?2022-2023學(xué)年山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．（3分）將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是　　
A．、 B．、10 C．8、 D．8、10
2．（3分）已知線段、、、，如果，那么下列式子中一定正確的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）如圖，在四邊形中，，交于點(diǎn)，再添加什么條件可以判定四邊形為矩形　　

A．， B．， C．， D．，
4．（3分）一元二次方程的根的情況是　　
A．有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
5．（3分）下列命題中，真命題是　　
A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
6．（3分）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程，可列表如下：

0
0.5
1
1.1
1.2
1.3





0.84
2.29
則方程的正數(shù)解滿足　　
A． B． C． D．
7．（3分）小明在一次用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)可能是　　

A．從一個(gè)裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除顏色外，完全相同），摸到紅球的概率
B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率
C．從一副去掉大小王的撲克牌，任意抽取一張，抽到黑桃的概率
D．任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)的概率
8．（3分）如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)，，，和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)，或同時(shí)閉合開關(guān)，都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機(jī)閉合兩個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為　　

A． B． C． D．
9．（3分）如圖，中，，，．將沿圖中的線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形與原三角形相似的是　　
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
10．（3分）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形．連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為　　

A． B． C． D．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，則　　度．

12．（3分）一個(gè)不透明的箱子中裝有15個(gè)球，它們除顏色外其余都相同，從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色并放回．若摸到紅球的概率是0.6，則箱子中紅球有 　　個(gè)．
13．（3分）已知一元二次方程的一根為2，則另一個(gè)根為 　?。?br /> 14．（3分）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)，固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)到端點(diǎn)的距離是 　　．

15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一菱形，已知，點(diǎn)在軸上，，先將菱形沿軸的正方向無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，點(diǎn)的落點(diǎn)依次為，，，，則的坐標(biāo)為 　　．

三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共55分．解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
16．（12分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
17．（6分）如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，在方格紙中．
（1）請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使，，則點(diǎn)坐標(biāo)為 　　；
（2）以原點(diǎn)為位似中心，相似比為2，任第一象限內(nèi)將放大，畫出放大后的圖形△；
（3）△的面積為 　?。?br />
18．（7分）我們定義：如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
（1）請(qǐng)說(shuō)明方程是倍根方程；
（2）若是倍根方程，則　?。?br /> （3）若一元二次方程是倍根方程，則，，的等量關(guān)系是 　?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）．
19．（7分）在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明和小紅兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲（每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并在每個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字）．游戲規(guī)則如下：兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和小于12，則小明獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和等于12，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和大于12，則小紅獲勝（若指針停在等分線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份內(nèi)為止）．
（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果；
（2）分別求出小明和小紅獲勝的概率．

20．（8分）商場(chǎng)銷售某種商品，進(jìn)價(jià)200元，每件售價(jià)250元，平均每天售出30件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商品銷售價(jià)每降低1元時(shí)，平均每天可多售出2件．
（1）當(dāng)商品售價(jià)降價(jià)5元時(shí)，每天銷售量可達(dá)到 　　件，每天盈利 　　元；
（2）為了讓顧客得到更多的實(shí)惠，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)通過(guò)銷售這種商品每天盈利可達(dá)到2100元？
（3）在（2）題條件下，降價(jià)后每件商品的利潤(rùn)率是 　?。?br /> 21．（7分）以四邊形的邊、為邊分別向外側(cè)作等邊三角形和，連接、，交點(diǎn)為．

（1）當(dāng)四邊形為正方形時(shí)（如圖，和的數(shù)量關(guān)系是 　??；
（2）當(dāng)四邊形為矩形時(shí)（如圖，和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)加以證明；
（3）四邊形由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過(guò)程中（如圖，則的度數(shù)是 　?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）

22．（8分）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．
（1）如圖1，在中，為角平分線，，，求證：為的完美分割線．
（2）在中，，是的完美分割線，且為等腰三角形，求的度數(shù)．
（3）如圖2，中，，，是的完美分割線，且是以為底邊的等腰三角形，求完美分割線的長(zhǎng)．


