第16講 斜面上的平拋運動模型及類平拋運動模型一.知識總結斜面上的平拋運動問題是一種常見的題型，在解答這類問題時除要運用平拋運動的位移和速度規(guī)律，還要充分運用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關系，從而使問題得到順利解決。1．從斜面上某點水平拋出，又落到斜面上的平拋運動的五個規(guī)律（推論）(1)位移方向相同，豎直位移與水平位移之比等于斜面傾斜角的正切值。(2)剛落到側面時的末速度方向都平行，豎直分速度與水平分速度(初速度)之比等于斜面傾斜角正切值的2倍。(3)運動的時間與初速度成正比。(4)位移與初速度的二次方成正比。(5)當速度與斜面平行時，物體到斜面的距離最遠，且從拋出到距斜面最遠所用的時間為平拋運動時間的一半。2．常見的模型模型方法分解速度，構建速度三角形，找到斜面傾角θ與速度方向的關系分解速度，構建速度的矢量三角形分解位移，構建位移三角形，隱含條件：斜面傾角θ等于位移與水平方向的夾角基本規(guī)律水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝方向：tanθ＝水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝方向：tanθ＝水平：x＝v0t豎直：y＝gt2合位移：s＝方向：tanθ＝運動時間由tanθ＝＝得t＝由tanθ＝＝得t＝由tanθ＝＝得t＝ 3.類平拋運動模型（1）模型特點：物體受到的合力恒定，初速度與恒力垂直，這樣的運動叫類平拋運動。如果物體只在重力場中做類平拋運動，則叫重力場中的類平拋運動。學好這類模型，可為電場中或復合場中的類平拋運動打基礎。（2）.類平拋運動與平拋運動的區(qū)別做平拋運動的物體初速度水平，物體只受與初速度垂直的豎直向下的重力，a＝g；做類平拋運動的物體初速度不一定水平，但物體所受合力與初速度的方向垂直且為恒力，a＝。（3）求解方法(1)常規(guī)分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的勻加速直線運動。(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向上列方程求解?！　　?/span>（4）求解類平拋運動問題的關鍵(1)對研究對象受力分析，找到物體所受合力的大小、方向，正確求出加速度。(2)確定是研究速度，還是研究位移。(3)把握好分解的思想方法，例題中研究位移，把運動分解成沿斜面的勻加速直線運動和水平方向的勻速直線運動，然后將兩個方向的運動用時間t聯(lián)系起來。 二.例題精講題型一：分解速度例1．如圖所示，以10m/s的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為θ＝30°的斜面上，g取10m/s2，這段飛行所用的時間為（　?。?/span>A．s B．s C．s D．2s【解答】解：物體做平拋運動，當垂直地撞在傾角為θ的斜面上時，把物體的速度分解如圖所示，tanθ代入數據解得：ts；故ABD錯誤，C正確；故選：C。題型二：分解位移例2．如圖所示，小球以v0正對傾角為θ的斜面水平拋出，若小球到達斜面的位移最小，則飛行時間t為（重力加速度為g）（　?。?/span>A．v0tanθ B． C． D．【解答】解：小球到達斜面的位移最小，可知位移的方向與斜面垂直，如圖所示，根據幾何關系有：，解得飛行的時間：t，故D正確，A、B、C錯誤。故選：D。題型三：分解速度與分解位移相結合 例3．如圖所示，小球由傾角為45°的斜坡底端P點正上方某一位置Q處自由下落，下落至P點的時間為t1，若小球從同一點Q處以速度v0水平向左拋出，恰好垂直撞在斜坡上，運動時間為t2，不計空氣阻力，則t1：t2等于（　　）A．1：2 B．：1 C．1： D．1：【解答】解：小球做平拋運動時，恰好能垂直落在斜坡上，有：  tan45°又 vy＝gt2，則得 t2又 水平位移 s＝v0t2豎直位移 hQgt22由上得到：小球做自由落體運動時，由幾何關系可知小球下落的高度為：  hQ+sgt12聯(lián)立以上各式解得：．