2022-2023學(xué)年四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關(guān)系是（    ）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】先求出兩圓圓心和半徑，再由兩圓圓心之間的距離和兩圓半徑和及半徑差比較大小即可求解.【詳解】由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因為，故這兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：B.2．下面四個選項中一定能得出平面平面的是（    ）A．存在一條直線a，，B．存在一條直線a，，C．存在兩條平行直線a，b，，，，D．存在兩條異面直線a，b，，，，【答案】D【分析】對于A，B，C，舉出符合條件的特例即可判斷；對于D，過直線a作平面，再證即可.【詳解】如圖，是長方體，平面ABCD為平面，平面ABB1A1為平面，對于A，直線C1D1為直線a，顯然，，而與相交，A不正確；對于B，直線CD為直線a，顯然，，而與相交，B不正確；對于C，直線CD為直線a，直線A1B1為直線b，顯然，，，，而與相交，C不正確；對于D，因a，b是異面直線，且，，過直線a作平面，如圖， 則c//a，并且直線c與b必相交，而，于是得，又，即內(nèi)有兩條相交直線都平行于平面，因此，平面平面.故選：D3．已知拋物線的焦點為F，過點且垂直于x軸的直線與拋物線C在第一象限內(nèi)的交點為A，若，則拋物線C的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義列方程可解得，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得，所以拋物線C的方程為.故選：A.【點睛】本題考查了拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時，面積為（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的定義可得，又，進(jìn)而即得.【詳解】∵雙曲線，∴，又點P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.故選：B.5．已知一個圓錐的體積為，其側(cè)面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖和圓錐體積公式以及側(cè)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，，則，又，所以，故．故選：C．6．正三棱柱中，，是的中點，則異面直線與所成的角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中點，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.7．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點，則下面結(jié)論中錯誤的是（    ）A． B．C．平面 D．平面平面【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定對各選項逐一分析、推理、證明即可判斷作答.【詳解】因四邊形是圓柱的軸截面，則線段AB是直徑，BC，AD都是母線，又是底面圓周上異于，的一點，于是得，而平面ABE，平面ABE，則，因，平面BCE，則平面BCE，平面BCE，因此得，A正確；同理，，B正確；點D不在底面ABE內(nèi)，而直線AE在底面ABE內(nèi)，即AE，DE是兩條不同直線，若平面，因平面BCE，與過一點有且只有一條直線垂直于已知平面矛盾，C不正確；因平面BCE，而平面ADE，于是得平面平面，D正確.故選：C8．如圖，在三棱錐中，，平面，，為的中點，則直線與平面所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】B【分析】取PC的中點為E，連接EO，易證OE⊥平面PAC，即∠OCE為直線與平面所成角.【詳解】取PC的中點為E，連接EO，可得OE∥BC，∵平面，平面ABC，∴又AC⊥BC，AC∩BC=C，∴BC⊥平面PAC，又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC，∴∠OCE為直線與平面所成角，設(shè)，OE=1.，OC=∴cos∠OCE=故選B【點睛】本題考查了直線與平面所成的角的作法和求法，解題時要按作、證、算三步規(guī)范解題，要能熟練的將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題加以解決9．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.10．已知拋物線，F為其焦點，若直線與拋物線C在第一象限交于點M，第四象限交于點N，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)聯(lián)立直線與拋物線方程，解出兩點橫坐標(biāo)，利用拋物線焦半徑公式即可得到線段比.【詳解】由題得，當(dāng)時，，則在直線上，聯(lián)立得，解得或，由下圖得，，故，，故，故選：D.11．長方體中，，，，為該正方體側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且滿足.則四棱錐體積的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先根據(jù)得到，所以的軌跡是以為焦點 的橢圓，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到四棱錐的高的最值，即可得到體積的范圍.【詳解】如圖所示：在中，，在中，，因為，所以.因為所以點的軌跡是以為焦點 的橢圓.如下圖所示：，，.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.聯(lián)立，解得：.所以，.當(dāng)點運(yùn)動到位置時，此時四棱錐的高最長，所以.當(dāng)點運(yùn)動到或位置時，此時四棱錐的高最短，所以.綜上所述：.故選：B【點睛】本題主要考查計算四棱錐的體積，同時考查了橢圓的幾何性質(zhì)，將立體思想轉(zhuǎn)化為橢圓思想是解題的關(guān)鍵，屬于難題.12．已知O為坐標(biāo)原點，P是橢圓E：上位于x軸上方的點，F為右焦點.延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點，，，則橢圓E的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓的對稱性，及，得四邊形為矩形，設(shè)，利用橢圓的定義，及條件所給出的長度關(guān)系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推斷出點P的位置，求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)左焦點為，連接，，，由題，，關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形.設(shè)，則，又因為，則，，，在中，，即，解得或（舍去），故點P為橢圓的上頂點.由，所以，即，所以離心率.故選：B.【點睛】解題時注意數(shù)形結(jié)合，抓住橢圓的對稱性，將圖形關(guān)系用含a，b，c的代數(shù)式表示出來，即可求解離心率. 二、填空題13．已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為_________．【答案】5【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用弦長公式，即可求得．