2022-2023學(xué)年山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．（3分）將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是　　
A．、 B．、10 C．8、 D．8、10
【答案】
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根據(jù)方程的特點(diǎn)得出一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可．
【解答】解：，
，
所以一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為、，
故選：．
2．（3分）已知線段、、、，如果，那么下列式子中一定正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可判斷．
【解答】解：，
，
故選：．
3．（3分）如圖，在四邊形中，，交于點(diǎn)，再添加什么條件可以判定四邊形為矩形　　

A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】先證四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：再添加條件為，可以判定四邊形為矩形，理由如下：
，，
四邊形是平行四邊形，
又，
平行四邊形是矩形，
故選：．
4．（3分）一元二次方程的根的情況是　　
A．有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
【答案】
【分析】先把方程化為一般式，再計(jì)算出根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：方程化為一般式為，
△，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
故選：．
5．（3分）下列命題中，真命題是　　
A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
【答案】
【分析】、根據(jù)矩形的定義作出判斷；
、根據(jù)菱形的性質(zhì)作出判斷；
、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；
、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷．
【解答】解：、兩條對(duì)角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)正確；
、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
6．（3分）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程，可列表如下：

0
0.5
1
1.1
1.2
1.3





0.84
2.29
則方程的正數(shù)解滿足　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得答案．
【解答】解：由時(shí)，，時(shí)，，
由函數(shù)的增減性，得
的正數(shù)解滿足，
故選：．
7．（3分）小明在一次用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)可能是　　

A．從一個(gè)裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除顏色外，完全相同），摸到紅球的概率
B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率
C．從一副去掉大小王的撲克牌，任意抽取一張，抽到黑桃的概率
D．任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)的概率
【答案】
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在附近波動(dòng)，即其概率，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為者即為正確答案．
【解答】解：、從一個(gè)裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除顏色外，完全相同），摸到紅球的概率為，故此選項(xiàng)符合題意；
、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；
、從一副去掉大小王的撲克牌，任意抽取一張，抽到黑桃的概率；故此選項(xiàng)不符合題意；
、任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)的概率不確定，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
8．（3分）如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)，，，和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)，或同時(shí)閉合開關(guān)，都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機(jī)閉合兩個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：畫樹狀圖得：

共有12種等可能的結(jié)果，現(xiàn)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的有4種情況，
小燈泡發(fā)光的概率為；
故選：．
9．（3分）如圖，中，，，．將沿圖中的線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形與原三角形相似的是　　
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．
【解答】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似；
②陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似；
③兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似；
④兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似．
故選：．
10．（3分）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形．連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為　　

A． B． C． D．
【答案】
【分析】由大正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，在直角三角形中使用勾股定理可求出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由三角形為等腰直角三角形可證得三角形也為等腰直角三角形，設(shè)，則，由，可解得．進(jìn)而可得．
【解答】解：由圖可知，，，
大正方形是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，
故，設(shè)，
則在中，有，
即，解得：，（舍去）．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．
四邊形為正方形，為對(duì)角線，
為等腰直角三角形，
，
故為等腰直角三角形．
設(shè)，則，
，
解得：．
．
故選：．

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，則　65　度．

【答案】65．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，
，
，
，
故答案為：65．
12．（3分）一個(gè)不透明的箱子中裝有15個(gè)球，它們除顏色外其余都相同，從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色并放回．若摸到紅球的概率是0.6，則箱子中紅球有 　9　個(gè)．
【答案】9．
【分析】利用概率公式列式計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)有紅球個(gè)，
根據(jù)題意得：，
解得：．
故箱子中紅球有9個(gè)．
故答案為：9．
13．（3分）已知一元二次方程的一根為2，則另一個(gè)根為 　3　．
【答案】3．
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，根據(jù)一根為2，確定出另一個(gè)根即可．
【解答】解：設(shè)另一根為，
一元二次方程的一根為2，
，
解得：，
故另一根為3．
故答案為：3．
14．（3分）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)，固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)到端點(diǎn)的距離是 　?。?br />
【答案】．
【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比值求出，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，
，
，
故答案為：．
15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一菱形，已知，點(diǎn)在軸上，，先將菱形沿軸的正方向無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，點(diǎn)的落點(diǎn)依次為，，，，則的坐標(biāo)為 　，?。?br />
【答案】，．
【分析】連接，根據(jù)條件可以求出，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4．由于，因此點(diǎn)向右平移1348（即即可到達(dá)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：連接，如圖所示，

