2023—2024學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題2023.10一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，集合，，則（    ）A.    B. C.   D. 2.已知，，若，則的最小值為（    ）A.2   B.    C.4   D. 3.在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（    ）A.1   B.   C.   D.-14.“”是“直線：與：平行”的（    ）A.充要條件     B.充分不必要條件C.必要不充分條件    D.既不充分也不必要條件5.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達(dá)200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印度《關(guān)于禮實(shí)推進(jìn)型科技染物理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時(shí)間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料費(fèi)2年后我們能為初始量的79%。該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（    ）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A.20   B.16   C.12   D.76.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線的一條漸近線的磨線，垂足為，直線與另一漸近線交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（    ）A.   B.2   C.   D.37.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，其中正整數(shù)，則該數(shù)列的首項(xiàng)為（    ）A.-5   B.0   C.3   D.58.已知函數(shù)，若對(duì)任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.    B.    C.    D. 二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.若，為空間中兩條不同的直線，，，為空間三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.若，，則   B.若，，則C.若，，則   D.若，，，則10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（    ）A. B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后與原圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)是上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且與相切的直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，，為垂足，則（    ）A.當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為B.設(shè)，則的最小值為4C. D. 12.已知，，則（    ）A.    B.    C.    D. 三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）13.已知向量，，則____________.14.已知，則____________.15.已知直線分別與曲線，相切于點(diǎn)，，則的值為____________.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)，，若的面積最大值為，則的最大值為____________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）在正方體中，設(shè)，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.19.（本小題滿分12分）在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）若，求的值；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：.21.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）.（1）記直線，的斜率分別為，，求的值；（2）設(shè)直線與交于點(diǎn)，求的值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在極大值，且極大值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2023-2024學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)12345678答案CDBABBDC二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)9101112答案BCABACDABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）13.5  14.  15.1  16.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）【解】（1）連接交于，連接，，.在正方體中，，，四邊形是平行四邊形，所以，.正方形中，，故是的中點(diǎn)，所以，且，在中，，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方體的棱長為2，故，，，，.在正方體中，平面，故是平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的法向量，，，故即取，則所以是平面的一個(gè)法向量.故，設(shè)二面角的大小為，據(jù)圖可知，，所以二面角的余弦值為.法二：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，.在正方體中，，，又，分別是，的中點(diǎn)，故，，四邊形是平行四邊形，所以，又，，故，，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，又平面，故.在正方形中，，在中，，分別是，的中點(diǎn)，故，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.所以是二面角的平面角.不妨設(shè)正方體的棱長為2，在中，，，故，所以，所以二面角的余弦值為.18.（本小題滿分12分）【解】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，且，故圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因?yàn)?/span>，直線的方程為，同理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以四邊形面積的最小值為32. 19.（本小題滿分12分）【解】（1）在中，，據(jù)余弦定理可得，又，故，即，又，故，得.（2）在△ABC中，據(jù)余弦定理可得，又，故，即，又，故.據(jù)正弦定理，可得，所以，即，所以，，因?yàn)?/span>，所以，或，即或（舍）.所以.因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以得，所以，故，，所以的取值范圍是. 20.（本小題滿分12分）【證明】（1）依題意，，所以，當(dāng)時(shí)，，整理得，，所以，當(dāng)時(shí)，為定值，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）因?yàn)?/span>，令，得，，故，結(jié)合（1）可知，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，得.所以，當(dāng)時(shí)，，顯然符合上式，所以.所以，故.因?yàn)?/span>，，所以.21.（本小題滿分12分）【解】（1）設(shè)直線l的方程為，，.聯(lián)立方程組整理得，則即所以.（2）由（1）可知，，故直線與關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則與關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則.所以直線的方程為，直線的方程為，故點(diǎn)滿足方程組解得因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，整理得，所以點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，且，恰好為該雙曲線的焦點(diǎn)，依題意，點(diǎn)在，之間，所以，得，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，所以. 22.（本小題滿分12分）【解】（1）依題意，，，即，.令，，故，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.所以，得，所以實(shí)數(shù)的最小值為2. （2）依題意，，，故，.①若，，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，，且在上的圖象不間斷，據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不存在極大值，故不符題意.②若，令，得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)存在極大值，故，即，解得，此時(shí)，，；，（證明：令，.所以，在上單調(diào)遞增，故，即，又在上的圖象不間斷，據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在，，使得，且當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上得極大值為.依題意，，即，得，又，即，得，代入上式，得，故，又，即，所以，得，所以.據(jù)，得，其中.令，，故，所以在上單調(diào)遞減，，即，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 

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