?2023-2024學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)鄭和外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)第一學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）
一、選擇題（共6小題，每小題2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　?。?br /> A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．
2．?dāng)?shù)據(jù)2，5，4，﹣3，﹣1的極差是（　?。?br /> A．6 B．7 C．8 D．9
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正確的是（　?。?br /> A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
4．已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
5．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AE與BG交于點(diǎn)P，則∠APG的度數(shù)為（　?。?br />
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
6．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，BC＝3．將沿著B(niǎo)C折疊后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則AB的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2 B．2 C．4 D．5
二、填空題（共10小題，每小題2分，共20分）
7．方程x2＝2的解是　 　．
8．若x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一個(gè)解，則m的值是　 　．
9．若一個(gè)正方形的外接圓的半徑是3，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是　 ?。?br /> 10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其內(nèi)切圓分別與AC、AB、BC相切于點(diǎn)D、E、F，若AE＝4，BE＝6，則CD的長(zhǎng)為　 ?。?br />
11．小王前三次打靶的成績(jī)?nèi)鐖D所示，他第四次打靶的成績(jī)是a環(huán)，且這四次成績(jī)的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，則a＝　 ?。?br />
12．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝5cm，則該圓錐的母線長(zhǎng)l＝12cm，扇形的圓心角θ＝　 　°．

13．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D＝　 　度．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓經(jīng)過(guò)O（0，0），A（3，9），B（6，0）三點(diǎn)，則該圓的圓心的坐標(biāo)是　 　．
15．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，與OA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長(zhǎng)為　 ?。?br />
16．如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為 　 ?。?br />
三、解答題
17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
18．解方程：（x+1）2＝5x+5．
19．（1）若關(guān)于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求p的取值范圍；
（2）關(guān)于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根 C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根
20．某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？
21．A，B兩家餐飲店規(guī)模相當(dāng)，國(guó)慶假期1～8日的日盈利情況如圖所示．
（1）分別求這兩家餐飲店國(guó)慶假期的日平均盈利；
（2）若A，B兩家餐飲店國(guó)慶假期的日盈利的方差分別是s2A和s2B，則s2A　 　s2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．

22．某市有A、B兩個(gè)公園，甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)選擇其中一個(gè)公園游玩．
（1）甲去A公園游玩的概率是　 ?。?br /> （2）求三位同學(xué)恰好在同一個(gè)公園游玩的概率．
23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在以BC為直徑的半圓外，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出半圓的圓心O（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）．

24．閱讀下面解方程的途徑．
（1）按照?qǐng)D1途徑，填寫(xiě)圖2的空格．

（2）已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均為常數(shù)），求關(guān)于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m為常數(shù)，k≠0）的解（用含k、m的代數(shù)式表示）．
25．如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P．

（1）求證∠C＝2∠A；
（2）若PC＝2OP，AP＝，則⊙O的半徑長(zhǎng)為　 ?。?br /> 26．某企業(yè)今年1月份生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的口罩共70萬(wàn)個(gè)，其中甲種口罩的產(chǎn)量是乙種口罩的2倍，乙種口罩比丙種口罩多10萬(wàn)個(gè)．為了應(yīng)對(duì)“新冠”疫情，該企業(yè)決定迅速擴(kuò)大產(chǎn)能，在接下來(lái)的兩個(gè)月中，乙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率比甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率小1，丙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率是甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率的2倍．3月份該企業(yè)口罩總產(chǎn)量是690萬(wàn)個(gè)．
（1）1月份該企業(yè)分別生產(chǎn)甲、乙、丙三種口罩　 　萬(wàn)個(gè)、　 　萬(wàn)個(gè)、　 　萬(wàn)個(gè)；
（2）求甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率．
27．半圓O的直徑AB＝8，C為半圓上一點(diǎn)．
（1）若AC＝6，則BC的長(zhǎng)是　 ??；
（2）①如圖①，若D是的中點(diǎn)，且AD＝2，求BC的長(zhǎng)；
②如圖②，若D、E是的三等分點(diǎn)，且AD＝2，直接寫(xiě)出BC的長(zhǎng)．