故B正確，A、C、D錯誤。故選：B。 題型四：類平拋運動例（多選）4．如圖所示，一光滑寬闊的斜面，傾角為θ，高為h．現有一小球在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，下面說法中正確的是（　　）A．小球的運動軌跡為拋物線 B．小球的加速度為gsinθ C．小球到達B點的時的速度為 D．小球到達B點時小球的水平位移為【解答】解：A、小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度垂直，做類平拋運動，軌跡為拋物線。故A正確。B、根據牛頓第二定律知，小球的加速度agsinθ．故B正確。C、根據機械能守恒定律，則有：，解得：v．故C錯誤。D、小球在沿斜面方向上的位移為，根據at2，解得t；在水平方向上做勻速直線運動，x＝v0t．故D正確。故選：ABD。題型五：空氣阻力不能忽略的曲線運動例（多選）5．如圖（a），在跳臺滑雪比賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態(tài)會影響下落的速度和滑翔的距離。某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v﹣t圖象如圖（b）所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。則（　?。?/span>A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小 B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大 C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大 D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大【解答】解：A、根據圖象與時間軸所圍圖形的面積表示豎直方向上位移的大小可知，第二次滑翔過程中的位移比第一次的位移大，故A錯誤；B、由圖象知，第二次的運動時間大于第一次運動的時間，由于第二次豎直方向下落距離大，合位移方向不變，所以第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大，故B正確；C、由圖象知，第二次滑翔時的豎直方向末速度小，運動時間長，據加速度的定義式可知其平均加速度小，故C錯誤；D、當豎直方向速度大小為v1時，第一次滑翔時圖象的斜率大于第二次滑翔時圖象的斜率，而圖象的斜率表示加速度的大小，故第一次滑翔時速度達到v1時加速度大于第二次時的加速度，據mg﹣f＝ma可得阻力大的加速度小，故第二次滑翔時的加速度小，故其所受阻力大，故D正確。故選：BD。三.舉一反三，鞏固練習如圖所示，將一個小球從A點以速度v1水平拋出，小球垂直落在傾角為θ的斜面上P點，若將小球拋出點移到圖中的B點速度v2以水平拋出后小球垂直落在斜面上的Q點（圖中未標出），下列說法正確的是（　?。?/span>A．Q點在斜面上P點下方 B．Q點在斜面上可能與P點重合 C．水平初速度v2一定大于v1 D．兩次小球落在斜面上動能可能相等【解答】解：AB、小球兩次都垂直打在斜面上，則小球末速度方向與初速度之間夾角不變，即平拋運動位移偏轉角不變，根據圖示，第一次平拋運動位移xAP，平行于第二次平拋運動位移xBQ，如圖所示Q點在斜面上P點上方，故AB錯誤；C、小球兩次都垂直打在斜面上，則小球末速度方向與豎直分速度之間有豎直速度 代入可得因hB＞hA，則v2＞v1，故C正確；D、小球從A到P重力做功，小球的動能增加，得小球從B到Q，重力做功，小球的動能增加，得因為v2＞v1，hB＞hA，則mghB＞mghA所以EKB＞EKA，故D錯誤；故選：C。如圖所示，長木板AB傾斜放置，板面與水平方向的夾角為θ，在板的A端上方P點處，以大小為v0的水平初速度向右拋出一個小球，結果小球恰好能垂直打在板面上。現讓板繞A端順時針轉過一個角度到圖上虛線的位置，要讓球從P點水平拋出后仍能垂直打在板面上，則水平位移x及拋出的水平速度v（不計空氣阻力）（　?。?/span>A．