課后練習[13]第4講　萬有引力定律及其應用一、選擇題(本題共10小題，1～7題為單選，8～10題為多選)1．(2022·陜西高三模擬)行星繞太陽公轉的半長軸a的立方與公轉周期T的平方的比值是一個定值，即：＝k(k與太陽的質量M有關)，現將某行星軌道近似成圓軌道，已知萬有引力常量為G，則關于k與M的關系為(　A　)A．k＝　 B．k＝C．k＝　 D．k＝[解析]　根據＝，得＝，A正確，B、C、D錯誤。2．(2021·山東高考卷，5)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實現了由地月系到行星際的跨越。已知火星質量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受陸平臺的作用力大小之比為(　B　)A．9∶1　 B．9∶2C．36∶1　 D．72∶1[解析]　懸停時所受平臺的作用力等于萬有引力，根據F＝G，可得＝G∶G＝×2＝，故選B。3．(2021·新疆高三月考)兩個大小相同的實心小鐵球緊靠在一起，它們之間的萬有引力為F。若將兩個用同種材料制成的半徑是小鐵球2倍的實心大鐵球緊靠在一起，則兩大鐵球之間的萬有引力為(　D　)A．2F B．4FC．8F D．16F[解析]　兩個小鐵球之間的萬有引力為F＝G＝G，實心小鐵球的質量為m＝ρV＝ρ·πr3，大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，則大鐵球的質量m′與小鐵球的質量m之比為＝＝，故兩個大鐵球間的萬有引力為F′＝G＝G＝16F。故選D。4．(2022·江蘇高三模擬)2021年2月10日，我國首次火星探測任務“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。若已知“天問一號”探測器質量m、飛行速度v、運動周期T，萬有引力常量為G，下列說法正確的是(　B　)A．“天問一號”探測器內物體處于平衡狀態(tài)B．可計算出火星質量C．可計算出火星半徑D．可計算出火星表面重力加速度[解析]　火星與“天問一號”之間的萬有引力提供“天問一號”做圓周運動的向心力，“天問一號”處于非平衡狀態(tài)，A錯誤；由飛行速度v、運動周期T，可計算出“天問一號”做圓周運動的軌道半徑R＝，但這不是火星的半徑，根據G＝m，可求出火星質量M，B正確，C錯誤；根據G＝mg，可計算出距離火星球心R處的重力加速度，無法計算出火星表面重力加速度，所以D錯誤。5．(2022·河北高三月考)2021年5月15日，我國首次火星探測任務“天問一號”探測器在火星表面預選著落區(qū)著落，邁出了我國星際探測征程的重要一步。后續(xù)祝融號火星車將開展巡視探測。已知火星直徑約為地球直徑的50%，火星質量約為地球質量的10%，近地衛(wèi)星的周期約1.5小時，下列說法正確的是(　A　)A．“天問一號”在火星表面圓軌道上的環(huán)繞周期大于1小時B．“天問一號”的發(fā)射速度大于7.9 km/s小于11.2 km/sC．“天問一號”在火星表面圓軌道上的繞行速度大于7.9 km/sD．火星表面的重力加速度大于9.8 m/s2[解析]　由題意可知，近地衛(wèi)星的周期約1.5小時，則“天問一號”在火星表面圓軌道上的環(huán)繞周期大于1小時，選項A正確；發(fā)射“天問一號”時要脫離地球的引力，但是不脫離太陽系，則其發(fā)射速度大于11.2 km/s，選項B錯誤；根據G＝m，可得v＝，則＝＝＝≈0.45。即 “天問一號”在火星表面圓軌道上的繞行速度小于7.9 km/s，選項C錯誤；根據G＝mg ，可得g＝，＝·＝·22＝0.4，火星表面的重力加速度小于9.8 m/s2，選項D錯誤。6．(2022·重慶南開中學高三月考)地球剛誕生時自轉周期約為8小時，因為受到月球潮汐的影響，地球自轉在持續(xù)減速，現在地球自轉周期是24小時。與此同時，地月間的距離不斷增加。若將地球和月球視為一個孤立的雙星系統(tǒng)，兩者繞其連線上的某一點O作勻速圓周運動，地球和月球的質量與大小均保持不變，則在地球自轉減速的過程中(　B　)A．