?2022-2023學(xué)年山西省太原市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。
1．一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
2．如圖，在中，，是的中線，，，則的長(zhǎng)等于　　

A．5 B．4 C．8 D．6
3．一元二次方程的根的情況為　　
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
4．在一個(gè)不透明的口袋中有紅色、黃色和綠色球共60個(gè)，它們除顏色外，其余完全相同．在不倒出球的情況下，要估計(jì)袋中各種顏色球的個(gè)數(shù)．同學(xué)們通過大量的摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球和綠球的頻率分別穩(wěn)定在，和．由此，推測(cè)口袋中黃色球的個(gè)數(shù)有　　
A．15個(gè) B．20個(gè) C．21個(gè) D．24個(gè)
5．小亮仿照探究一元二次方程解的方法，課后嘗試探究了一元三次方程的解，列表如表：

0
0.5
1
1.5
2




6.875
25
據(jù)此可知，方程的一個(gè)解的取值范圍是　　
A． B． C． D．
6．在復(fù)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)．某小組同學(xué)畫出了如圖關(guān)系圖，組內(nèi)一名同學(xué)在箭頭處填寫了它們之間轉(zhuǎn)換的條件，其中填寫錯(cuò)誤的是　　


A．①，對(duì)角相等 B．③，有一組鄰邊相等
C．②，對(duì)角線互相垂直 D．④，有一個(gè)角是直角
7．今年全球多地持續(xù)高溫天氣，我國(guó)的煤炭進(jìn)口量也大幅增加．據(jù)海關(guān)總署發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2022年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭約2952萬噸，而2020年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭約2056萬噸．設(shè)這三年每年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭的平均增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意列出的方程是　　
A．
B．
C．
D．
8．如圖，四邊形的對(duì)角線于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，和的中點(diǎn)，順次連接，，和得到四邊形．若，，則四邊形的面積等于　　

A．45 B．40 C．20 D．18
9．我市舉辦的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程一鄉(xiāng)村振興成果展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖是該展覽館出入口示意圖．小穎和母親從同一入口進(jìn)入分別參觀，參觀結(jié)束后，她們恰好從同一出口走出的概率是　　

A． B． C． D．
10．如圖，在菱形中擺放了一副三角板．等腰直角三角板的一條直角邊在菱形邊上，直角頂點(diǎn)為的中點(diǎn)，含角的直角三角板的斜邊在菱形的邊上．的度數(shù)等于　　

A． B． C． D．
11．如圖，在菱形中擺放了一副三角板．等腰直角三角板的一條直角邊在菱形邊上，直角頂點(diǎn)為的中點(diǎn)，含角的直角三角板的斜邊在菱形的邊上．連接，若，則的長(zhǎng)等于　　

A．8 B． C．12 D．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題）把答案直接寫在題中的橫線上.
12．已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是1，則實(shí)數(shù)等于 　?。?br /> 13．現(xiàn)在進(jìn)行配紫色游戲：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的和兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，若一個(gè)指針指向紅色．另一個(gè)指針指向藍(lán)色時(shí)就配成紫色；若指針指在分界線上時(shí)．就需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動(dòng)一次配成紫色的概率為 　?。?br />
14．如圖，點(diǎn)．分別是正方形內(nèi)部、外部一點(diǎn)，四邊形與四邊形均為菱形，則的度數(shù)等于 　?。?br />
15．一個(gè)小球從地面豎直向上彈出，它在空中距離地面的高度與彈出的時(shí)間滿足的關(guān)系式為．當(dāng)小球第一次距離地面時(shí)，小球彈出的時(shí)間為 　　秒．
16．如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，的最小值是 　?。?br />
17．如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，的最小值是 　?。?br />
三、解答題（本大題共8個(gè)小題）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．如圖，把兩個(gè)正方形和拼成如圖所示的圖案，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，．求的度數(shù)．

