?中考數(shù)學專項訓練（9）三角形中常見模型
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（????）．

A． B． C． D．
2．如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（??）

A．360o B．250o C．180o D．140o
3．如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（????）

A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
4．如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為　　

A． B． C． D．
5．如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　?。?br />
A．240° B．280° C．360° D．540°
6．如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內部，則（????）．

A． B． C． D．
7．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結果為（????）

A．90° B．360° C．180° D．無法確定
8．在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（????）．

A． B． C． D．
9．如圖，已知BE，CF分別為△ABC的兩條高，BE和CF相交于點H，若∠BAC=50°，則∠BHC為（　?。?br />
A．115° B．120° C．125° D．130°
10．如圖所示，在中，的平分線相交于點F，若且∠ABC=42°，，則等于（????）．

A． B． C． D．
11．如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（????）．

A． B． C． D．
12．如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（??）

A．20° B．30° C．40° D．50°
13．如圖，在中，，將沿直線折疊，點C落在點D的位置，則的度數(shù)是（????）．

A． B． C． D．無法確定

二、填空題
14．如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為 ．

15．如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點E，則 ．

16．如圖，若，則 ．

17．如圖，五邊形在處的外角分別是分別平分和且相交于點P．若，則 ．

18．如圖，和分別是的內角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，……以此類推，若，則 ．

19．如圖，把紙片沿折疊，使點落在圖中的處，若，，則的大小為 .

20．如圖，三角形紙片中，，將沿翻折，使點C落在外的點處．若，則的度數(shù)為 ．


三、解答題
21．如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．

22．如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．

23．（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；
（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；
（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．

24．如圖所示，已知四邊形，求證．

25．如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．
26．（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．

（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點D，證明：．

（3）如圖所示，的內角平分線和外角平分線相交于點D，證明：．

27．直線與直線垂直相交于點O，點A在直線上運動，點B在直線上運動．

（1）如圖1，已知分別是和角的平分線，點在運動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出的大小．
（2）如圖2，已知不平行分別是和的角平分線，又分別是和的角平分線，點在運動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出的度數(shù)．
（3）如圖3，延長至G，已知的角平分線與的角平分線及反向延長線相交于，在中，如果有一個角是另一個角的3倍，則的度數(shù)為____（直接寫答案）

參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出，根據(jù)平角的概念計算即可．
【詳解】解：，
，
，
故選：D．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
2．B
【分析】根據(jù)三角形內角和定理得出∠A+∠B=110°，進而利用四邊形內角和定理得出答案．
【詳解】解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了多邊形內角和定理，根據(jù)題意得出∠A+∠B的度數(shù)是解題關鍵．
3．D
【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可．
【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故選項A，B，C正確，
故選D．
【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵．
4．C
【詳解】∵如圖可知，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故選．
點睛：本題主要考查了三角形內角和定理即三角形外角與內角的關系，解答本題的關鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．
5．A
【分析】根據(jù)三角形內角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個角的和，加在一起即可．
【詳解】解：由三角形外角的性質得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故選A．

【點睛】本題考查了三角形的外角和三角形的內角和的相關知識，解決本題的關鍵是將題目中的六個角分成兩部分來分別求出來，然后再加在一起．
6．C
【分析】由三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進而完成解答．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50°
故選C．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，靈活運用三角形內角和定理成為解答本題的關鍵．
7．C
【詳解】如圖，連接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．
故選：C．

8．B
【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內角和定理求出再利用鄰補角的性質求出，再根據(jù)四邊形的內角和求出，根據(jù)鄰補角的性質即可求出的度數(shù)．
【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，

∵
∴
同理得
∵
∴


∵
∴
∴

∴,
故選：B．
【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進行求解．三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補；多邊形內角和：．
9．D
【詳解】∵BE為△ABC的高，∠BAC=50°，
∴∠ABE=90°-50°=40°，
∵CF為△ABC的高，
∴∠BFC=90°，
∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．
故選D．
10．B
【分析】由∠ABC=42°，∠A=60°，根據(jù)三角形內角和等于180°，可得∠ACB的度數(shù)，又因為∠ABC、∠ACB的平分線分別為BE、CD，所以可以求得∠FBC和∠FCB的度數(shù)，從而求得∠BFC的度數(shù)．
【詳解】解：∵．
∴
又∵∠ABC、∠ACB的平分線分別為BE、CD．
∴，
又∵．
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查三角形內角和和角平分線的相關知識，關鍵是可以根據(jù)題目中的信息，靈活變化求出相應問題的答案．
11．B
【分析】根據(jù)三角形內角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據(jù)折疊性質得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進而求得∠1＋∠2=110°即可求解．
【詳解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，
∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故選：B．
【點睛】本題考查折疊性質、三角形的內角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質是解答的關鍵．
12．C
【分析】由折疊的性質可知,再利用平角的定義可求出的度數(shù)，進而利用三角形內角和可求∠B的度數(shù).
【詳解】由折疊的性質可知
∵
∴
∴
故選C
【點睛】本題主要考查折疊的性質及三角形內角和定理，掌握折疊的性質及三角形內角和定理是解題的關鍵.
13．B
【分析】由折疊的性質得到，再利用外角性質即可求出所求角的度數(shù)．
【詳解】解：由折疊的性質得：，
根據(jù)外角性質得：，，
則，
則．
故選：B．

