第四講 探究彈力和彈簧伸長的關(guān)系?        知識(shí)梳理一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/span>1.探究彈簧彈力與形變量的關(guān)系。2.學(xué)會(huì)利用圖像法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，探究物理規(guī)律。二、實(shí)驗(yàn)原理1.如圖所示，彈簧下端懸掛鉤碼時(shí)會(huì)伸長，平衡時(shí)彈簧產(chǎn)生的彈力與所掛鉤碼的重力大小相等．2.用刻度尺測(cè)出彈簧在不同鉤碼拉力下的伸長量x，建立直角坐標(biāo)系，以縱坐標(biāo)表示彈力大小F，以橫坐標(biāo)表示彈簧的伸長量x，在坐標(biāo)系中描出實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的各組(x，F)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，用平滑的曲線連接起來，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得的圖線，就可探知彈力大小與形變量間的關(guān)系．三、實(shí)驗(yàn)器材鐵架臺(tái)、彈簧、毫米刻度尺、鉤碼若干、坐標(biāo)紙．四、實(shí)驗(yàn)步驟1.將彈簧的一端掛在鐵架臺(tái)上，讓其自然下垂，用刻度尺測(cè)出彈簧自然伸長狀態(tài)時(shí)的長度 l0，即原長．2.如圖所示，在彈簧下端掛質(zhì)量為m1的鉤碼，測(cè)出此時(shí)彈簧的長度l1，記錄m1和l1，得出彈簧的伸長量x1，將這些數(shù)據(jù)填入自己設(shè)計(jì)的表格中．3.改變所掛鉤碼的質(zhì)量，測(cè)出對(duì)應(yīng)的彈簧長度，記錄m2、m3、m4、m5和相應(yīng)的彈簧長度l2、l3、l4、l5，并得出每次彈簧的伸長量x2、x3、x4、x5.鉤碼個(gè)數(shù)長度伸長量x鉤碼質(zhì)量m彈力F0l0   1l1x1＝l1－l0m1F12l2x2＝l2－l0m2F23l3x3＝l3－l0m3F3…………… 五、數(shù)據(jù)處理1.以彈力F(大小等于所掛鉤碼的重力)為縱坐標(biāo)，以彈簧的伸長量x為橫坐標(biāo)，用描點(diǎn)法作圖．用平滑的曲線連接各點(diǎn)，得出彈力F隨彈簧伸長量x變化的圖線．2.以彈簧的伸長量為自變量，寫出圖線所代表的函數(shù)表達(dá)式．首先嘗試一次函數(shù)，如果不行則考慮二次函數(shù)．3.得出彈力和彈簧形變量之間的定量關(guān)系，解釋函數(shù)表達(dá)式中常數(shù)的物理意義．六、注意事項(xiàng)1.不要超過彈性限度：實(shí)驗(yàn)中彈簧下端掛的鉤碼不要太多，以免彈簧被過度拉伸，超過彈簧的彈性限度．2.盡量多測(cè)幾組數(shù)據(jù)：要使用輕質(zhì)彈簧，且要盡量多測(cè)幾組數(shù)據(jù)．七、誤差分析
1.鉤碼標(biāo)稱值不準(zhǔn)確、彈簧長度測(cè)量不準(zhǔn)確以及畫圖時(shí)描點(diǎn)連線不準(zhǔn)確等都會(huì)引起實(shí)驗(yàn)誤差。
2.懸掛鉤碼數(shù)量過多，導(dǎo)致彈簧的形變量超出了其彈性限度，不再符合胡克定律(F=kx)，故圖線發(fā)生彎曲。