地球的第一宇宙速度不斷減小B．地球赤道處的重力加速度不斷增大C．地球、月球勻速圓周運動的周期不斷減小D．地球的軌道半徑與月球的軌道半徑之比不斷增大[解析]　根據G＝m，解得地球的第一宇宙速度為v＝，地球的質量和半徑不變，則第一宇宙速度不變，A錯誤；根據G－mg＝m2R地，則隨地球自轉周期的變大，地球赤道處的重力加速度g不斷增大，B正確；根據地月系統(tǒng)G＝M地r1＝M月r2，解得G(M地＋M月)＝，＝，因為地球和月球的質量保持不變，地月間的距離L不斷增加，可知地球、月球勻速圓周運動的周期不斷增加，地球的軌道半徑與月球的軌道半徑之比不變，C、D錯誤。7．(2022·重慶高三月考)2020年7月31日，北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)如圖甲所示，建成暨開通儀式在北京舉行。如圖乙所示為55顆衛(wèi)星繞地球在不同軌道上運動的lg r－lg T圖像，其中T為衛(wèi)星的周期，r為衛(wèi)星的軌道半徑，1和2對應其中的兩顆衛(wèi)星。下列說法正確的是(　A　)　A．a0與地球質量有關B．圖像的斜率與地球質量有關C．衛(wèi)星2的機械能大于衛(wèi)星1的機械能D．衛(wèi)星2的向心加速度大于1的向心加速度[解析]　由引力作為向心力可得G＝mr，兩邊同時取對數，整理得lgr＝lgT＋lg，當lg T＝0時，由圖乙可得lg r＝lg＝a0，故a0與地球質量有關，圖線斜率為，與地球質量無關，A正確、B錯誤；衛(wèi)星的機械能等于動能與勢能的總和，由于兩顆衛(wèi)星質量關系未知，故無法比較兩顆衛(wèi)星的機械能，C錯誤；由引力作為向心力可得G＝ma，解得a＝G，由lg r1＝a1，lg r2＝a2，可知衛(wèi)星2的軌道半徑較大，故衛(wèi)星2的向心加速度較小，D錯誤。8．(2021·全國高三練習)如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的角度為θ，已知引力常數為G，下列說法正確的是(　BC　)A．若測得飛行器的周期和張角，可得到星球的質量B．若測得飛行器的周期和軌道半徑，可得到星球的質量C．若測得飛行器的周期和張角，可得到星球的平均密度D．若測得飛行器的周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度[解析]　設星球的質量為M，半徑為R，平均密度為ρ，張角為θ，飛行器的質量為m，軌道半徑為r，周期為T，對于飛行器，根據萬有引力提供向心力得＝m，由幾何關系有R＝rsin ，星球的質量M＝，所以測出飛行器的周期和軌道半徑，可得到星球的質量，A錯誤，B正確；由M＝ρ×πR3，星球的平均密度ρ＝，所以測得飛行器的周期和張角，可得到星球的平均密度，C正確，D錯誤。9．(2021·湖北高三月考)2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射成功，標志著中國空間站時代已經到來。假設天和核心艙在距離地面400 km的軌道上繞地球做勻速圓周運動，則(　BC　)A．天和核心艙線速度小于3.1 km/sB．天和核心艙運行周期小于地球自轉周期C．天和核心艙加速度小于地面重力加速度D．天和核心艙角速度小于地球自轉角速度[解析]　根據v＝可知，軌道半徑越大線速度越小，而3.1 km/s是同步衛(wèi)星的線速度，離地高度為36 000 km，則天和核心艙離地400 km，其線速度大于3.1 km/s，故A錯誤；由T＝可知，軌道半徑越大周期越大，地球自轉周期等于同步衛(wèi)星的公轉周期，則天和核心艙運行周期小于地球同步衛(wèi)星的公轉周期，即天和核心艙運行周期小于地球自轉周期，故B正確；由g＝可知，距離地表越遠重力加速度越小，則天和核心艙加速度小于地面重力加速度，故C正確；由ω＝可知，軌道半徑越大角速度越小，天和核心艙角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，即天和核心艙角速度大于地球自轉角速度，故D錯誤。