【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題）以及三角形外角性質，熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵．
14．
【分析】根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質即可解決問題．
【詳解】解：如圖

，，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形外角的性質、平角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題．
15．61°
【分析】先根據(jù)三角形的內角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．
【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案為：61°．
【點睛】本題考查三角形的內角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內角和定理和角平分線的定義是解答的關鍵．
16．230°
【分析】根據(jù)三角形外角的性質，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結論．
【詳解】解：如圖

∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案為：230°．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性質．
17．105°
【分析】根據(jù)多邊形內角和公式求出五邊形的內角和，根據(jù)題意求出∠BCD＋∠CDE的度數(shù)，從而求出∠PCD＋∠PDC的度數(shù)，運用三角形內角和定理即可求出∠CPD的度數(shù)．
【詳解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°，
∴∠BCD＋∠CDE＝（5?2）×180°?160°?80°?90°＝210°，
∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2?210°）＝75°，
在△CPD中，∠CPD＝180°?（∠PCD＋∠PDC）＝180°?75°＝105°，
故答案為：105°．
【點睛】本題主要考查多邊形內角和公式，三角形內角和定理，以及外角的平分線，根據(jù)已知條件求出∠BCD＋∠CDE的度數(shù)是解題的關鍵．
18．
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．
【詳解】∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α．
∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，
根據(jù)規(guī)律推導，
∴，
故答案為．
【點睛】本題主要考查的是三角形外角性質，角平分線定理，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義是解題的關鍵．
19．32°
【分析】根據(jù)折疊性質以及，可知，、、，又∠AED+∠CED=180°，即可求出答案.
【詳解】由折疊的性質可知，
又
∴，
根據(jù)三角形內角和可得：

∴
故答案為32°.
20．
【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出，根據(jù)折疊的性質求出，根據(jù)三角形的外角的性質計算，得到答案．
【詳解】解：，，
，
由折疊的性質可知，，
，
，
故答案是：．

【點睛】本題考查的是三角形內角和定理、折疊的性質，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
21．見解析
【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和證明即可．
【詳解】解：和是的外角，
．
又，
．
【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．
22．90°；65°
【分析】由，可得，根據(jù)三角形外角性質可得，因為，即可求得的度數(shù)；根據(jù)三角形內角和定理可得，即可得的度數(shù)．
【詳解】解：，
．

．
綜上所述：，．
【點睛】本題主要考查三角形全等的性質，解題的關鍵是找到相應等量關系的角，做題時要結合圖形進行思考．
23．（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉化為求四邊形ADEF的內角和，
（2）與（1）方法相同轉化為求六邊形ABCDEF的內角和，
（3）使用上述方法，轉化為求五邊形ABCDE的內角和．
【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，
由三角形的內角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四邊形ADEF的內角和，四邊形的內角和為360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如圖②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，

【點睛】本題考查三角形的內角和、多邊形的內角和的計算方法，適當?shù)霓D化是解決問題的關鍵．
24．見解析
【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內角和定理可得結果；
方法2 作射線，根據(jù)三角形的外角性質得到，，兩式相加即可得到結論；
方法3延長BD，交AC于點E，兩次運用三角形外角的性質即可得出結論．
【詳解】方法1如圖所示，連接BC.

在中，，即.
在中，，
；
方法2如圖所示，連接AD并延長.

是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如圖所示，延長BD，交AC于點E.

是的外角，
.
是的外角，
.
.
【點睛】本題考查了三角形的外角性質：解題的關鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內角的和．也考查了三角形內角和定理．
25．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，詳見解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，根據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的結論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②結合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，進而可得答案．
【詳解】解：（1）連接AD并延長至點F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的結論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的結論易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴設∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A為70°．
故答案是：70．

【點睛】本題考查三角形外角的性質，三角形的內角和定理的應用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關鍵，注意：三角形的內角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
26．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析
【詳解】（1）設．
由的內角和為，得．①
由的內角和為，得．②
由②得．③
把③代入①，得，
即，
即
（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，
∴
由三角形內角和定理得，，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；
（3）如圖：

∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點D
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=∠A．
【點睛】此題考查的是三角形內角與外角的關系，角平分線的性質，三角形內角和定理，屬中學常規(guī)題．
27．（1）不發(fā)生變化，∠AEB=135°；（2）不發(fā)生變化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°
【分析】（1）根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形內角和定理即可得出結論；
（2）延長AD、BC交于點F，根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形內角和定理可知∠F=45°，再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE=112.5°，進而得出結論；
（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，進而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的3倍分四種情況進行分類討論．
【詳解】解：（1）∠AEB的大小不變，
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不變．
延長AD、BC交于點F．
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠CED =67.5°；

（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一個角是另一個角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍棄）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍棄）．
∴∠ABO為60°或45°．
故答案為：60°或45°．
【點睛】本題考查的是平行線的判定和性質，三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．

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