3.水平放置彈簧測(cè)量其原長，由于彈簧自身受到重力，將其懸掛起來后會(huì)有一定的伸長量，故圖像橫軸截距不為零。?        知識(shí)訓(xùn)練考點(diǎn)一、教材原型試驗(yàn)例1、(2022·廣東選擇考模擬)某實(shí)驗(yàn)小組在“探究彈力和彈簧伸長量的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)中，操作過程如下：(1)將彈簧水平放置并處于自然狀態(tài)，將標(biāo)尺的零刻度線與彈簧一端對(duì)齊，彈簧的另一端所指的標(biāo)尺刻度如圖甲所示，則該讀數(shù)為________cm。(2)接著，將彈簧豎直懸掛，由于________的影響，不掛鉤碼時(shí)，彈簧也有一定的伸長，其下端所指的標(biāo)尺刻度如圖乙所示；圖丙是在彈簧下端懸掛鉤碼后所指的標(biāo)尺刻度，則彈簧因懸掛鉤碼引起的伸長量為________cm。(3)逐一增掛鉤碼，記下每增加一只鉤碼后彈簧下端所指的標(biāo)尺刻度和對(duì)應(yīng)的鉤碼總重力。該實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)在處理數(shù)據(jù)時(shí)，將鉤碼總重力F作為橫坐標(biāo)，彈簧伸長量Δl作為縱坐標(biāo)，作出了如圖丁所示的a、b兩條Δl－F圖像，其中直線b中的是用掛鉤碼后的長度減去________(選填“圖甲”或“圖乙”)所示長度得到的。【答案】(1)7.0　(2)彈簧自身重力　6.9　(3)圖甲【解析】(1)該讀數(shù)為7.0 cm；(2)由于彈簧自身重力的影響，不掛鉤碼時(shí)，彈簧也有一定的伸長，其下端所指的標(biāo)尺刻度為7.4 cm；在彈簧下端懸掛鉤碼后所指的標(biāo)尺刻度為14.3 cm，則彈簧因懸掛鉤碼引起的伸長量為14.3 cm－7.4 cm＝6.9 cm；(3)由題圖丁直線b的位置可知，當(dāng)外力F＝0時(shí)，彈簧有伸長量，則可知直線b中的是用掛鉤碼后的長度減去圖甲所示長度得到的。課堂隨練訓(xùn)練1、(2021·北京密云區(qū)測(cè)試)某實(shí)驗(yàn)小組同學(xué)用鐵架臺(tái)、彈簧和多個(gè)質(zhì)量均為m=50 g的鉤碼探究在彈性限度內(nèi)彈簧彈力與彈簧伸長量的關(guān)系,如圖甲所示。(1)該組同學(xué)在做實(shí)驗(yàn)時(shí),依次在彈簧下端掛上鉤碼,并在表格內(nèi)分別記下鉤碼靜止時(shí)彈簧下端指針?biāo)鶎?duì)應(yīng)的刻度,記錄數(shù)據(jù)如下:鉤碼個(gè)數(shù)12345彈力F/N0.51.01.52.02.5指針對(duì)應(yīng)刻度/cm12.51 15.3916.1117.30當(dāng)掛2個(gè)鉤碼時(shí),指針對(duì)應(yīng)刻度如圖甲所示,將指針示數(shù)填入表格;在以彈簧彈力為縱軸、指針對(duì)應(yīng)刻度L為橫軸的坐標(biāo)系中,如圖乙所示,描點(diǎn)畫出第2組對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn),并連線得到F-L 圖像。請(qǐng)根據(jù)圖像分析并得出以下結(jié)論:①彈簧原長為　　　　 cm; ②彈簧的勁度系數(shù)k=　　　　 (結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。 (2)彈簧與繩有一點(diǎn)相似之處,都可以認(rèn)為是一個(gè)傳遞力的媒介。某位同學(xué)根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)推廣認(rèn)為:將兩個(gè)同樣的彈簧串接在一起后,彈簧的勁度系數(shù)k與原來一樣。你認(rèn)為他的想法正確嗎?并解釋一下你的理由。                   　。 【答案】(1)13.70　圖見解析①11.40　②0.42 N/cm(2)不正確;兩個(gè)勁度系數(shù)相同的彈簧串接后,施加外力時(shí),與單獨(dú)一個(gè)彈簧相比,彈簧的等效伸長量變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,所以勁度系數(shù)發(fā)生改變【解析】(1)刻度尺的讀數(shù)為13.70 cm,描點(diǎn)并作圖如圖所示。①由圖知,彈力為0時(shí),彈簧原長為11.40 cm。