參考答案
一、選擇題（共6小題，每小題2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　?。?br /> A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．
【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，根據(jù)定義判斷即可．
解：2x﹣2＝0是一元一次方程，故A不符合題意；
2x2﹣2x＝0是一元二次方程，故B符合題意；
x2+y＝0是二元二次方程，故C不符合題意；
＝2是分式方程，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
2．?dāng)?shù)據(jù)2，5，4，﹣3，﹣1的極差是（　?。?br /> A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根據(jù)極差的定義即可求得．
解：極差為：5﹣（﹣3）＝8．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極差的知識(shí)，極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正確的是（　?。?br /> A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確使用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．
解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
4．已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，結(jié)論A正確；
B、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝a，結(jié)合a的值不確定，可得出B結(jié)論不一定正確；
C、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2＝﹣2，結(jié)論C錯(cuò)誤；
D、由x1?x2＝﹣2，可得出x1、x2異號(hào)，結(jié)論D錯(cuò)誤．
綜上即可得出結(jié)論．
解：A∵Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴x1≠x2，結(jié)論A正確；
B、∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，
∴x1+x2＝a，
∵a的值不確定，
∴B結(jié)論不一定正確；
C、∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，
∴x1?x2＝﹣2，結(jié)論C錯(cuò)誤；
D、∵x1?x2＝﹣2，
∴x1、x2異號(hào)，結(jié)論D錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AE與BG交于點(diǎn)P，則∠APG的度數(shù)為（　?。?br />
A．108° B．112.5° C．120° D．135°
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理及正多邊形的性質(zhì)可求解∠PAH，∠HGP，∠AHG，再利用四邊形的內(nèi)角和為360°可計(jì)算求解．
解：在正八邊形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF，
∴∠BAH＝∠AHG＝∠HGF＝
∴∠PAH＝∠BAH＝67.5°，∠BGF＝90°，
∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°，
∵四邊形APGH的內(nèi)角和為360°，
∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°﹣135°＝112.5°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，正多邊形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，BC＝3．將沿著B(niǎo)C折疊后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則AB的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2 B．2 C．4 D．5
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H．將沿著B(niǎo)C折疊后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，推出OH＝OB，推出∠OBH＝30°，再結(jié)合勾股定理求解即可．
解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H．

∵將沿著B(niǎo)C折疊后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，
∴OH＝OB，
∴∠OBH＝30°，
∵OH⊥BC，
∴BH＝BC＝，
在Rt△OBH中，OH2+BH2＝OB2，
∴OB2+＝OB2，
∴OB＝（負(fù)根已經(jīng)舍棄），
∴AB＝2OB＝2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
二、填空題（共10小題，每小題2分，共20分）
7．方程x2＝2的解是　x1＝﹣，x2＝　．
【分析】利用直接開(kāi)平方法求解即可．
解：x2＝2，
x＝±，
x1＝﹣，x2＝．
故答案為：x1＝﹣，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法，注意：
（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．
（2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體．
（3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．
8．若x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一個(gè)解，則m的值是　6?。?br /> 【分析】先把x＝2代入方程，可得關(guān)于m的一元一次方程，解即可．
解：把x＝2代入方程，得
4﹣2m+8＝0，
解得m＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是代入．
9．若一個(gè)正方形的外接圓的半徑是3，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是　3?。?br /> 【分析】由正四邊形的中心角為90°，根據(jù)勾股定理可求得正方形的邊長(zhǎng)．
解：∵正方形ABCD的半徑是3，
∴OB＝OC＝3，∠BOC＝＝90°，
∴BC＝＝＝3，
故答案為：3．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓，勾股定理，熟記正多邊形的邊數(shù)和中心角的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其內(nèi)切圓分別與AC、AB、BC相切于點(diǎn)D、E、F，若AE＝4，BE＝6，則CD的長(zhǎng)為　2?。?br />
【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，再利用勾股定理列方程可得CD的長(zhǎng)．
解：∵Rt△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、AB、BC相切于點(diǎn)D、E、F，
∴AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，
∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（4+CD）2+（CD+6）2＝（4+6）2，
解得：CD＝﹣12（舍）或2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
11．小王前三次打靶的成績(jī)?nèi)鐖D所示，他第四次打靶的成績(jī)是a環(huán)，且這四次成績(jī)的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，則a＝　8?。?br />
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)和題意，由中位數(shù)和眾數(shù)的定義可以得到a的值，本題得以解決．
解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，前三次的中位數(shù)是8，
∵第四次打靶的成績(jī)是a環(huán)，這四次成績(jī)的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，
∴a＝8，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
12．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝5cm，則該圓錐的母線長(zhǎng)l＝12cm，扇形的圓心角θ＝　150　°．