x變大，v大于v0 B．x變小，v小于v0 C．x變大，v等于v0 D．x變化不確定，v小于v0【解答】解：設板與水平方向的夾角為θ，將速度進行分解如圖所示：根據幾何關系可得：v0＝vytanθ＝gt?tanθ，水平方向有：x＝v0t，則：t，代入整理可得：gx?tanθ對木板進行分析，如圖設AP的距離為H，則有：H＝y+xtanθ由平拋運動的性質可得：，又有：，可得：y聯(lián)立可得：x由數學知識可知：當時，即tanθ時，取最大值，則x存在最小值，所以當θ發(fā)生變化后，x的變化不確定；由前述結論：gx?tanθ，可得：由題意知θ減小，則tanθ變小、故初速度v0減小，即v＜v0，故D正確，ABC錯誤。故選：D。如圖所示，某同學將一乒乓球水平拋出，乒乓球以5.0m/s的速度垂直打在斜面上，之后乒乓球以4.0m/s的速度垂直斜面彈回，已知乒乓球與斜面相互作用的時間為0.2s，則乒乓球與斜面作用過程中，乒乓球的加速度為（　?。?/span>A．5.0m/s2，方向垂直斜面向下 B．5.0m/s2，方向垂直斜面向上 C．45m/s2，方向垂直斜面向下 D．45m/s2，方向垂直斜面向上【解答】解：規(guī)定乒乓球垂直打在斜面上瞬間速度的方向為正方向，根據加速度定義式，可得，負號表示加速度的方向與垂直打在斜面上瞬間初速度的方向相反，即加速度方向垂直斜面向上。故ABC錯誤，D正確。故選：D。如圖所示，質量為m的小球以v0正對傾角為θ的斜面水平拋出，若小球到達斜面的位移最小，則小球落到斜面時重力的瞬時功率為（重力加速度為g）（　?。?/span>A． B．2mgv0tanθ C． D．mgv0tanθ【解答】解：小球到達斜面的位移最小，可知位移的方向與斜面垂直，如圖所示，根據幾何關系有： 解得飛行的時間：，小球豎直方向的速度為vy，故小球落到斜面時重力的功率為P＝mgvy，故A正確，BCD錯誤。故選：A。如圖所示，從傾角為θ斜面足夠長的頂點A，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為α1，第二次初速度為v2，球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為α2，則（　?。?/span>A．α1＞α2，v1＞v2 B．α1＜α2，v1＜v2 C．α1＝α2，v1＞v2 D．α1＝α2，v1＜v2【解答】解：如圖所示，由平拋運動的規(guī)律知lsinθgt2，lcosθ＝v0t，解得：t，由圖知tan（α+θ）2tanθ，所以α與拋出速度v0無關，故α1＝α2；小球做平拋運動，h，可知第二次的時間較大，水平位移x＝v0t，tanθ，解得：t，可知第二次的初速度v2較大，故D正確，ABC錯誤。故選：D。將一擋板傾斜地固定在水平面上，傾角θ＝37°，如圖．現有質量為m的小球由擋板上方的A點以初速度v0水平向右拋出，不計空氣阻力，經過1s恰好垂直落在擋板上的B點，取g＝10m/s2，求：（1）初速度v0的大小；（2）A、B兩點的高度差與水平間距之比．【解答】解：小球在碰撞擋板前做平拋運動，設剛要碰撞斜面時小球速度為v，由題意知速度v的方向與豎直方向的夾角為37°，如圖，（1）將B點的速度分解，在豎直方向vy＝gt＝10m/s，又知，解得v0＝vx＝7.5m/s。（2）A、B兩點的高度差與水平間距之比：。答：（1）初速度v0的大小為7.5m/s；（2）A、B兩點的高度差與水平間距之比為。如圖所示，閣樓橫截面為等腰直角三角形ABC，屋頂距水平樓面高度為H，從屋頂正下方距離閣樓地面某一高處向橫截面內水平拋出一小球，重力加速度為g。（1）若小球距離地面h處拋出，求不碰屋面運動的時間是多少？（2）若小球能落在A處，求小球拋出位置的最大高度？【解答】解：（1）由平拋運動公式： 代入數據，可得：t（2）當運動軌跡與AC相切時，此時小球拋出為最大高度，由幾何關系可知豎直速度和水平速度相等，水平位移大小為H，則滿足：vy＝gt1＝vx，x＝H＝vxt1聯(lián)立，可得： 則最大高度為： 答：（1）若小球距離地面h處拋出，求不碰屋面運動的時間是。