②根據(jù)胡克定律F=kx可知,圖像斜率的物理意義為彈簧的勁度系數(shù),則k= N/cm≈0.42 N/cm。(2)不正確;兩個(gè)勁度系數(shù)相同的彈簧串接后,施加外力時(shí),與單獨(dú)一個(gè)彈簧相比,彈簧的等效伸長量變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,所以勁度系數(shù)發(fā)生改變。訓(xùn)練2、一個(gè)實(shí)驗(yàn)小組做“探究彈簧彈力與彈簧伸長關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)。(1)甲采用如圖a所示裝置，質(zhì)量不計(jì)的彈簧下端掛一個(gè)小盤，在小盤中增添砝碼，改變彈簧的彈力，實(shí)驗(yàn)中做出小盤中砝碼重力隨彈簧伸長量x變化的圖象如圖b所示。(重力加速度g＝10 m/s2)①利用圖b中圖象，可求得該彈簧的勁度系數(shù)為________ N/m。②利用圖b中圖象，可求得小盤的質(zhì)量為________ kg，小盤的質(zhì)量會(huì)導(dǎo)致彈簧勁度系數(shù)的測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值相比________(選填“偏大”“偏小”或“相同”)。(2)為了制作一個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)，乙同學(xué)選了A、B兩根規(guī)格不同的彈簧進(jìn)行測(cè)試，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)繪出如圖c所示的圖象，為了制作一個(gè)量程較大的彈簧測(cè)力計(jì)，應(yīng)選彈簧________(填“A”或“B”)；為了制作一個(gè)精確度較高的彈簧測(cè)力計(jì)，應(yīng)選彈簧________(填“A”或“B”)。【答案】(1)①200　②0.1　相同　(2)B　A【解析】(1)①由圖b中圖象可知，彈簧的勁度系數(shù)：k＝＝ N/cm＝2 N/cm＝200 N/m。②由圖b圖象可知：mg＝kx1，解得小盤質(zhì)量：m＝＝ kg＝0.1 kg；應(yīng)用圖象法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，小盤的質(zhì)量不會(huì)影響彈簧勁度系數(shù)的測(cè)量結(jié)果，即測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值相同。(2)由圖c可知，彈簧A所受拉力超過4 N則超過彈性限度，彈簧B所受拉力超過8 N則超過彈性限度，故為了制作一個(gè)量程較大的彈簧測(cè)力計(jì)，應(yīng)選彈簧B；由圖c可知，在相同拉力作用下，彈簧A的伸長量大，則為了制作一個(gè)精確度較高的彈簧測(cè)力計(jì)，應(yīng)選彈簧A。考點(diǎn)二、創(chuàng)新型實(shí)驗(yàn)例1、某實(shí)驗(yàn)小組探究彈簧的勁度系數(shù)k與其長度(圈數(shù))的關(guān)系．實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示．一均勻長彈簧豎直懸掛，7個(gè)指針P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分別固定在彈簧上距懸點(diǎn)0、10、20、30、40、50、60圈處；通過旁邊豎直放置的刻度尺，可以讀出指針的位置，P0指向0刻度．設(shè)彈簧下端未掛重物時(shí)，各指針的位置記為x0；掛有質(zhì)量為0.100 kg的砝碼時(shí)，各指針的位置記為x.測(cè)量結(jié)果及部分計(jì)算結(jié)果如下表所示(n為彈簧的圈數(shù)，取重力加速度為9.80 m/s2)．