20．直角三角形中“勾三股四弦五”這一特殊關(guān)系，在中國(guó)稱為“商高定理”，在國(guó)外又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．由此發(fā)現(xiàn)三個(gè)連續(xù)正整數(shù)3，4，5，滿足，即前兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方．請(qǐng)你探究：是否存在五個(gè)連續(xù)正整數(shù)，滿足前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和？若存在，請(qǐng)求出這五個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
21．如圖，菱形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線并在其上截取，連接．
求證：四邊形是矩形．

22．如圖，有一個(gè)質(zhì)地均勻且四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的正四面體骰子，小明與小紅按照以下規(guī)則進(jìn)行游戲活動(dòng)：兩人輪流擲這枚骰子，骰子朝下的數(shù)字是幾，就將骰子前進(jìn)幾格．開始骰子在數(shù)字“1”的那一格，小明先擲骰子．請(qǐng)解答下列問題：
（1）小明擲出骰子，數(shù)字3朝下的概率是 　?。?br /> （2）求小紅第一次擲完骰子后，骰子前進(jìn)到數(shù)字“7”那一格的概率（用列表或畫樹狀圖的方法進(jìn)行解答）．

23．在矩形中，的角平分線交邊于點(diǎn)．
（1）如圖1．的角平分線交邊于點(diǎn)，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)．
①作的角平分線交于點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，求①中的長(zhǎng)．

24．某燈具制造廠新研發(fā)出一種節(jié)能護(hù)眼臺(tái)燈，該臺(tái)燈的成本價(jià)為30元盞．試銷一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)按40元盞的價(jià)格銷售，每周可售出600盞；當(dāng)每盞臺(tái)燈售價(jià)在40元至60元之間時(shí)，每盞售價(jià)每上漲2元，每周的銷售量將減少20盞．
（1）若每盞臺(tái)燈銷售價(jià)為46元，求這周的銷售利潤(rùn)；
（2）如果要實(shí)現(xiàn)每周的銷售利潤(rùn)10000元的目標(biāo)，求每盞臺(tái)燈的銷售價(jià)格．
25．操作與探究
操作：在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們對(duì)如圖1的紙片進(jìn)行以下操作，并探究其中的問題：
第一步：如圖2，沿過點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在上，展開鋪平該紙片，折痕為；
第二步：如圖3，繼續(xù)折疊該紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，展開鋪平該紙片，折痕為；
第三步：如圖4，連接，．
探究一：判斷四邊形的形狀，并說明理由；
探究二：在紙片中，，，．
從，兩題中任選一題作答．

．求四邊形的面積．
．設(shè)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接，，求的最小值．


2022-2023學(xué)年山西省太原市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。
1．一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根據(jù)題意得出兩個(gè)關(guān)于的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：，
或，
解得，，
故選：．
2．如圖，在中，，是的中線，，，則的長(zhǎng)等于　　

A．5 B．4 C．8 D．6
【答案】
【分析】由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得出答案．
【解答】解：，是的中線，
，
，
．
故選：．
3．一元二次方程的根的情況為　　
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
【答案】
【分析】先計(jì)算判別式得到△，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：根據(jù)題意△，
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：．
4．在一個(gè)不透明的口袋中有紅色、黃色和綠色球共60個(gè)，它們除顏色外，其余完全相同．在不倒出球的情況下，要估計(jì)袋中各種顏色球的個(gè)數(shù)．同學(xué)們通過大量的摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球和綠球的頻率分別穩(wěn)定在，和．由此，推測(cè)口袋中黃色球的個(gè)數(shù)有　　
A．15個(gè) B．20個(gè) C．21個(gè) D．24個(gè)
【答案】
【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，用頻率估計(jì)概率可知黃色球的數(shù)量為總數(shù)乘以其所占百分比．
【解答】解：推測(cè)口袋中黃色球的個(gè)數(shù)是（個(gè)，
故選：．
5．小亮仿照探究一元二次方程解的方法，課后嘗試探究了一元三次方程的解，列表如表：