四邊形是菱形，
．
，
是等邊三角形．
．
．
，
．
畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示．
由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4．
，
點(diǎn)向右平移1348（即到點(diǎn)．
的坐標(biāo)為，，
的坐標(biāo)為，，
的坐標(biāo)為，．
故答案為：，．
三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共55分．解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
16．（12分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3），．
【分析】（1）方程利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解；
（2）利用配方法求出解即可；
（3）利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1），
或，
；
（2），
，
，即，
，
；
（3），
，
，
或，
，．
17．（6分）如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，在方格紙中．
（1）請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使，，則點(diǎn)坐標(biāo)為 　　；
（2）以原點(diǎn)為位似中心，相似比為2，任第一象限內(nèi)將放大，畫出放大后的圖形△；
（3）△的面積為 　　．

【答案】（1）；
（2）見解答；
（3）16．
【分析】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為所以原點(diǎn)的坐標(biāo)就在點(diǎn)左2個(gè)格，下3個(gè)格的點(diǎn)上．由此建立直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接，，，并延長(zhǎng)到，，，使，，的長(zhǎng)度是，，的2倍．然后順次連接三點(diǎn)；
（3）從網(wǎng)格上可看出三角形的底和高，利用三角形的面積公式計(jì)算．
【解答】解：（1）如圖所示：建立半面直角坐標(biāo)系，；

（2）如圖所示：△即為所求；

（3）．

故答案為：（1）；（3）16．
18．（7分）我們定義：如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
（1）請(qǐng)說(shuō)明方程是倍根方程；
（2）若是倍根方程，則　或　．
（3）若一元二次方程是倍根方程，則，，的等量關(guān)系是 　?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）．
【答案】（1）說(shuō)明過(guò)程見解答；
（2）或；
（3）．
【分析】（1）利用因式分解法，可求出方程的兩根為，，由，可得出方程是倍根方程；
（2）利用因式分解法，可求出方程的兩根為，，結(jié)合是倍根方程，即可求出的值；
（3）根據(jù)倍根方程的定義，可設(shè)方程的兩根分別為，，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，，由，可得出，將代入中，可得出．
【解答】解：（1），即，
或，
解得：，，
，
方程是倍根方程；
（2），
，，
又是倍根方程，
或，
或．
故答案為：或；
（3）一元二次方程是倍根方程，
設(shè)方程的兩根分別為，，
根據(jù)題意得：，，
，
，
．
故答案為：．
19．（7分）在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明和小紅兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲（每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并在每個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字）．游戲規(guī)則如下：兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和小于12，則小明獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和等于12，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和大于12，則小紅獲勝（若指針停在等分線上，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份內(nèi)為止）．
（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果；
（2）分別求出小明和小紅獲勝的概率．

【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，得出游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果數(shù)；
（2）根據(jù)（1）得出兩數(shù)和共有的情況數(shù)和其中和小于12的情況、和大于12的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意列表如下：

6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
可見，兩數(shù)和共有12種等可能結(jié)果；

