山西省運城市景勝學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題A卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（每題5分，共計40分）
1．雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．
2．已知直線l：是圓C：的對稱軸，則k的值為（）
A．B．C．D．1
3．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線與C相交于M，N兩點（M在第一象限）.若M，，N，四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．D．
4．在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)k，使直線與圓相交的概率為（）
A．B．C．D．
5．如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和AC、BD的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點，則（）
A．B．C．D．
6．已知橢圓C：的上頂點為A，直線l：與橢圓C相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓C的右焦點F，且，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．或D．或
7．正四面體ABCD的棱長為1，點P是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點，當(dāng)取得最小值時，點P到AD的距離為（）
A．B．C．D．
8．設(shè)O為坐標(biāo)原點，，是雙曲線C：的左、右焦點，過作圓O：的一條切線，切點為T．線段交C于點P，若△OPT的面積為，且，則C的方程為（）
A．B．C．D．
二、多選題（每題5分，共計20分）
9．點P在圓：上，點Q在圓：上，則（）
A．的最小值為3B．的最大值為7
C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓相交弦所在直線的方程為
10．已知方程，則下列說法中正確的有（）
A．方程可表示圓
B．當(dāng)時，方程表示焦點在x軸上的橢圓
C．當(dāng)時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線
D．當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10
11．已知P為雙曲線右支上一點，，分別為雙曲線的左、右焦點，I是的內(nèi)心，雙曲線的離心率為e，，，的面積分別為，，，且，下列結(jié)論正確的為（）
A．B．
C．I在定直線上D．若，則或
12．如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，O為AC的中點，點M是棱BC上一動點，則下列結(jié)論正確的是（）
A．三棱錐P-ABC的表面積為
B．若M為棱BC的中點，則異面直線PM與AB所成角的余弦值為
C．若PC與平面PAM所成角的正弦值為，則二面角M-PA-C的正弦值為
D．的取值范圍為
三、填空題（每題5分，共計20分）
13．經(jīng)過，兩點，且圓心在x軸上的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
14．已知雙曲線C：的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，P為C上一點，且軸，過點A的直線l與線段PF交于點M（異于P，F(xiàn)），與y軸交于點N，直線MB與y軸交于點H，若（O為坐標(biāo)原點），則C的離心率為．
15．設(shè)雙曲線C：的右焦點為F，雙曲線C的一條漸近線為l，以F為圓心的圓與l交于點M，N兩點，，O為坐標(biāo)原點，，則雙曲線C的離心率的取值范圍是．
16．已知點D在線段AB上，CD是△ABC的角平分線，E為CD上一點，且滿足（），，，設(shè)，則在上的投影向量為．（結(jié)果用表示）．
四、解答題（共計70分）
17．（10分）
如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，．
（1）證明：．
（2）求二面角的余弦值．
18．（12分）
已知圓：和圓：.
（1）證明：圓和相交；
（2）求圓和公共弦所在的直線方程.
19.（12分）
如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為等腰梯形，，二面角S-BD-A為直二面角．
（1）求證：；
（2）若△SBC為等邊三角形，當(dāng)點M在棱BC上運動時，記直線SM與平面SAD所成角為，當(dāng)最小時，求的值．
20．（12分）
設(shè)橢圓C：長軸的左，右頂點分別為A，B．
（1）若P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AP，BQ的斜率分別為，，求的最小值；
（2）已知過點的直線l交橢圓C于M、N兩個不同的點，直線AM，AN分別交y軸于點S、T，記，（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)直線1的傾斜角為銳角時，求的取值范圍．
21．（12分）
如圖，在斜三棱柱中，，，，，底面ABC.
（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
22．（12分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：的焦點為F，E的準(zhǔn)線交x軸于點K，過K的直線l與拋物線E相切于點A，且交y軸正半軸于點P．已知△AKF的面積為2．
（1）求拋物線E的方程；
（2）過點P的直線交E于M，N兩點，過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．
高二數(shù)學(xué)（A）答案
1．B2．D3．B4．D5．C6．A7．A8．A
9．ABC10．BCD11．BC12．ABD
13．14．215．16．/
17．
（1）見解析
（2）
18．
（1）證明見解析；
（2）
19．
（1）證明見解析；
（2），
【分析】
（1）證明CD⊥SB，即證CD⊥平面SBD，即證CD⊥BD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量以及平面的法向量求線面角，進而得到的值.