0
0.5
1
1.5
2




6.875
25
據(jù)此可知，方程的一個(gè)解的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】通過觀察表格發(fā)現(xiàn)，的一個(gè)解在之間，由此確定解即可．
【解答】解：時(shí)，，
時(shí)，，
的一個(gè)解在之間，
故選：．
6．在復(fù)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)．某小組同學(xué)畫出了如圖關(guān)系圖，組內(nèi)一名同學(xué)在箭頭處填寫了它們之間轉(zhuǎn)換的條件，其中填寫錯(cuò)誤的是　　


A．①，對(duì)角相等 B．③，有一組鄰邊相等
C．②，對(duì)角線互相垂直 D．④，有一個(gè)角是直角
【答案】
【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判斷．
【解答】解：、對(duì)角相等的平行四邊形不一定是矩形，故符合題意；
、有一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確，故不符合題意；
、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，正確，故不符合題意；
、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，正確，故不符合題意．
故選：．
7．今年全球多地持續(xù)高溫天氣，我國(guó)的煤炭進(jìn)口量也大幅增加．據(jù)海關(guān)總署發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2022年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭約2952萬噸，而2020年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭約2056萬噸．設(shè)這三年每年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭的平均增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意列出的方程是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】利用2022年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭的重量年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭的重量這三年每年8月份我國(guó)進(jìn)口煤炭的平均增長(zhǎng)率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得，
故選：．
8．如圖，四邊形的對(duì)角線于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，和的中點(diǎn)，順次連接，，和得到四邊形．若，，則四邊形的面積等于　　

A．45 B．40 C．20 D．18
【答案】
【分析】首先證明四邊形是矩形，利用三角形中位線定理，求出，，可得結(jié)論．
【解答】解：點(diǎn)、、、分別為邊、、、的中點(diǎn)，
、分別是、的中位線，
，且，，且，
同理：，
四邊形是平行四邊形，
又，

，
四邊形是矩形，
，，
四邊形的面積．
故選：．
9．我市舉辦的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程一鄉(xiāng)村振興成果展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖是該展覽館出入口示意圖．小穎和母親從同一入口進(jìn)入分別參觀，參觀結(jié)束后，她們恰好從同一出口走出的概率是　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小穎和母親恰好從同一出口走出的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中小穎和母親恰好從同一出口走出的結(jié)果有3種，
小穎和母親恰好從同一出口走出的概率為，
故選：．
10．如圖，在菱形中擺放了一副三角板．等腰直角三角板的一條直角邊在菱形邊上，直角頂點(diǎn)為的中點(diǎn)，含角的直角三角板的斜邊在菱形的邊上．的度數(shù)等于　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據(jù)四邊形是菱形，可得，然后根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：四邊形是菱形，
，
根據(jù)題意可知：，，
，
．
故選：．
11．如圖，在菱形中擺放了一副三角板．等腰直角三角板的一條直角邊在菱形邊上，直角頂點(diǎn)為的中點(diǎn)，含角的直角三角板的斜邊在菱形的邊上．連接，若，則的長(zhǎng)等于　　

A．8 B． C．12 D．
【答案】
【分析】連接，交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形是菱形，可得，，，根據(jù)題意得，，所以是等邊三角形，然后利用含30度角的直角三角形即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，
，，，
根據(jù)題意可知：，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
．
故選：．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題）把答案直接寫在題中的橫線上.
12．已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是1，則實(shí)數(shù)等于 　?。?br /> 【答案】．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入原方程得到關(guān)于的一元一次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把代入關(guān)于的方程中得：
，
解得．
故答案為：．
13．現(xiàn)在進(jìn)行配紫色游戲：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的和兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，若一個(gè)指針指向紅色．另一個(gè)指針指向藍(lán)色時(shí)就配成紫色；若指針指在分界線上時(shí)．就需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動(dòng)一次配成紫色的概率為 　?。?br />
【答案】．
【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中轉(zhuǎn)動(dòng)一次配成紫色的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有4種等可能的結(jié)果，其中轉(zhuǎn)動(dòng)一次配成紫色的結(jié)果有2種，
轉(zhuǎn)動(dòng)一次配成紫色的概率為，
故答案為：．
14．如圖，點(diǎn)．分別是正方形內(nèi)部、外部一點(diǎn)，四邊形與四邊形均為菱形，則的度數(shù)等于 　?。?br />
【答案】．
【分析】先由四邊形是正方形，，，再由四邊形與四邊形均為菱形，得，，則，所以，則．
【解答】解：四邊形是正方形，
，，
四邊形與四邊形均為菱形，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
故答案為：．
15．一個(gè)小球從地面豎直向上彈出，它在空中距離地面的高度與彈出的時(shí)間滿足的關(guān)系式為．當(dāng)小球第一次距離地面時(shí)，小球彈出的時(shí)間為 　1　秒．
【答案】1．
【分析】把10代入關(guān)系式解方程可求出．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
小球第一次距離地面，
，
故答案為：1．
16．如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，的最小值是 　?。?br />
【答案】．
【分析】取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，由平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．
【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，