【分析】利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到＝2π?5，然后解關(guān)于θ的方程即可．
解：根據(jù)題意得＝2π?5，
解得θ＝150．
故答案為150．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
13．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D＝　100　度．
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，再根據(jù)∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6分別計(jì)算出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，進(jìn)而可得∠D的度數(shù)．
解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，
∵∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，
∴∠A＝180°×＝60°，∠C＝180°×＝120°，
∠B＝180°×＝80°，
∴∠D＝180°﹣80°＝100°，
故答案為：100．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓經(jīng)過(guò)O（0，0），A（3，9），B（6，0）三點(diǎn)，則該圓的圓心的坐標(biāo)是?。?，4）?。?br /> 【分析】由題意圓心在線段OB的垂直平分線上，設(shè)圓心O′（3，m），根據(jù)半徑相等構(gòu)建方程求解即可．
解：由題意圓心在線段OB的垂直平分線上，
設(shè)圓心O′（3，m），則有32+m2＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴圓心O′（3，4），
故答案為：（3，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，問(wèn)題，屬于中考常考題型．
15．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，與OA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長(zhǎng)為　2?。?br />
【分析】連接OB，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
解：連接OB，

∵四邊形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切線，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝2，
∴BD＝OB＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為 　　．

【分析】先根據(jù)圓周角定理判斷點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓上，連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，連接MO并延長(zhǎng)交⊙M于Q′，則當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ的值最小，連接OD，再利用勾股定理計(jì)算出DE、AD、OM，然后計(jì)算OQ′即可．
解：∵AQ⊥PD，垂足為Q，
∴∠AQD＝90°，
∴點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓上，
連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，
連接MO并延長(zhǎng)交⊙M于Q′，
當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ的值最小，
連接OD，
在Rt△ODE中，
∵OD＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值為．
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理和勾股定理．
三、解答題
17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】在本題中，把常數(shù)項(xiàng)2移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣2的一半的平方．
解：移項(xiàng)，得
x2﹣2x＝2，
配方，得
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
開(kāi)方，得
x﹣1＝±．
解得x1＝1+，x2＝1﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步驟：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫(xiě)成完全平方式；第四步，直接開(kāi)方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
18．解方程：（x+1）2＝5x+5．
【分析】利用因式分解法求解可得．
解：∵（x+1）2＝5（x+1），
∴（x+1）2﹣5（x+1）＝0，
則（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
19．（1）若關(guān)于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求p的取值范圍；
（2）關(guān)于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根 C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根
【分析】（1）先把方程（x﹣1）（x﹣2）﹣p＝0化為x2﹣3x+2﹣p＝0，再根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得Δ＝9﹣8+4p＞0，解不等式求出p的取值范圍；
（2）先把方程（x﹣3）（x+2）＝p2化為x2﹣x﹣6﹣p2＝0，再根據(jù)Δ＝25+4p2＞0可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由﹣6﹣p2＜0即可得出結(jié)論．
解：（1）方程（x﹣3）（x﹣2）＝p可化為x2﹣5x+6﹣p＝0，
這里a＝1，b＝﹣5，c＝6﹣p，
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p）＝25﹣24+4p＞0，
∴p＞﹣，即滿足條件的p的取值范圍為p＞﹣；
（2）方程（x﹣3）（x+2）＝p2可化為x2﹣x﹣6﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝25+4p2＞0，
∴方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)方程兩根為x1、x2，
∵x1?x2＝﹣6﹣p2＜0，
∴方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，
故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．
20．某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？
【分析】設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價(jià)后的銷量×每件的利潤(rùn)＝1250，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
解：設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：襯衫的單價(jià)降了15元．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．
21．A，B兩家餐飲店規(guī)模相當(dāng)，國(guó)慶假期1～8日的日盈利情況如圖所示．
（1）分別求這兩家餐飲店國(guó)慶假期的日平均盈利；
（2）若A，B兩家餐飲店國(guó)慶假期的日盈利的方差分別是s2A和s2B，則s2A?。肌2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）根據(jù)方差的意義即可得出答案．
解：（1）A餐飲店的平均盈利是：＝6.5（萬(wàn)元），
B餐飲店的平均盈利是：＝6.4（萬(wàn)元）；

