2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列各圖案中，屬于中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D. 3.已知，以為圓心，為半徑作若使點(diǎn)在內(nèi)，則的值可以是(    )A.  B.  C.  D. 4.數(shù)，，，中，是一元二次方程的解的是(    )A.  B.  C.  D. 5.如圖，為的直徑，弦于，，，那么弦的長為(    )A.
B.
C.
D. 6.將拋物線向上平移個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為(    )A.  B.
C.  D. 7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)是(    )A.
B.
C.
D.
 8.若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則的值為(    )A.  B.  C. 或 D. 或9.如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)若，，則的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點(diǎn)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根是如果關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的整數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)根可能是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．12.若關(guān)于的一元二次方程一根為，則另一根為______．13.在如圖所示的方格紙格長為個(gè)單位長度中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使各頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上，則其旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是          ．
 
  
 14.一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊分別交于、兩點(diǎn)，若弦，則的半徑為______．
 15.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，平分，連結(jié)，，，若等于，則的度數(shù)為______ ．
 16.如圖，是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條切線，為切點(diǎn)，則的最小值為          ．
 
   
 三、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
解方程：
；
．18.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
把向上平移個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)的，畫出并寫出的坐標(biāo)．
以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，再畫出與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，并寫出的坐標(biāo)．
19.本小題分

如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)．
求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集．
20.本小題分
已知關(guān)于的一元二次方程．
求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
若方程有一個(gè)根是，求方程的另一個(gè)根．21.本小題分
如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，切于點(diǎn)，且．
求的度數(shù)；
若，求點(diǎn)到弦的距離．
 
 
 22.本小題分
某商場一種商品的進(jìn)價(jià)為每件元，售價(jià)為每件元．每天可以銷售件，為盡快減少庫存，商場決定降價(jià)促銷．
若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，求兩次下降的百分率；
經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷售件，那么每天要想獲得最大利潤，每件售價(jià)應(yīng)多少元？最大利潤是多少？23.本小題分
我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為，鍋深，鍋蓋高鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為．
求和的解析式；
如果炒菜時(shí)鍋的水位高度是，求此時(shí)水面的直徑；
如果將一個(gè)底面直徑為，高度為的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請(qǐng)說明理由．
24.本小題分
如圖：在中，，為邊上一點(diǎn)不與點(diǎn)，重合，試探索，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
小明同學(xué)的思路是這樣的：將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，繼續(xù)推理就可以使問題得到解決．
請(qǐng)根據(jù)小明的思路，試探索線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
如圖，在中，，為外的一點(diǎn)，且，線段，，之間滿足的等量關(guān)系又是如何的，請(qǐng)證明你的結(jié)論；
如圖，已知是的直徑，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且．
若，，求弦的長為______；
若，求的最大值，并求出此時(shí)的半徑．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A、、均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)D能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形，
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了中心對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱圖形定義．2.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
故選：．
根據(jù)頂點(diǎn)式的意義直接解答即可．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要熟悉頂點(diǎn)式的意義，并明確：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，注意符號(hào)問題．3.【答案】 【解析】解：已知，以為圓心，為半徑作，
若使點(diǎn)在內(nèi)，
點(diǎn)到圓心的距離應(yīng)該小于圓的半徑，
圓的半徑應(yīng)該大于．
故選D．
根據(jù)點(diǎn)與的位置關(guān)系確定點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑大小即可．
本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．4.【答案】 【解析】解：方程可化為：，
或，
解得：或，
故選：．
先解方程，再判斷求解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法，掌握一元二次方程份解法是解題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：連接，如圖，
，
，，
，
，
在中，，
．
故選：．
連接，如圖，根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長．
本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．6.【答案】 【解析】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移個(gè)單位所得拋物線的解析式為：；
由“左加右減”的原則可知，將拋物線向左平移個(gè)單位所得拋物線的解析式為：．
故選：．
直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】【分析】
本題涉及圖形的旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神，抓住旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度，通過畫圖求解．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答．
【解答】
解：由圖知點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度，畫圖，從而得點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選A．8.【答案】 【解析】解：把代入方程，得，
整理，得．
解得，．
又方程是關(guān)于的一元二次方程，
，
，即．
故選：．
把代入方程得到一個(gè)關(guān)于的方程，再結(jié)合一元二次方程的定義即可確定的值．
本題主要考查對(duì)一元二次方程的解，一元二次方程的定義等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能理解一元二次方程的解的含義是解此題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：如圖所示，連接，