四邊形是矩形，，
，，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
過點(diǎn)，即點(diǎn)在線段上隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)有最小值，則即為所求，
，，，
，
，
，
，
△，
，
，
故答案為：．
17．如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．當(dāng)時(shí)，的最小值是 　?。?br />
【答案】．
【分析】取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．
【解答】解：如圖：取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，

四邊形為矩形，，
，，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
過點(diǎn)，即點(diǎn)在線段上隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)有最小值，則即為所求，
，，，
，
，
，
，
△，
，
，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1），
，
，即，
，
，；
（2），
，，，
△，
，
，．
19．如圖，把兩個(gè)正方形和拼成如圖所示的圖案，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，．求的度數(shù)．

【答案】．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到，，平分，平分，從而可以得到的度數(shù)．
【解答】解：四邊形是正方形，四邊形是正方形，
，，
，，
，
即的度數(shù)為．
20．直角三角形中“勾三股四弦五”這一特殊關(guān)系，在中國(guó)稱為“商高定理”，在國(guó)外又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．由此發(fā)現(xiàn)三個(gè)連續(xù)正整數(shù)3，4，5，滿足，即前兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方．請(qǐng)你探究：是否存在五個(gè)連續(xù)正整數(shù)，滿足前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和？若存在，請(qǐng)求出這五個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】存在，這五個(gè)連續(xù)正整數(shù)為10，11，12，13，14，理由見解析．
【分析】設(shè)這五個(gè)連續(xù)整數(shù)分別為，，，，，由題意：前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和，列出一元二次方程，解方程取其正值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：存在，這五個(gè)連續(xù)正整數(shù)為10，11，12，13，14，理由如下：
設(shè)這五個(gè)連續(xù)整數(shù)分別為，，，，，
由題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意舍去），
這五個(gè)連續(xù)正整數(shù)為10，11，12，13，14．
21．如圖，菱形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線并在其上截取，連接．
求證：四邊形是矩形．

【答案】見解析．
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，求出，，再根據(jù)矩形的判定定理證明即可．
【解答】證明：四邊形是菱形，
，，
，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形．
22．如圖，有一個(gè)質(zhì)地均勻且四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的正四面體骰子，小明與小紅按照以下規(guī)則進(jìn)行游戲活動(dòng)：兩人輪流擲這枚骰子，骰子朝下的數(shù)字是幾，就將骰子前進(jìn)幾格．開始骰子在數(shù)字“1”的那一格，小明先擲骰子．請(qǐng)解答下列問題：
（1）小明擲出骰子，數(shù)字3朝下的概率是 　?。?br /> （2）求小紅第一次擲完骰子后，骰子前進(jìn)到數(shù)字“7”那一格的概率（用列表或畫樹狀圖的方法進(jìn)行解答）．

【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有16種等可能的結(jié)果，其中骰子前進(jìn)到數(shù)字“7”那一格的結(jié)果（數(shù)字和為有3種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明擲出骰子，數(shù)字3朝下的概率是，
故答案為：；
（2）列表如下：