（2）若小球能落在A處，小球拋出位置的最大高度為跑酷（Pakour）是時下風靡全球的時尚極限運動，一跑酷運動員在一次訓練中的運動可簡化為以下運動：運動員首先在平直高臺上以4m/s2的加速度從靜止開始勻加速運動，運動8m的位移后，在距地面高為5m的高臺邊緣水平跳出，在空中調整姿勢后恰好垂直落在一傾角為53°的斜面中點位置。此后運動員迅速調整姿勢沿水平方向蹬出，假設該運動員可視為質點，不計空氣阻力，取重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：（1）運動員從樓頂邊緣跳出到落到斜面上所用的時間t；（2）該斜面底端與高臺邊緣的水平距離s；（3）若運動員水平蹬出斜面后落在地面上，求運動員的蹬出速度范圍。【解答】解：（1）設運動員從高臺邊緣水平跳出的速度為v0，勻加速的位移為l，由速度﹣位移公式得：2al代入數據解得：v0＝8m/s恰好垂直落在一傾角為53°的斜面中點位置時，由運動的合成與分解得：tan53°代入數據解得運動員從樓頂邊緣跳出到落到斜面上所用的時間為：t＝0.6s（2）設高臺距斜面中點的水平距離為x，水平方向上有：x＝v0t＝8×0.6m＝4.8m豎直方向上，有：ym＝1.8m則斜面中點距地面豎直距離為：h＝H﹣y＝5m﹣1.8m＝3.2m斜面中點距斜面底端水平距離為：x′m＝2.4m該斜面底端與高臺邊緣的水平距離s：s＝x﹣x′＝4.8m﹣2.4m＝2.4m（3）根據位移﹣時間公式，可得運動員水平蹬出斜面后落在地面上的時間為：t′s＝0.8s能落到地面上，水平位移的范圍為：2.4m≤x′≤4.8m根據運動學公式得：x′＝v0′t′代入數據解得運動員的蹬出速度范圍為：3m/s≤v0′≤6m/s答：（1）運動員從樓頂邊緣跳出到落到斜面上所用的時間t為0.6s；（2）該斜面底端與高臺邊緣的水平距離s為2.4m；（3）若運動員水平蹬出斜面后落在地面上，運動員的蹬出速度范圍為3m/s≤v0′≤6m/s。如圖所示，傾角為θ的斜面體固定在水平面上，兩個可視為質點的小球甲、乙分別沿水平方向拋出，兩球的初速度大小均為v0，已知甲的拋出點為斜面體的頂點，小球乙落在斜面上時的速度與斜面垂直。設兩球落在斜面上的A、B兩點后不再反彈，忽略空氣阻力，重力加速度為g。求：（1）甲球在空中運動的時間t；（2）乙球在空中運動的時間t′；（3）甲、乙兩球落在斜面上瞬間的速度方向與水平方向夾角的正切值之比。【解答】解：（1）甲球在空中做平拋運動，甲球落在斜面上時，有  tanθ可得t（2）乙球在空中做平拋運動，小球乙落在斜面上時的速度與斜面垂直，則  tanθ可得t′（3）甲球落在斜面上瞬間的速度方向與水平方向夾角的正切值為  tanα甲故tanα甲＝2tanθ乙球落在斜面上瞬間的速度方向與水平方向夾角的正切值為  tanα乙故tanα甲：tanα乙＝2tan2θ：1答：（1）甲球在空中運動的時間t是；（2）乙球在空中運動的時間t′是；（3）甲、乙兩球落在斜面上瞬間的速度方向與水平方向夾角的正切值之比是2tan2θ：1。如圖所示，某同學想制作一個簡易水輪機，讓水從水平放置的水管流出，水流軌跡與下邊放置的輪子邊緣相切，水沖擊輪子邊緣上安裝的擋水板，可使輪子連續(xù)轉動。當該裝置工作穩(wěn)定時，可近似認為水到達輪子邊緣時的速度與輪子邊緣的線速度相同。調整輪軸O的位置，使水流與輪邊緣切點對應的半徑與水平方向成θ＝37°角。測得水從管口流出速度v0＝6m/s，輪子半徑R＝0.4m，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。求：（1）輪子轉動的角速度大小；（2）水管的出水口到輪軸O的水平距離。【解答】解：（1）水做平拋運動，水到達輪子邊緣時速度如圖所示輪子邊緣的線速度大小vm/s＝10m/s輪子轉動角速度rad/s＝25rad/s（2）水到達輪子邊緣時的豎直分速度vym/s＝8m/s水做平拋運動，設運動時間為t，水平分位移：x＝v0t豎直分速度：vy＝gt水管出水口距輪軸O水平距離：l＝x﹣Rcos37°代入數據解得：l＝4.48m答：（1）輪子轉動的角速度大小是25rad/s；（2）水管的出水口到輪軸O的水平距離是4.48m。
 

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