10．(2021·湖北卷，9)嫦娥五號取壤返回地球，完成了中國航天史上的一次壯舉。如圖所示為嫦娥五號著陸地球前部分軌道的簡化示意圖，其中Ⅰ是月地轉移軌道，在P點由軌道Ⅰ變?yōu)槔@地橢圓軌道Ⅱ，在近地點Q再變?yōu)槔@地橢圓軌道Ⅲ。下列說法正確的是(　BC　)A．在軌道Ⅱ運行時，嫦娥五號在Q點的機械能比在P點的機械能大B．嫦娥五號在軌道Ⅱ上運行的周期比在軌道Ⅲ上運行的周期長C．嫦娥五號分別沿軌道Ⅱ和軌道Ⅲ運行時，經過Q點的向心加速度大小相等D．嫦娥五號分別沿軌道Ⅱ和軌道Ⅲ運行時，經過Q點的速度大小相等[解析]　本題考查開普勒第三定律。在軌道Ⅱ運行時，只有萬有引力做功，機械能守恒，A錯誤；根據開普勒第三定律可知，半長軸越長，周期越長。軌道Ⅱ對應的半長軸長，所以嫦娥五號在軌道Ⅱ上運行的周期比在軌道Ⅲ上運行的周期長；B正確；嫦娥五號分別沿軌道Ⅱ和軌道Ⅲ運行時，向心加速度都是由萬有引力提供，即Fn＝＝man，則an＝，經過Q點時距地距離R相等，向心加速度大小相等，C正確；嫦娥五號由軌道Ⅱ變向軌道Ⅲ運行時，需要在Q點減速才能實現，所以嫦娥五號沿軌道Ⅱ運行時經Q點的速度大于沿軌道Ⅲ運行時Q點的速度，D錯誤。二、非選擇題11．(2021·北京高三一模)2021年2月10日19時52分，我國首次火星探測任務“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成功實現環(huán)繞火星運動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。在“天問一號”環(huán)繞火星做勻速圓周運動時，周期為T，軌道半徑為r。已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星的自轉。求：(1)“天問一號”環(huán)繞火星運動的線速度的大小v；(2)火星的質量M；(3)火星表面的重力加速度的大小g。[答案]　(1)　(2)　(3)[解析]　(1)由線速度定義可得v＝。(2)設“天問一號”的質量為m，引力提供向心力有G＝m2r，得M＝。(3)忽略火星自轉，火星表面質量為m′的物體，其所受引力等于重力m′g＝，得g＝。12．(2022·湖北高三模擬)2021年5月15日7時18分，我國火星探測器“天問一號”的著陸巡視器(其中巡視器就是“祝融號”火星車)成功著陸于火星烏托邦平原南部預選著陸區(qū)。著陸巡視器從進入火星大氣層到成功著陸經歷了氣動減速段、傘系減速段、動力減速段、懸停避障與緩速下降段，其過程大致如圖所示。已知火星質量為6.42×1023 kg(約為地球質量的0.11倍)、半徑為3 395 km(約為地球半徑的0.53倍)，“天問一號”的著陸巡視器質量為1.3t，地球表面重力加速度為9.8 m/s2。試根據圖示數據計算說明下列問題：(1)著陸巡視器在動力減速段做的是否為豎直方向的勻減速直線運動？(2)設著陸巡視器在傘系減速段做的是豎直方向的勻減速直線運動，試求火星大氣對著陸巡視器的平均阻力為多大？(結果保留1位有效數字)[答案]　(1)不是勻減速直線運動　(2)1×104 N[解析]　(1)設動力減速階段著陸巡視器初速度為v1，末速度為v2，若此過程為勻減速直線運動，則有x＝t，代入數據得×80 m＝3 944 m≠1 400 m，即此過程不是勻減速直線運動。(2)著陸巡視器在地球表面時，有mg＝，著陸巡視器在火星表面時，有mg火＝由題意，有＝0.53 ，＝0.11聯立解得g火＝3.8 m/s2。取向下為正方向，傘系減速過程著陸巡視器初速度為v0，時間t′＝90 s，m＝1 300 kg，此過程加速度a＝，解得a＝－4.1 m/s2；設火星大氣對著陸巡視器阻力的大小為f，由牛頓第二定律，可得mg火－f＝ma，聯立解得f＝1×104 N。  

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