（2）由（1）可知，兩數(shù)和共有12種等可能的情況，其中和小于12的情況有6種，和大于12的情況有3種，
小明獲勝的概率為；
小紅獲勝的概率為．
20．（8分）商場(chǎng)銷售某種商品，進(jìn)價(jià)200元，每件售價(jià)250元，平均每天售出30件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商品銷售價(jià)每降低1元時(shí)，平均每天可多售出2件．
（1）當(dāng)商品售價(jià)降價(jià)5元時(shí)，每天銷售量可達(dá)到 　40　件，每天盈利 　　元；
（2）為了讓顧客得到更多的實(shí)惠，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)通過(guò)銷售這種商品每天盈利可達(dá)到2100元？
（3）在（2）題條件下，降價(jià)后每件商品的利潤(rùn)率是 　?。?br /> 【答案】（1）40；1800；
（2）20元；
（3）．
【分析】（1）利用每天的銷售量每件商品降低的價(jià)錢，可求出每天的銷售量；利用每天銷售該商品獲得的總利潤(rùn)每件的銷售利潤(rùn)每天的銷售量，可求出每天盈利金額；
（2）設(shè)每件商品降價(jià)元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每天可售出件，利用每天銷售該商品獲得的總利潤(rùn)每件的銷售利潤(rùn)每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合要讓顧客得到更多的實(shí)惠，可得出每件商品應(yīng)降價(jià)20元；
（3）利用利潤(rùn)率，即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）

（件，


（元，
當(dāng)商品售價(jià)降價(jià)5元時(shí)，每天銷售量可達(dá)到40件，每天盈利1800元．
故答案為：40；1800．
（2）設(shè)每件商品降價(jià)元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每天可售出件，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，，
又要讓顧客得到更多的實(shí)惠，
．
答：每件商品應(yīng)降價(jià)20元．
（3），
在（2）題條件下，降價(jià)后每件商品的利潤(rùn)率是．
故答案為：．
21．（7分）以四邊形的邊、為邊分別向外側(cè)作等邊三角形和，連接、，交點(diǎn)為．

（1）當(dāng)四邊形為正方形時(shí)（如圖，和的數(shù)量關(guān)系是 　相等??；
（2）當(dāng)四邊形為矩形時(shí)（如圖，和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)加以證明；
（3）四邊形由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過(guò)程中（如圖，則的度數(shù)是 　　．（直接寫出結(jié)果）

【答案】（1）相等；理由見解析部分；
（2）．證明見解析部分；
（3）．理由見解析部分．
【分析】（1）結(jié)論：．證明即可．
（2）結(jié)論：．證明即可．
（3）結(jié)論：不發(fā)生變化．利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可．
【解答】解：（1）結(jié)論：．
理由：如圖①中，

四邊形是正方形，
，
，都是等邊三角形，
，，，
，
，
，
．

（2）結(jié)論：．
理由：如圖②中，

為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，即，
，
．

（3）結(jié)論：不發(fā)生變化．
理由：如圖③中，

為等邊三角形，
，
，均為等邊三角形，
，，，，
，
，
，
．
22．（8分）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．
（1）如圖1，在中，為角平分線，，，求證：為的完美分割線．
（2）在中，，是的完美分割線，且為等腰三角形，求的度數(shù)．
（3）如圖2，中，，，是的完美分割線，且是以為底邊的等腰三角形，求完美分割線的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①不是等腰三角形，②是等腰三角形，③即可．
（2）分三種情形討論即可①如圖2，當(dāng)時(shí)，②如圖3中，當(dāng)時(shí)，③如圖4中，當(dāng)時(shí)，分別求出即可．
（3）設(shè)，利用，得，列出方程即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1中，，，
，
不是等腰三角形，
平分，
，
，
為等腰三角形，
，，
，
是的完美分割線．
（2）①當(dāng)時(shí)，如圖2，，
，
，
．
②當(dāng)時(shí)，如圖3中，，
，
，
．
③當(dāng)時(shí)，如圖4中，，
，
，
，矛盾，舍棄．
或．
（3）由已知，
，
，設(shè)，
，
，
，
，
，
．




聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/9/19 13:37:42；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：ffbs8bs@126.com；學(xué)號(hào)：210051

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