【詳解】因為圓心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．14．三棱錐中，底面是銳角三角形，垂直平面，若其三視圖中主視圖和左視圖如圖所示，則棱的長為______【答案】【分析】根據(jù)三視圖，求得的長度，再利用勾股定理即可求得.【詳解】根據(jù)主視圖可知，點在的投影位于的中點，不妨設(shè)其為，故可得，根據(jù)左視圖可知：，則，又面面，故可得，則.故答案為：.15．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于___________【答案】【解析】設(shè)圓錐的頂點為，為底面圓上一點，底面圓的半徑為，圓心為，設(shè)球心為，球的半徑為，連結(jié)，可得，即可求出，由球體的體積公式，可求出答案.【詳解】設(shè)圓錐的頂點為，為底面圓上一點，底面圓的半徑為，圓心為，則，，設(shè)球心為，球的半徑為，連結(jié)，則，即，所以，解得.所以所求球體的體積為.故答案為：.【點睛】本題考查球的體積，考查圓錐的外接球，考查學(xué)生的空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.16．已知雙曲線的左右焦點分別為，P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點，且直線與y軸的正半軸交于A點，三角形的內(nèi)切圓在邊上的切點為Q，雙曲線的左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，，則該雙曲線的離心率為_________．【答案】【分析】設(shè)直線，與圓的切點分別為M，N，結(jié)合雙曲線的定義和對稱性可求出，再根據(jù)左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，可求出，進(jìn)而求出，最后再套用離心率公式可求出答案.【詳解】如圖，設(shè)直線，與圓的切點分別為M，N，由切線長定理可得，，，又點 P 在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得，，又雙曲線左焦點 到雙曲線的一條漸近線的距離為，∴∴，離心率.故答案為： 三、解答題17．如圖，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE＝DA，M為AE的中點.（1）求證：AC∥平面DMF；（2）求證：BE⊥DM.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）如圖，連結(jié)EC交DF于點N，連結(jié)MN.因為CDEF為矩形，所以EC，DF相互平分，所以N為EC的中點.又因為M為EA的中點，所以MN∥AC.又因為AC?平面DMF，且MN?平面DMF.所以AC∥平面DMF.（2）因為矩形CDEF，所以CD⊥DE.又因為∠ADC＝90°，所以CD⊥AD.因為DE∩AD＝D，DE，AD?平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又因為DM?平面ADE，所以CD⊥DM.又因為AB∥CD，所以AB⊥DM.因為AD＝DE，M為AE的中點，所以AE⊥DM.又因為AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，所以MD⊥平面ABE.因為BE?平面ABE，所以BE⊥MD.18．半徑為3的圓過點，圓心在直線上且圓心在第一象限．(1)求圓的方程；(2)過點作圓的切線，求切線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）通過圓心在直線上，且在第一象限設(shè)出圓心的坐標(biāo)，再利用圓上的點到圓心的距離等于半徑求出圓心，進(jìn)而可得圓的方程.（2）先判斷出點在圓外，再通過切線斜率存在與不存在兩種情況借助圓心到切線的距離等于半徑求切線方程.【詳解】（1）設(shè)圓心為，則，解得，則圓的方程為.故答案為：.（2）點在圓外，①切線斜率不存在時，切線方程為，圓心到直線的距離為,滿足條件.②切線斜率存在時，設(shè)切線，即,則圓心到切線的距離，解得，則切線的方程為：.故答案為：或.19．已知拋物線：，坐標(biāo)原點為，焦點為，直線：．(1)若與只有一個公共點，求的值；(2)過點作斜率為的直線交拋物線于兩點，求的面積．【答案】(1)1或0(2) 【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由或即可得解；（2）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點坐標(biāo)，從而得到直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及即可得解.【詳解】（1）依題意，聯(lián)立，消去，得，即，①當(dāng)時，顯然方程只有一個解，滿足條件；②當(dāng)時，，解得；綜上：當(dāng)或時直線與拋物線只有一個交點.（2）因為拋物線：，所以焦點，所以直線方程為，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，所以，，所以，所以.20．已知點，圓，點在圓上運(yùn)動，的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線與曲線交于兩點，且中點為，求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由橢圓的定義求解，（2）由點差法得直線斜率后求解，【詳解】（1）由題可知，則由橢圓定義知的軌跡是以、為焦點，且長軸長為的橢圓，∴，∴∴的軌跡方程為：（2）設(shè),∵ 都在橢圓上，∴  ，，相減可得，又中點為，∴ ，∴  ，即直線的斜率為，∴直線的方程為，即,因為點在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交于兩點，滿足條件.故直線的方程為.21．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O為坐標(biāo)原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.22．已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別為，，過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于A，B兩點，且的周長為.(1)求的方程；(2)若軸于點M，軸于點N，直線AN與BM交于點C.①求證：點C在一條定直線上，并求此定直線；②求面積的最大值.【答案】(1)；(2)①證明見解析，；②. 【分析】（1）由題意可得，求出，再由離心率為求出，由可求出，從而可求出橢圓方程，（2）由題可設(shè)直線方程為，代入橢圓方程中整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線和的方程，聯(lián)立可求出點的橫坐標(biāo)，即得；然后結(jié)合條件可表示出ABC面積，換元化簡后利用基本不等式可求得答案.【詳解】（1）由橢圓定義可知的周長為，即，因為離心率，所以，又因為，所以，故的方程為.（2）①依題意，設(shè)直線AB方程為.聯(lián)立，得，易知設(shè)，，則，.因為軸，軸，所以，.所以直線AN：，直線BM：，聯(lián)立解得.從而點C在定直線上.②因為，又，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故面積的最大值為 

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