四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習網(wǎng)

仁壽一中南校區(qū)高2022級高二上學(xué)期十月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若向量，向量，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】向量，向量，則.故選：C2．從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治【答案】D【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對立事件，故A錯誤；對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.故選:D.3．已知M、N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點，點P在線段MN上，且MP=2PN，設(shè)向量，，，則= （）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，=+=×(+)+×=故選：C4．已知，，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故在上的投影向量為.故選：D5．設(shè) 是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【詳解】A選項，如圖1，當，時，因為，所以，如圖2，當時，因為，，設(shè)，過點作，則，且因為，所以，所以，A正確； B選項，如圖3，若，，所以，因為，故存在，使得，且，則，因為，所以，因為，故，B正確；C選項，如圖4，滿足，，，但不滿足，C錯誤；D選項，如圖5，因為，，所以，又，所以，故D正確.故選：C 6．某省在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績是按照3（語文、數(shù)學(xué)、英語）（物理、歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則某考生選擇物化生組合的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在2（物理，歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2中，選物理的有6種，分別為：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同時，選歷史的也有6種，共計12種，其中選擇物化生的有1種，某考生選擇物化生的概率是.故選：D7．在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示：連接交于點，連接，因為,所以（補角）是異面直線與所成角．因為平面，平面，所以，又因為四邊形為菱形，所以，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，則為直角三角形，設(shè)，在中，，所以，故選：B．8．如圖，在邊長為的正方體中，為的中點，點在底面上移動，且滿足，則線段的長度的最大值為（） A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則點、、，設(shè)點，，，，，得，由，得，得，，，當時，取得最大值.故選：D.二、多選題9. 下面四個結(jié)論正確的是（）A．向量，若，則．B．若空間四個點，，，，，則，，三點共線．C．已知向量，，若，則為鈍角．D．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底；【答案】ABD10．是空氣質(zhì)量的一個重要指標,我國標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級,在之間空氣質(zhì)量為二級,在以上空氣質(zhì)量為超標.如圖是某地11月1日到10日日均值（單位:）的統(tǒng)計數(shù)據(jù),則下列敘述正確的是（）A．從5日到9日,日均值逐漸降低B．這10天中日均值的平均數(shù)是49.3C．這10天的日均值的中位數(shù)是45D．從這10天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽出一天的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量為一級的概率是【答案】ABD【解析】由圖可知從5日到9日,日均值逐漸降低，故選項A正確;由圖平均數(shù)為，故選項B正確;由圖可知這10天的數(shù)據(jù)從小到大排列為：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位數(shù)為:，故選項C錯誤;由數(shù)據(jù)可知,10天中日均值以下有4天，故空氣質(zhì)量為一級的概率是，故選項D正確.故選：ABD11．下列敘述正確的是（）A．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件B．甲?乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?/span>C．從裝有個紅球和個黑球的口袋內(nèi)任取個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件D．在件產(chǎn)品中，有件一等品和件二等品，從中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率為【答案】ABD【解析】對于A選項：互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，它可以同時不發(fā)生，對立事件是必有一個發(fā)生的互斥事件，A正確；對于B選項：甲不輸?shù)氖录窍鲁珊推宓氖录c甲獲勝的事件和，它們互斥，則甲不輸?shù)母怕蕿?/span>，B正確；對于C選項：由給定條件知，至少有一個黑球與至少有一個紅球這兩個事件都含有一紅一黑的兩個球這一基本事件，即它們不互斥，C錯誤；對于D選項：5件產(chǎn)品中任取兩件有10個基本事件，它們等可能，其中“至多一件一等品”的對立事件為“恰兩件一等品”，有3個基本事件，從而所求概率為，D正確. 故選：ABD12．已知三棱柱為正三棱柱，且，，是的中點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論所有正確的命題是（） A. 正三棱柱外接球的表面積為 B. 若直線與底面所成角為，則的取值范圍為 C.若，則異面直線與所成的角為 D.若過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最小值為。