（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖的波動(dòng)情況可以看出，s2A＜s2B；
故答案為：＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的定義：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．
22．某市有A、B兩個(gè)公園，甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)選擇其中一個(gè)公園游玩．
（1）甲去A公園游玩的概率是　?。?br /> （2）求三位同學(xué)恰好在同一個(gè)公園游玩的概率．
【分析】（1）兩個(gè)不同的公園，選擇一個(gè)恰好為A的概率為；
（2）利用列舉方法找出所有的可能情況，再找三位同學(xué)恰好在同一個(gè)公園游玩的情況個(gè)數(shù)，即可求出所求的概率．
解：（1）甲去A公園游玩的概率＝，
故答案為：；
（2）共有8種可能的結(jié)果：（A，A，A）、（A，A，B）、（A，B，A）、（A，B，B）、（B，A，A）、（B，A，B）、（B，B，A）、（B，B，B）．它們是等可能的，記“三位同學(xué)恰好在同一個(gè)公園游玩”為事件A，事件A發(fā)生的可能有2種，
∴P（A）＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，以及概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在以BC為直徑的半圓外，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出半圓的圓心O（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）．

【分析】設(shè)AB交⊙O于E，AC交⊙O于F，連接EC，BF，EC交BF于點(diǎn)J，作直線AJ交BC于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求．
解：如圖，點(diǎn)O即為所求．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
24．閱讀下面解方程的途徑．
（1）按照?qǐng)D1途徑，填寫(xiě)圖2的空格．

（2）已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均為常數(shù)），求關(guān)于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m為常數(shù)，k≠0）的解（用含k、m的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）①利用因式分解法求得方程的解；②把x﹣1看作①的x，即可得到x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；③解一元一次方程即可求得方程的解；
（2）按照?qǐng)D1途徑得到kx+m＝1或kx+m＝2，然后解關(guān)于x的一元一次方程即可．
解：（1）①x1＝0，x2＝﹣1；
②x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；
③x1＝1，x2＝0；
（2）由題意得：kx+m＝1或kx+m＝2，
解得：x1＝，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因式分解法求一元二次方程，根據(jù)題意得出新方程中一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P．

（1）求證∠C＝2∠A；
（2）若PC＝2OP，AP＝，則⊙O的半徑長(zhǎng)為　?。?br /> 【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBC＝90°，則∠1+∠2＝90°，再利用等量代換證明∠2＝∠4，利用三角形的內(nèi)角和得到∠C+∠2+∠4＝180°，把∠2＝∠4＝∠3＝90°﹣∠A代入得到∠C＝2∠A；
（2）先證明CB＝CP，設(shè)OP＝x，則CB＝CP＝2x，利用勾股定理表示出OB＝x，則OA＝x，在Rt△AOP中，利用勾股定理得到（x）2+x2＝（）2，然后解方程求出x，最后計(jì)算x即可．
【解答】（1）證明：如圖，