已知實(shí)驗(yàn)所用彈簧總?cè)?shù)為60，整個(gè)彈簧的自由長度為11.88 cm. P1P2P3P4P5P6x0(cm)2.044.066.068.0510.0312.01x(cm)2.645.267.8110.3012.9315.41n102030405060k(N/m)163①56.043.633.828.8(m/N)0.006 1②0.017 90.022 90.029 60.034 7 (1)將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整：①________，②________.(2)以n為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，在圖給出的坐標(biāo)紙上畫出－n圖像．(3)圖中畫出的直線可近似認(rèn)為通過原點(diǎn)．若從實(shí)驗(yàn)中所用的彈簧截取圈數(shù)為n的一段彈簧，該彈簧的勁度系數(shù)k與其圈數(shù)n的關(guān)系表達(dá)式為k＝________ N/m，該彈簧的勁度系數(shù)k與其自由長度l0(單位為m)的關(guān)系表達(dá)式為k＝________ N/m.【答案】(1)①81.7　②0.012 2　(2)見解析圖(3)(～均可)　(～均可)【解析】(1)①k＝＝ N/m≈81.7 N/m；②＝ m/N≈0.012 2 m/N；(2)描點(diǎn)法，畫一條直線，讓大部分的點(diǎn)都落在直線上，不在線上的點(diǎn)均勻分布在直線兩側(cè)，如圖所示．(3)設(shè)直線的斜率為a，則有＝an，即k＝·，通過計(jì)算可得k≈；彈簧共60圈，則有n＝，把其代入k＝·中可得k≈.例2、(2022·唐山二模)某實(shí)驗(yàn)小組通過如圖甲所示的裝置探究輕質(zhì)橡皮筋彈力與長度的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)步驟如下：①將橡皮筋一端固定在長木板的左端，皮筋另一端系一段細(xì)線，細(xì)線跨過長木板右端的定滑輪與小桶相連；②向小桶內(nèi)注入一定質(zhì)量的細(xì)沙，穩(wěn)定后測(cè)量橡皮筋的長度l；③取出細(xì)沙，并測(cè)量細(xì)沙的質(zhì)量m；④重復(fù)②③步驟，獲得多組對(duì)應(yīng)的m、l數(shù)值；⑤描點(diǎn)連線，得到l－m的關(guān)系圖線如圖乙所示。完成下列填空：(1)已知重力加速度為g，橡皮筋的勁度系數(shù)為________。(2)圖乙中縱截距的數(shù)值________(選填“大于”“等于”或“小于”)橡皮筋的原長。(3)下列情況對(duì)勁度系數(shù)測(cè)量有影響的是________。A．橡皮筋與長木板不平行B．定滑輪不光滑C．細(xì)線質(zhì)量不可忽略D．未考慮小桶質(zhì)量【答案】(1)g　(2)大于　(3)BC【解析】(1)橡皮筋的勁度系數(shù)為k＝＝＝g。(2)題圖乙中縱截距表示沒有注入細(xì)沙時(shí)，橡皮筋的長度，但是沒有注入細(xì)沙時(shí)，已經(jīng)掛小桶了，所以橡皮筋已經(jīng)伸長了，則題圖乙中縱截距的數(shù)值大于橡皮筋的原長。(3)根據(jù)k＝可知，勁度系數(shù)的測(cè)量只與拉力的變化量和橡皮筋的伸長量有關(guān)，所以橡皮筋與長木板不平行不影響橡皮筋的伸長量的測(cè)量，不考慮小桶的質(zhì)量也不影響拉力的變化量，但是定滑輪不光滑，有摩擦力作用會(huì)影響拉力的變化量，細(xì)線的質(zhì)量也會(huì)影響拉力的變化量，A、D錯(cuò)誤，B、C正確。課堂隨練訓(xùn)練1、（2019海南）某同學(xué)利用圖（a）的裝置測(cè)量輕彈簧的勁度系數(shù)。