【答案】AD【解答】對A ：因為外接圓的半徑，，所以正三棱柱外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故 A正確；對B ：法一:取的中點，連接，，，，由正三棱柱的性質(zhì)可知平面平面，且交線為AF,所以當點與重合時，,PB最大, 最小，此時;當點與重合時，,PB最小, 最大，此時所以，故B 錯誤；法二:點P到底面的距離為正三棱柱的高2,, 時,PB最小,,當當點與重合時，,PB最小, 最大，此時;又與重合時，PF最大,即PB最大, 最小，此時;所以，故B 錯誤；法三:（向量法）以BC中點F為空間原點,分別以FA,FB,FD為軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設(shè),,為面ABC的法向量, 當t=0時, 當t=3時, 所以，故B 錯誤；對C ：法一（割補法）將正三棱柱補成如圖所示的直四棱柱，則 (或其補角)為異面直線與所成的角，易得，，所以，故C錯誤；法二（向量法）以BC中點F為空間原點,分別以FA,FB,FD為軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設(shè),故C錯誤；對D：如圖所示，因為，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè) 的中點為，作出截面如圖所示，因為，所以在以為直徑的圓上，所以點到底面距離的最大值為，所以三棱錐的體積的最小值為，故D正確. .故選AD.三、填空題13．用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是人.【答案】1800【詳解】，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故答案為：180014．已知事件A，B，C兩兩互斥，且，，，則．【答案】0.9/【詳解】由題意得，則．故答案為：0.915．在△中，是邊上一點，且，是上的一點，若，則實數(shù)的值為．【答案】【詳解】如圖：∵，∴，則，又∵B，P，N三點共線，∴，故得m=．故答案為．16．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM＝BN＝a（0＜a＜）．則下列結(jié)論：①當a＝時，ME與CN相交；②MN始終與平面BCE平行；③異面直線AC與BF所成的角為45°；④MN的最小值為．正確的序號是．【答案】②④【詳解】由題意，以為坐標原點，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，由正方形，的邊長1，所以因為，所以，若與相交，則四點共面，又在平面，所以當且僅當在平面時，與相交，此時，故①錯誤；平面的法向量為，，，，所以MN始終與平面BCE平行，故②正確；，設(shè)異面直線與所成的角為，，所以異面直線AC與BF所成的角為，故③錯誤；，故④正確.故答案為：②④四、解答題17．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且.(1)若，求D點的坐標；(2)設(shè)向量，若向量與平行，求實數(shù)k的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）設(shè)，因為，于是，整理得，即有，解得，所以.（2）因為，所以，，因為向量與平行，因此，解得，所以實數(shù)k的值為.18．三棱臺中，若面，分別是中點. (1)求證：//平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）[方法一：幾何法] 過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法] 輔助線同方法一.設(shè)點到平面的距離為.，.由，即.19．某校從高二年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，后得到如圖的頻率分布直方圖. (1)求抽取的40名學(xué)生同學(xué)的成績的中位數(shù)；(2)若該校高二年級共有學(xué)生560人，試估計該校高二年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)；(3)若從數(shù)學(xué)成績在與兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不小于10的概率.【答案】(1)75分；(2)196；(3).【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得，因為前3組的頻率和，前4組的頻率和，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為75分；（2）由頻率分布直方圖可得成績不低于80分的頻率為，因為該校高二年級共有學(xué)生560人，所以該校高二年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)約為（人）；（3）由頻率分布直方圖可得成績在內(nèi)的人數(shù)為人，記為，成績在內(nèi)的人數(shù)為人，記為，若從數(shù)學(xué)成績在與兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生的所有情況有：，，，，共15種情況，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不小于10的有：，，共8種，所以所求概率為.20．某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲?乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨立的，那么(1)甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？(2)甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.【答案】(1)甲獲得錄取的可能性大；(2).【解析】（1）記“甲通過筆試”為事件，“甲通過面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過筆試”為事件，“乙通過面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件B，則，，即，所以甲獲得錄取的可能性大.記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C，則.21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，，且，，，為上一點.(1)求證：；(2)若為的中點，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）因為，，所以，，又因為，則，所以，因為平面，平面，所以，且，平面，所以平面，由平面，所以.（2）以點A為坐標原點，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為. 22．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點，位于靠近點的三等分點處滿足題意.【解析】（1）取中點，連接，分別為的中點，，底面四邊形是矩形，為棱的中點，，．，，故四邊形是平行四邊形，．又平面，平面，平面．（2）假設(shè)在棱上存在點滿足題意，在等邊中，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，則是四棱錐的高．設(shè)，則，，，所以.以點為原點，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，故，，．設(shè)，．設(shè)平面PMB的一個法向量為，則取．易知平面的一個法向量為，，，故存在點，位于靠近點的三等分點處滿足題意.

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