∵BC為切線，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
即∠1+∠2＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠3＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠A，
又∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵∠C+∠2+∠4＝180°，
即∠C+2∠3＝180°，
∴∠C+2（90°﹣∠A）＝180°，
∴∠C＝2∠A；
（2）解：∵∠2＝∠4，
∴CB＝CP，
設(shè)OP＝x，則CB＝CP＝2x，
在Rt△OBC中，OB＝＝x，
∴OA＝x，
在Rt△AOP中，（x）2+x2＝（）2，解得x＝，
∴OA＝x＝，
即⊙O的半徑長(zhǎng)為．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理．
26．某企業(yè)今年1月份生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的口罩共70萬(wàn)個(gè)，其中甲種口罩的產(chǎn)量是乙種口罩的2倍，乙種口罩比丙種口罩多10萬(wàn)個(gè)．為了應(yīng)對(duì)“新冠”疫情，該企業(yè)決定迅速擴(kuò)大產(chǎn)能，在接下來(lái)的兩個(gè)月中，乙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率比甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率小1，丙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率是甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率的2倍．3月份該企業(yè)口罩總產(chǎn)量是690萬(wàn)個(gè)．
（1）1月份該企業(yè)分別生產(chǎn)甲、乙、丙三種口罩　40　萬(wàn)個(gè)、　20　萬(wàn)個(gè)、　10　萬(wàn)個(gè)；
（2）求甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率．
【分析】（1）設(shè)1月份該企業(yè)生產(chǎn)丙種口罩x萬(wàn)個(gè)，則生產(chǎn)乙種口罩（x+10）萬(wàn)個(gè)，生產(chǎn)甲種口罩2（x+10）萬(wàn)個(gè)，根據(jù)該企業(yè)今年1月份生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的口罩共70萬(wàn)個(gè)，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為m，則乙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為（m﹣1），丙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為2m，根據(jù)該企業(yè)1月份及3月份生產(chǎn)口罩的總數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
解：（1）設(shè)1月份該企業(yè)生產(chǎn)丙種口罩x萬(wàn)個(gè)，則生產(chǎn)乙種口罩（x+10）萬(wàn)個(gè)，生產(chǎn)甲種口罩2（x+10）萬(wàn)個(gè)，
依題意，得：2（x+10）+（x+10）+x＝70，
解得：x＝10，
∴x+10＝20，2（x+10）＝40．
故答案為：40；20；10．
（2）設(shè)甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為m，則乙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為（m﹣1），丙種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為2m，
依題意，得：40（1+m）2+20（1+m﹣1）2+10（1+2m）2＝690，
化簡(jiǎn)，得：5m2+6m﹣32＝0，
解得：m1＝2＝200%，m2＝﹣（不合題意，舍去）．
答：甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為200%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
27．半圓O的直徑AB＝8，C為半圓上一點(diǎn)．
（1）若AC＝6，則BC的長(zhǎng)是　2??；
（2）①如圖①，若D是的中點(diǎn)，且AD＝2，求BC的長(zhǎng)；
②如圖②，若D、E是的三等分點(diǎn)，且AD＝2，直接寫(xiě)出BC的長(zhǎng)．

【分析】（1）如圖1中，連接AC，利用勾股定理計(jì)算即可．
（2）①如圖1中，連接OD交AC于H，連接OC，則OA＝OC＝OD＝4．設(shè)DH＝x，則OH＝4﹣x，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x，即可解決問(wèn)題．
②連接AE，AC，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥ED交ED的延長(zhǎng)線于H，過(guò)的C作CI⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于I．想辦法求出DH，EI，AC即可解決問(wèn)題．
解：（1）如圖1中，連接AC．

∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2．
故答案為2．

（2）如圖1中，連接OD交AC于H，連接OC，則OA＝OC＝OD＝4．
∵D是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴CD＝AD＝2，OD垂直平分線段AC，
設(shè)DH＝x，則OH＝4﹣x，
∵AC⊥OD，
∴∠CHD＝∠CHO＝90°，
∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，
∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CH＝＝＝，
∵OD垂直平分AC，
∴AC＝2CH＝，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝7．

②連接AE，AC，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥ED交ED的延長(zhǎng)線于H，過(guò)的C作CI⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于I．

∵D，E，C是的三等分點(diǎn)，
∴＝＝，
∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，
∴DE∥AC，
∵∠H＝∠I＝90°，
∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，
∴四邊形AHIC是矩形，
∴AH＝CI，AC＝HI，
∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，
∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），
∴EI＝DH，設(shè)DH＝x，則HE＝x+2，
∵∠H＝90°，
∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，
∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，
解得x＝，
∵EI＝DH＝，
∴HI＝DH+DE+EI＝+2+＝，
∴AC＝HI＝，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

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