2023-2024學(xué)年山東省聊城市東阿縣姜樓中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列形狀分別為正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.如圖，矩形的對(duì)稱軸分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)若矩形與矩形相似，則：的值為(    )A.
B.
C.
D. 3.如圖，在三角形紙片中，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與相似的是(    )
 A.  B.
C.  D. 4.已知，，，，，在線段上有一點(diǎn)，使得和相似，則滿足條件的點(diǎn)的有個(gè)．(    )
 A.  B.  C.  D. 無數(shù)5.下列條件中，不能判斷與相似的是(    )A. ， B. 且
C.  D. 且6.如圖，在內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為，，的三個(gè)正方形，則，，滿足的關(guān)系式是(    )
 A.
B.
C.
D. 7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(    )

 A.  B.
C. 或 D. 或8.如圖，在網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為中，則的值是(    )A.
B.
C.
D. 9.在中，若，則的度數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 10.如圖，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列用線段比表示的值，錯(cuò)誤的是(    )A.
B.
C.
D. 11.如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為(    )
 A.  B.  C.  D. 12.如圖大壩的演斷面，斜坡的坡比：，背水坡的坡比：，若的長(zhǎng)度為米，則斜坡的長(zhǎng)度為(    )

 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）13.如圖，把一張矩形紙片平均分成個(gè)矩形，若每個(gè)小矩形都與原矩形相似，則原矩形紙片的寬與長(zhǎng)之比為______．14.若∽，且，，則          ．
 15.如圖，已知中，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，，，，當(dāng)的長(zhǎng)度為______時(shí)，和相似．
 16.如圖，，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：______，使∽．
 17.在四邊形中，，，則 ______ ．
 18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角是等腰直角以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為：，點(diǎn)，，在，則點(diǎn)坐標(biāo)為______ ．
 19.如圖，點(diǎn)是矩形中邊上一點(diǎn)，沿折疊為，點(diǎn)落在上．若，則 的值為______．
 20.如圖，從樓頂處看樓下荷塘處的俯角為，看樓下荷塘處的俯角為，已知樓高為米，則荷塘的寬為______ 米結(jié)果保留根號(hào)．
 三、解答題（本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）21.本小題分

如圖，是的邊上的點(diǎn)，已知，，，求證：∽．
22.本小題分
如圖，在中，是邊上的中線，且，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．
求證：∽；
過點(diǎn)作于點(diǎn)，求：的值；
若，，求的長(zhǎng)．
23.本小題分

如圖，小明用自制的直角三角形紙板測(cè)量水平地面上樹的高度，已知兩直角邊：：，他調(diào)整自己的姿勢(shì)和三角形紙板的位置，使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上，垂直于地面，測(cè)得，邊離地面的距離為，求樹高．
24.本小題分
在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部處測(cè)得辦公樓底部處的俯角是，從綜合樓底部處測(cè)得辦公樓頂部處的仰角恰好是，綜合樓高米請(qǐng)你幫小明求出辦公樓的高度結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，
25.本小題分
月份，長(zhǎng)江重慶段開始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)在處的北偏東方向米處，以航標(biāo)為圓心，米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過往船舶有危險(xiǎn)．
由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在處北偏西方向米的處，露出一片礁石，求、兩地的距離；精確到米
為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒有被影響，請(qǐng)說明理由．
參考數(shù)據(jù)：，

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；
B、兩圖形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；
C、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；
D、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；
故選：．
根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．
本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，
矩形的對(duì)稱軸分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，
矩形與矩形相似，
，
，
，
，
，
：，
故選：．
根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了矩形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等且夾角相等的兩三角形相似是解題關(guān)鍵．
根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案即可．
【解答】
解：在三角形紙片中，，，．
A、，對(duì)應(yīng)邊，，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，對(duì)應(yīng)邊，即：，，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與相似，故此選項(xiàng)正確；
C、，對(duì)應(yīng)邊，，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，
，，
故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與不相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．4.【答案】 【解析】解：，，，
設(shè)，則．
，，
，
當(dāng)或時(shí)，
和相似，
當(dāng)時(shí)，
則，
解得，
當(dāng)時(shí)，
則，
解得，，
或，
滿足條件的點(diǎn)的有個(gè)．
故選：．
分兩種情況討論，當(dāng)或時(shí)，和相似，列出等式求解即可．
本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：、，，可以得出∽，故此選項(xiàng)不合題意；
B、且，不是兩邊成比例且夾角相等，故此選項(xiàng)符合題意；
C、，可以得出∽，故此選項(xiàng)不合題意；
D、且，可以得出∽，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：．
直接根據(jù)三角形相似的判定方法對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．
此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．6.【答案】 【解析】解：
，；
又，，；
，；
∽，
，
，
．
故選A．
因?yàn)?/span>內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為、、的三個(gè)正方形，所以圖中三角形都相似，且與、、關(guān)系密切的是和，只要它們相似即可得出所求的結(jié)論．
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)．7.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，
點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是或，
即或．
故選：．
根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或解答．
本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)．8.【答案】 【解析】解：作交延長(zhǎng)線于，如圖所示：
在中，，，，
，
．
故選：．
作交延長(zhǎng)線于，解，先由勾股定理得出，再根據(jù)三角函數(shù)定義即可得出答案．
本題考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函數(shù)定義；熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
，，
，
故選：．
根據(jù)絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性分別求出、，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值、三角形內(nèi)角和定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
故選：．
證明，推出，可得，由此即可判斷．
本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是證明．11.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作，垂足為，