1
2
3
4
1




2




3




4




共有16種等可能的結(jié)果，其中骰子前進(jìn)到數(shù)字“7”那一格的結(jié)果（數(shù)字和為有3種，
骰子前進(jìn)到數(shù)字“7”那一格的概率．
23．在矩形中，的角平分線交邊于點(diǎn)．
（1）如圖1．的角平分線交邊于點(diǎn)，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)．
①作的角平分線交于點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，求①中的長(zhǎng)．

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得矩形是正方形，連接，點(diǎn)與點(diǎn)重合；
②利用正方形的性質(zhì)及勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）方法一、四邊形是矩形，
，，
、分別是、的平分線，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
方法二、四邊形是矩形，
，，
、分別是、的平分線，
，，
，，
，，
，
；
（2）①根據(jù)題意可知：矩形是正方形，

②矩形是正方形，
，，
，
，
．
24．某燈具制造廠新研發(fā)出一種節(jié)能護(hù)眼臺(tái)燈，該臺(tái)燈的成本價(jià)為30元盞．試銷一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)按40元盞的價(jià)格銷售，每周可售出600盞；當(dāng)每盞臺(tái)燈售價(jià)在40元至60元之間時(shí)，每盞售價(jià)每上漲2元，每周的銷售量將減少20盞．
（1）若每盞臺(tái)燈銷售價(jià)為46元，求這周的銷售利潤(rùn)；
（2）如果要實(shí)現(xiàn)每周的銷售利潤(rùn)10000元的目標(biāo)，求每盞臺(tái)燈的銷售價(jià)格．
【分析】（1）由題意列式計(jì)算即可；
（2）每盞臺(tái)燈的銷售價(jià)格為元，利用每周利潤(rùn)每盞臺(tái)燈的銷售利潤(rùn)周銷售量，列出一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）每盞臺(tái)燈銷售價(jià)為46元，這周的銷售利潤(rùn)為：（元，
答：若每盞臺(tái)燈銷售價(jià)為46元，這周的銷售利潤(rùn)為8640元；
（2）設(shè)每盞臺(tái)燈的銷售價(jià)格為元，
由題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意舍去），
，
答：如果要實(shí)現(xiàn)每周的銷售利潤(rùn)10000元的目標(biāo)，每盞臺(tái)燈的銷售價(jià)格為50元．
25．操作與探究
操作：在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們對(duì)如圖1的紙片進(jìn)行以下操作，并探究其中的問題：
第一步：如圖2，沿過點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在上，展開鋪平該紙片，折痕為；
第二步：如圖3，繼續(xù)折疊該紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，展開鋪平該紙片，折痕為；
第三步：如圖4，連接，．
探究一：判斷四邊形的形狀，并說明理由；
探究二：在紙片中，，，．
從，兩題中任選一題作答．

．求四邊形的面積．
．設(shè)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接，，求的最小值．

【答案】探究一：四邊形是菱形，理由見解答部分；
探究二：；
．
【分析】探究一：根據(jù)第二步折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)第一步折疊的性質(zhì)可得，即可證明，然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形即可證明；
探究二：．過點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則根據(jù)題意可得，即，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理列方程求出的長(zhǎng)度，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，然后根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，得出，根據(jù)勾股定理先求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)．
【解答】解：探究一：四邊形是菱形，理由如下：
如圖，設(shè)，交于點(diǎn)，

根據(jù)第二步折疊的性質(zhì)可得，，
垂直平分，
根據(jù)第一步折疊的性質(zhì)可得，
在和中，
，
，
，
四邊形是菱形；
探究二：．
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，
，
，
，
設(shè)，則，，
則，解得，
，，，
四邊是菱形，
，，
，，，
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，
，，，
則根據(jù)勾股定理可得，，
解得（負(fù)值舍去），
菱形的邊長(zhǎng)為4，
，
四邊形的面積為；
．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，

點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
的最小值為．


聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/9/19 13:37:20；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：ffbs8bs@126.com；學(xué)號(hào)：210051

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