圖中，光滑的細(xì)桿和直尺水平固定在鐵架臺(tái)上，一輕彈簧穿在細(xì)桿上，其左端固定，右端與細(xì)繩連接；細(xì)繩跨過光滑定滑輪，其下端可以懸掛砝碼（實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)砝碼的質(zhì)量均為），彈簧右端連有一豎直指針，其位置可在直尺上讀出，實(shí)驗(yàn)步驟如下：①在繩下端掛上一個(gè)硅碼，調(diào)整滑輪，使彈簧與滑輪間的細(xì)線水平且彈簧與細(xì)桿沒有接觸；②系統(tǒng)靜止后，記錄砝碼的個(gè)數(shù)及指針的位置；③逐次增加砝碼個(gè)數(shù)，并重復(fù)步驟②（保持彈簧在彈性限度內(nèi)）；④用n表示砝碼的個(gè)數(shù)，l表示相應(yīng)的指針位置，將獲得的數(shù)據(jù)記錄在表格內(nèi)。回答下列問題：(1)根據(jù)下表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在圖（b）中補(bǔ)齊數(shù)據(jù)點(diǎn)并做出圖像______；n1234510.4810.9611.4511.9512.40(2)彈簧的勁度系數(shù)k可用砝碼質(zhì)量m、重力加速度大小g及圖線的斜率表示，表達(dá)式為_____；若g取，則本實(shí)驗(yàn)中____（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）。【答案】    (1)              .     (2). ；    (3). 109N/m【解析】(1)做出圖像如圖；(2)由胡克定律：，即，則，解得；由圖形可知，解得訓(xùn)練2、（2014·浙江）在“探究彈力和彈簧伸長的關(guān)系”時(shí)，某同學(xué)把兩根彈簧如圖連接起來進(jìn)行探究．鉤碼數(shù)1234LA/cm15.7119.7123.6627.76LB/cm29.9635.7641.5147.36    表1(1)某次測(cè)量如圖2所示，指針示數(shù)為________ cm.(2)在彈性限度內(nèi)，將50 g的鉤碼逐個(gè)掛在彈簧下端，得到指針A、B的示數(shù)LA和LB如表1.用表1數(shù)據(jù)計(jì)算彈簧Ⅰ的勁度系數(shù)為____ N/m(重力加速度g取10 m/s2)．由表Ⅰ數(shù)據(jù)________(選填“能”或“不能”)計(jì)算出彈簧Ⅱ的勁度系數(shù)．題圖2【答案】 (1)(15.95～16.05)cm，有效數(shù)字位數(shù)正確    (2)(12.2～12.8) N/m　能【解析】：(1)由圖2可知刻度尺能精確到0.1 cm，讀數(shù)時(shí)需要往后估讀一位．故指針示數(shù)為16.00±0.05 cm.(2)由表1中數(shù)據(jù)可知每掛一個(gè)鉤碼，彈簧Ⅰ的平均伸長量Δx1≈4 cm，彈簧Ⅱ的總平均伸長量Δx2≈5.80 cm，根據(jù)胡克定律可求得彈簧Ⅰ的勁度系數(shù)為12.5 N/m，同理也能求出彈簧Ⅱ的勁度系數(shù)．?        同步訓(xùn)練1、(2018·全國卷Ⅰ)如圖a，一彈簧上端固定在支架頂端，下端懸掛一托盤；一標(biāo)尺由游標(biāo)和主尺構(gòu)成，主尺豎直固定在彈簧左邊；托盤上方固定有一能與游標(biāo)刻度線準(zhǔn)確對(duì)齊的裝置，簡化為圖中的指針。現(xiàn)要測(cè)量圖a中彈簧的勁度系數(shù)。當(dāng)托盤內(nèi)沒有砝碼時(shí)，移動(dòng)游標(biāo)，使其零刻度線對(duì)準(zhǔn)指針，此時(shí)標(biāo)尺讀數(shù)為1.950 cm；當(dāng)托盤內(nèi)放有質(zhì)量為0.100 kg的砝碼時(shí)，移動(dòng)游標(biāo)，再次使其零刻度線對(duì)準(zhǔn)指針，標(biāo)尺示數(shù)如圖b所示，其讀數(shù)為________ cm。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?/span>9.80 m/s2，此彈簧的勁度系數(shù)為________ N/m(保留三位有效數(shù)字)。