在中，，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)，想到構(gòu)造直角三角形，所以過點(diǎn)作，垂足為，可得，因?yàn)?/span>，所以得出，從而求出，可得，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：分別過、作，，

四邊形為矩形，
斜坡的坡比：，即，不妨設(shè)，則，
在中根據(jù)勾股定理：，，
解得或不合題意，舍去，
又背水坡的坡比：，
，
在中根據(jù)勾股定理得：，
故選：．
分別過、作，，四邊形為矩形，根據(jù)斜坡的坡比為：，結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)度，可得、的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求得答案．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握坡比的定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13.【答案】： 【解析】解：設(shè)原矩形的長(zhǎng)為，寬為，
小矩形的長(zhǎng)為，寬為，
小矩形與原矩形相似，
，
：：．
故答案為：：．
設(shè)原矩形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得原矩形紙片的長(zhǎng)與寬之比．
本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．相似多邊形的性質(zhì)為：對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊的比相等．14.【答案】 【解析】解：∽，
，又，，
．
故答案為：．
根據(jù)∽，得到，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等并找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．15.【答案】或 【解析】【分析】
此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用倒推法以及分類討論是解題的關(guān)鍵分別根據(jù)當(dāng)∽時(shí)，當(dāng)∽時(shí)，求出的長(zhǎng)即可．
【解答】
解：當(dāng)∽時(shí)，
，
，
解得：，
當(dāng)∽時(shí)，
，
，
解得：，
當(dāng)的長(zhǎng)度為或時(shí)，和相似．
故答案為或．16.【答案】答案不唯一 【解析】解：
當(dāng)或或：：或時(shí)兩三角形相似．
故答案為：答案不唯一．
根據(jù)相似三角形的判定方法，已知一組角相等則再添加一組相等的角可該角的兩個(gè)邊對(duì)應(yīng)成比例即可推出兩三角形相似．
此題考查了相似三角形的判定：
如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．17.【答案】 【解析】解：過作于，過作交延長(zhǎng)線于，如圖：

，，，
，
四邊形是矩形，，
，
，
，
，
∽，
，
故答案為：．
過作于，過作交延長(zhǎng)線于，由四邊形是矩形，可得，，進(jìn)而得出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
本題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18.【答案】 【解析】解：等腰直角是等腰直角以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為：，
而點(diǎn)，，
，，
，
為等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案為：．
先把點(diǎn)和點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到，，則，接著證明，所以，然后把點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．19.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的證明方法，以及直角三角形中角的函數(shù)值，找到等角代換是解答此題的關(guān)鍵．
首先證得∽，，設(shè)，，，可得出，，，，由∽，可得．
【解答】
解：四邊形是矩形，
，
沿折疊為，
，
，
又，
，
∽，
在中，，
設(shè)，，，
沿折疊為，
，，，，
∽，
，
，
．
故答案為．20.【答案】 【解析】解：由題意可得，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案為：
在兩個(gè)直角三角形中，利用特殊銳角的三角函數(shù)可求出答案．
本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角公式是正確解答的前提．21.【答案】證明：，，，
，
，
，
即，
∽． 【解析】求出，根據(jù)求出，再根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．
本題考查了相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，有三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似，有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似．22.【答案】證明：是邊上的中點(diǎn)，，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
∽；
解：，，
，
，
，
，，
，
，
：；
解：∽，，
，
，
，
又，
，
由知：，
． 【解析】利用是邊上的中點(diǎn)，可以得到，而由可以得到，再利用相似三角形的判定，就可以證明題目結(jié)論；
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；
利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出三角形的面積，然后利用面積公式就求出了的長(zhǎng)．
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，以及三角形的面積．23.【答案】解：，
∽
，
，
，
． 【解析】利用直角三角形和直角三角形相似，求得的長(zhǎng)后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型．24.【答案】解：由題意可知米，，
，
．
，
米．
故辦公樓的高度約為米． 【解析】由題意可知米，，因?yàn)?/span>，可求出，又由，可求出，即得到答案．
本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角和俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是本題的解題關(guān)鍵．25.【答案】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意得，，米，米，
在中，，，
解得，，
米，
由勾股定理得，米．
、兩地的距離約為米．
該條航道會(huì)被這片淺灘區(qū)域影響，長(zhǎng)度為米，理由如下：
過點(diǎn)作航道的垂線，

由題意得，米，，
在中，，
解得，
，
該條航道會(huì)被這片淺灘區(qū)域影響．
設(shè)米，
在中，米，
根據(jù)對(duì)稱性可知，被影響的航道長(zhǎng)度為米． 【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，在中，由三角函數(shù)可求得米，米，則米，再根據(jù)勾股定理可得出答案．
過點(diǎn)作航道的垂線，在中，，求出的值，與作比較，可得結(jié)論；設(shè)米，利用勾股定理求出，再根據(jù)對(duì)稱性可得被影響的航道長(zhǎng)度．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．

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