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題．3.【答案】 【解析】解：不等式化為：，
解得，
故選：．
不等式化為：，然后根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解．
本題考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
故選：．
由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．
本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5.【答案】 【解析】【分析】本題考查了比較兩數(shù)大小的方法，屬于基礎(chǔ)題．
比較兩個(gè)數(shù)的大小，通常采用作差法，分別計(jì)算的結(jié)果，判斷結(jié)果的符號(hào)．【解答】
解：
，
．
故選：．6.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，，
，，
所以，
因?yàn)?/span>，
，則為偶數(shù)，
所以，
所以，，均錯(cuò)誤，B正確．
故選：．
把集合，變形，推導(dǎo)出，，由此能求出正確選項(xiàng)．
本題考查集合的包含關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7.【答案】 【解析】解：若“，”為真命題，則在上恒成立，
若，則在上是減函數(shù)，最小值為，解得，
若，則，，故在上恒成立．
綜上所述，“，”為真命題的充要條件是．
因此，命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是的真子集，
觀察各選項(xiàng)，可知只有符合題意．
故選：．
根據(jù)不等式恒成立，解出原命題為真命題的充要條件，再找出該條件對(duì)應(yīng)集合的真子集，即可得到本題的答案．
本題主要考查了充分條件與必要條件的概念、不等式恒成立等知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】 【解析】解：設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量分別為，，，，
根據(jù)題意得：，
由得，代入可得；
得，
得，
由得，代入得，則，
結(jié)合可得，綜上
這四名同學(xué)按閱讀量從大到小的順序排列為乙，丙，丁，甲．
故選：．
設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量分別為，，，，根據(jù)題意得：，由此能求出這四名同學(xué)按閱讀量從大到小的順序排列．
本題考查四名同學(xué)按閱讀量從大到小的順序排列的求法，考查合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．9.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A：集合的元素為，，集合的元素為，所以選項(xiàng)A正確，
選項(xiàng)B：集合的元素為點(diǎn)，集合的元素為點(diǎn)，故B正確，
選項(xiàng)C：根據(jù)集合以及函數(shù)的定義可得集合，為同一集合，故C錯(cuò)誤，
選項(xiàng)D：集合的代表元素為，集合的代表元素為點(diǎn)，故D正確，
故選：．
根據(jù)集合元素的性質(zhì)以及函數(shù)的定義對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)判斷即可．
本題考查了集合的含義，涉及到函數(shù)的定義以及集合的表示方法，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】 【解析】解：，
，．
，，．
，A正確；
B.，B正確．
C.，C錯(cuò)誤；
D.，，且，
，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確．
故選：．
利用基本不等式即可判斷出正誤．
本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】 【解析】解：對(duì)于，當(dāng)“且”成立時(shí)，可推出“”，
反之，若“”成立，不一定能得到“且”．
故“且”是“”的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)“”成立時(shí)，可推出“”，
反之，若“”成立，不一定能得到“”．
故“”是“”的充分不必要條件，B正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，若，則關(guān)于的不等式的解集為，充分性不成立．
反之，關(guān)于的不等式的解集為空集，則且，可推出．
故“”是“關(guān)于的不等式的解集為空集”的必要不充分條件，C錯(cuò)誤；
對(duì)于，若，則，可得，故D正確．
故選：．
根據(jù)題意，利用充分必要條件的概念，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)加以計(jì)算，即可得到本題的答案．
本題主要考查了充分條件與必要條件、一元二次不等式的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．12.【答案】 【解析】解：對(duì)于，若，，由互異性，假設(shè)，
則，，故數(shù)域必含元素，，A正確，
對(duì)于，假設(shè)，，
則由數(shù)域的定義知數(shù)集，都是數(shù)域，但集合不是一個(gè)數(shù)域，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，可以證明：任何一個(gè)形如是素?cái)?shù)的集合都是數(shù)域．
而素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，并且不同時(shí)集合也不同，故存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域，C正確；
對(duì)于，根據(jù)定義“若對(duì)任意、，都有、，、除數(shù)”，
可知，有理數(shù)集是范圍最小的數(shù)域，因此若數(shù)集，都是數(shù)域，則有理數(shù)集，D正確．
故選：．
根據(jù)數(shù)域的定義，對(duì)各選項(xiàng)依次加以判斷，可得本題的答案．
本題主要考查集合的基本概念、數(shù)域的定義與判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】 【解析】解：因?yàn)椴坏仁?/span>的解集是，
則，是方程的兩根，則，
解得，，
則不等式可以化簡(jiǎn)為，解得，
所以不等式的解集為，
故答案為：．
由已知可得，是方程的兩根，然后利用韋達(dá)定理建立方程求出，的值，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解．
本題考查了一元二次不等式的解法，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】 【解析】解：已知集合，若集合至少有個(gè)子集，
則集合中至少有個(gè)元素，
則的最小值為．
故答案為：．
根據(jù)集合與元素的關(guān)系可解．
本題考查子集個(gè)數(shù)相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．15.【答案】 【解析】
本題考查元素與集合的關(guān)系，實(shí)際上涉及到有理數(shù)集對(duì)加減乘除運(yùn)算的封閉性，難點(diǎn)是命題的推導(dǎo)，其關(guān)鍵點(diǎn)由已知推導(dǎo)出，然后由代數(shù)式運(yùn)算得出．
利用條件(ⅰ)和(ⅱ)推理可得；
利用(ⅰ)，(ⅲ)得，再結(jié)合(ⅱ)可判斷；
首先得出，然后由條件(ⅱ)可得結(jié)論；
由已知得出，得，推導(dǎo)得出，從而有，，，，再由條件(ⅱ)可判斷．