【詳解】
（1）證明：設(shè)，因為四邊形ABCD為等腰梯形，，
故，△ABD為等腰三角形，則，
而，，
所以，CD⊥BD．
又二面角S-BD-A為直二面角，故平面SBD⊥平面ABCD，
平面平面，平面ABCD，
所以CD⊥平面SBD，
又平面SBD，所以CD⊥SB．
（2）以D為原點，分別以DB，DC所在的直線為x軸，y軸，
以過點D垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖．
設(shè)，則，，，．
過點S作直線，交BD于點．
因為平面SBD⊥平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD．
又由，得，所以點在棱BC的垂直平分線上．
由對稱性可知，A，，C三點共線．
由，得，即，則．
又由，得．
所以點S的坐標(biāo)為，，且．
設(shè)平面SAD的法向量，
則即，取，則．
設(shè)，，
則，
由題知，直線SM與平面SAD所成角為，
則，
當(dāng)時取等號，此時最大，最小，故．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）設(shè)點，則可表示出，然后結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求出最小值；
（2）由題意可設(shè)直線l：，（），與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)、，則利用韋達定理可得兩根和、兩根積，及斜率的取值范圍，然后結(jié)合條件可以用斜率表示出，即可求出其取值范圍.
【詳解】
（1）設(shè)點，由橢圓的對稱性知，不妨令，
由已知，，則，，顯然有，
則，，
則，
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為．
（2）當(dāng)直線l的傾斜角為銳角時，設(shè)，，設(shè)直線l：，（），
由得，
從而，又，得，
所以，，
又直線AM的方程是：，令，解得，所以點S為；
直線AN的方程是：，同理點T為.
所以，，，
因為，，所以，，
所以
∵，
∴，
綜上，所以的范圍是．
21．（1）.（2）
【分析】
（1）以A為原點，，，分別為x軸，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求得向量的坐標(biāo)，再根據(jù)底面ABC，得到，又AB⊥AC，由線面垂直的判定定理得到AB⊥平面，從而是平面的一個法向量，然后由求解.
（2）由（1）知是平面的一個法向量，再求得平面的一個法向量，然后由求解.
【詳解】
（1）以A為原點，，，分別為x軸，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則，，，，，
則，
∵底面ABC，底面ABC，
∴，
又∵AB⊥AC，，
平面，平面，
∴AB⊥平面，
∴是平面的一個法向量，
∴，
故所求直線與平面所成角的正弦值為
（2），，
設(shè)為平面的一個法向量，
則，
令，得，，
得平面的一個法向量為，
又由（1）得是平面的一個法向量，
∴，
故所求面與平面所成銳二面角的余弦值為.
【點睛】本題主要考查線面角和二面角的向量求法，還考查了邏輯推理和運算求解的能力，屬于中檔題.
22．（1）（2）證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意假設(shè)得直線l：，聯(lián)立拋物線方程求得，，再利用三角形面積即可求得，由此得解；
（2）根據(jù)題意設(shè)得MN：，聯(lián)立拋物線方程求得，再依次求得T，H的坐標(biāo)，從而求得直線NH的方程，化簡可得NH為，由此得證.
【詳解】
（1）由題可知，，準(zhǔn)線，，
因為直線l的斜率存在且不為0，所以設(shè)l：，
聯(lián)立，消去x，得，
因為l與E相切，所以，所以（舍去）．
因此，解得，所以，
故AF⊥KF，所以，所以（負值舍去），
所以拋物線E的方程為．
（2）由（1）知，又l：，所以．
因為MN斜率存在且不為零，所以設(shè)MN：，，，
聯(lián)立，消去x，得，
則，所以且，．
又直線OA：，令，得，所以，
因為，所以，所以，
所以直線NH的方程為，
所以，
因為，
所以直線NH為，所以NH恒過定點．
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為，；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算△；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.

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