【答案】3.775　53.7【解析】游標(biāo)卡尺精度為0.05 mm，游標(biāo)卡尺上游標(biāo)第15條刻度線與主尺刻度線對(duì)齊，根據(jù)游標(biāo)卡尺的讀數(shù)規(guī)則，題圖b所示的游標(biāo)卡尺讀數(shù)為3.7 cm＋150.05 mm＝3.7 cm＋0.075 cm＝3.775 cm。托盤中放有質(zhì)量為m＝0.100 kg的砝碼時(shí)，彈簧受到的拉力F＝mg＝0.100×9.80 N＝0.980 N，彈簧伸長x＝3.775 cm－1.950 cm＝1.825 cm＝0.01825 m，根據(jù)胡克定律，F＝kx，解得此彈簧的勁度系數(shù)k＝＝53.7 N/m。2、(2022·天津南開區(qū)二模)(1)某次研究彈簧所受彈力F與彈簧長度L關(guān)系實(shí)驗(yàn)時(shí)得到如圖甲所示的F－L圖像。由圖像可知：彈簧原長L0＝________cm，由此求得彈簧的勁度系數(shù)k＝________N/m。(2)用如圖乙所示的方式掛上鉤碼(已知每個(gè)鉤碼重G＝1 N)，使(1)中研究的彈簧壓縮，穩(wěn)定后指針指示如圖乙，則指針?biāo)缚潭瘸呤緮?shù)為________cm。由此可推測(cè)圖乙中所掛鉤碼的個(gè)數(shù)為________個(gè)。【答案】(1)3.0　200　(2)1.50　3【解析】(1)由題圖甲可知，彈簧原長L0＝3.0 cm。由胡克定律F＝kΔx，得k＝＝＝200 N/m。(2)由題圖乙可知，指針?biāo)缚潭瘸呤緮?shù)為L＝1.50 cm。設(shè)鉤碼個(gè)數(shù)為n，由胡克定律得nG＝k(L0－L)解得n＝＝＝3。3、(2018·全國卷Ⅱ)某同學(xué)用圖a所示的裝置測(cè)量木塊與木板之間的摩擦因數(shù)?？邕^光滑定滑輪的細(xì)線兩端分別與木塊和彈簧秤相連，滑輪和木塊之間的細(xì)線保持水平，在木塊上放置砝碼。緩慢向左拉動(dòng)水平放置的木板，當(dāng)木塊和砝碼相對(duì)桌面靜止且木板仍在繼續(xù)滑動(dòng)時(shí)，彈簧秤的示數(shù)即為木塊受到的滑動(dòng)摩擦力的大小。某次實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)在下表中給出，其中f4的值從圖b中彈簧秤的示數(shù)讀出。砝碼的質(zhì)量m/kg0.050.100.150.200.25滑動(dòng)摩擦力f/N2.152.362.55f42.93回答下列問題：(1)f4＝________ N。(2)在圖c的坐標(biāo)紙上補(bǔ)齊未畫出的數(shù)據(jù)點(diǎn)并繪出f-m圖線。(3)f與m、木塊質(zhì)量M、木板和木塊之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ及重力加速度大小g之間的關(guān)系式f＝________，f-m圖線(直線)的斜率的表達(dá)式k＝________。(4)取g＝9.80m/s2，由繪出的f-m圖線求得μ＝________。(保留兩位有效數(shù)字)【答案】(1)2.75　(2)圖見解析   (3)μ(M＋m)g　μg　(4)0.41【解析】(1)指針在2.7 N與2.8 N之間，估讀為2.75 N。(2)描點(diǎn)畫線注意讓盡可能多的點(diǎn)分布在線上，不能分布在線上的點(diǎn)盡可能均勻地分布在線的兩側(cè)，作圖如圖所示。(3)木塊受到的是滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)滑動(dòng)摩擦力的計(jì)算式知f＝μ(M＋m)g?；喛傻茫?/span>f＝μ(M＋m)g＝(μg)m＋μMg，所以圖象的斜率k＝μg。(4)取g＝9.80 m/s2，取圖象上相距較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)求斜率，k＝＝4，則μ＝＝≈0.41。
 

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