由旋轉(zhuǎn)可得，≌，
，，
又，
為的中點(diǎn)，
垂直平分，
，
設(shè)，則，，
，
，
中，，即，
解得，
的長為，
故選：．
連接，根據(jù)垂直平分，即可得出，設(shè)，則，，再根據(jù)中，，即可得到的長．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．10.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點(diǎn)，
則函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，
關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根是
則拋物線開口向下，
如果關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的整數(shù)，相等于和有在軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)解關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
只有符合上述條件，
故選：．
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點(diǎn)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根是
則拋物線開口向下，進(jìn)而求解．
本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的關(guān)系解答．11.【答案】 【解析】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，可以直接得到答案．
本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是．12.【答案】 【解析】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，
則，
解得：，
故答案為：．
設(shè)方程的另一根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后解一次方程即可．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，如果一元二次方程的兩根分別為與，則，．13.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念找到是旋轉(zhuǎn)角，從圖形中可求出其度數(shù)．
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念找到旋轉(zhuǎn)角．
【解答】
解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角，可知是旋轉(zhuǎn)角，且，
故答案為．14.【答案】 【解析】解：連接、，如圖，
與都對(duì)，，
，
，
為等邊三角形，
，
，
即的半徑為．
故答案為：．
連接、，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到，則可判斷為等邊三角形，從而得到．
本題考查了圓周角定理，判斷為等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．15.【答案】 【解析】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，
，
，
，
，
平分，
，
故答案為：．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)垂徑定理得到，進(jìn)而求出，根據(jù)角平分線的定義解答即可．
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．16.【答案】 【解析】【分析】
過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，得出，分析出當(dāng)最小時(shí)，面積最小，再根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理得出，推出當(dāng)最小時(shí)，最小，進(jìn)而利用三角形面積求出的長度，即的最小值，從而解答本題．
本題主要考查的是切線的性質(zhì)和三角形的面積，推出當(dāng)最小時(shí)，最小，得出最小是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
是的切線，
，
，
是的半徑，大小不變，
當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，
在中，，
則當(dāng)最小時(shí)，最小，
對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則，，
由勾股定理得：，
，
則，解得：，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，的最小值為，
則的最小值為：，
的最小值，
故答案為：．17.【答案】解：，
或，
所以，；
，，，
，
，
，． 【解析】利用因式分解法解方程；
先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．本題第小題還可以利用配方法求解．18.【答案】解：如圖，為所作，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
如圖，為所作，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
 【解析】利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)特征寫出、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)得到；
利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可．
本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．19.【答案】解：拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，
，
解得：，，
，；
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，拋物線位于直線的下方，
不等式的解集為． 【解析】通過聯(lián)立方程組求解，即可得出答案；
通過觀察圖象，結(jié)合拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可得出答案．
本題考查了拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過觀察圖象解決問題．20.【答案】解：，
方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
設(shè)方程的另一個(gè)根為，
由根與系數(shù)關(guān)系得，
解得，
方程的另一個(gè)根為． 【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出，由此可證；
利用兩根之積等于即可求出方程的另一個(gè)根．
本題考查了根的判別式、一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：牢記“當(dāng)時(shí)，方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；牢記兩根之積等于．21.【答案】解：切于點(diǎn)，切于點(diǎn)，
，，
，
是等邊三角形，
，
；
作于，如圖所示：

則，
由得：是等邊三角形，
，
，
，
，
，
點(diǎn)到弦的距離為． 【解析】此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、切線長定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握切線的性質(zhì)和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
由切線長定理得出，，證出是等邊三角形，得出，即可得出答案；
作于，由垂徑定理得出，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，由勾股定理得出，求出即可．22.【答案】解：設(shè)每次下降的百分率為根據(jù)題意，得
解得：，不符合題意，舍去．
答：該商品連續(xù)兩次下降的百分率為．
設(shè)降價(jià)元，利潤為元．根據(jù)題意，得
當(dāng)，即售價(jià)為元時(shí)，可獲最大利潤元． 【解析】根據(jù)增長率下降率公式列出一元二次方程即可求解；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程和二次函數(shù)關(guān)系式．23.【答案】解：由于拋物線、都過點(diǎn)、，可設(shè)它們的解析式為：；
拋物線還經(jīng)過，
則有：，解得：，
即：拋物線：；
拋物線還經(jīng)過，
則有：，解得：，
即：拋物線：．

當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為時(shí)，，即，
解得：，
此時(shí)水面的直徑為．

鍋蓋不能正常蓋上，理由如下：
當(dāng)時(shí)，拋物線：，拋物線：，
而，
鍋蓋不能正常蓋上． 【解析】已知、、、四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式；
炒菜鍋里的水位高度為即，列方程求得的值即可得答案；
底面直徑為、高度為圓柱形器皿能否放入鍋內(nèi)，需判斷當(dāng)時(shí)，和中的值的差與比較大小，從而可得答案．
本題主要考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．24.【答案】 【解析】解：，
理由：由旋轉(zhuǎn)知，，，
，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
，
根據(jù)勾股定理得，，
在中，，
；

，
理由：如圖，
將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，
同的方法得，≌，
，在中，，
，
，
，
，
根據(jù)勾股定理得，，
即：；

如圖，過點(diǎn)作交的延長線于，
，
，
，
，
根據(jù)勾股定理得，，
連接，，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
故答案為；

，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
的半徑為．
先判斷出，進(jìn)而得出≌，得出，，再根據(jù)勾股定理得出，在中，，即可得出結(jié)論；
同的方法得，≌，得出，再用勾股定理的出，，即可得出結(jié)論；
先根據(jù)勾股定理的出，再判斷出≌，得出，
將，代入中，即可得出結(jié)論；
先求出，再將，代入，化簡得出，進(jìn)而求出，最后用勾股定理求出即可得出結(jié)論．
此題是圓的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

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