解：，，即，正確；
，，，，錯(cuò)；
，，又，，所以，正確；
，由，，
由知，，，，，
由得，
當(dāng)，時(shí)，，，，，
，正確，
綜上，正確．
故答案為：．16.【答案】 【解析】解：，

而，
，為的兩個(gè)根
解得
故答案為
根據(jù)全集和，容易求出集合，再根據(jù)已知集合的等式判斷出的值
本題考查集合間的關(guān)系，著重考查補(bǔ)集的知識(shí)點(diǎn)，最后考查韋達(dá)定理，求參數(shù)．屬于基礎(chǔ)題17.【答案】解：集合，；
當(dāng)時(shí)，集合；



當(dāng)時(shí)，滿足題意，則，解得：．
當(dāng)時(shí)，要使，則有，
解得：．
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是 【解析】分析：本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
當(dāng)，根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求；
根據(jù)，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)的取值范圍，注意是的情況．18.【答案】解：因，，則，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值是．
證明：因，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即有，
于是得，
所以成立． 【解析】利用均值不等式直接求解作答．
利用均值不等式求出的范圍，再利用不等式的性質(zhì)推理作答．
本題主要考查基本不等式求最值的方法，基本不等式證明不等式的方法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．19.【答案】解：根據(jù)題意，
將代人，
所以；
是的充分條件，所以集合是集合的子集，
，，
當(dāng)時(shí)，，即．
當(dāng)時(shí)，當(dāng)中只有個(gè)元素時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，
當(dāng)中只有個(gè)元素時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
當(dāng)中有個(gè)元素時(shí)，由知，，，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【解析】根據(jù)題意，將代人，求解得到值；
根據(jù)題意，是成立的充分條件，所以集合是集合的子集，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)中只有個(gè)元素時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)中有個(gè)元素時(shí)，，，由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．．
本題考查充分必要條件的判斷以及集合與集合間的關(guān)系，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．20.【答案】解：時(shí)，原不等式即為：，
解得，
故當(dāng)時(shí)，該不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，不恒成立；
當(dāng)時(shí)，由得；
綜上：． 【解析】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，考查一元二次不等式的解法，突出考查分類(lèi)討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
時(shí)，原不等式為：，解之即可；
依題意，對(duì)分、、三類(lèi)討論后取并，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．21.【答案】解：，
把，代入上式可得：，
解得，
．
令，則，
，
令解得舍，或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值． 【解析】利用待定系數(shù)法計(jì)算，得出關(guān)于的函數(shù)；
令，得出關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最小值．
本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．22.【答案】解：集合，．
不存在，理由如下：
，
當(dāng)時(shí)，，
所以且，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?/span>，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?/span>，
所以，
所以不存在實(shí)數(shù)使得且．
證明：設(shè)，
所以，，
由得，
所以，
由得時(shí)，解集為，
又，
所以． 【解析】集合，．
根據(jù)題意解得集合，，計(jì)算，，即可得出答案．
設(shè)，則，，由得，解得的取值范圍，結(jié)合，即可得出答案．
本題考查集合的運(yùn)算，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

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