利用分類討論解決含參函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題的思維流程
【題型歸納】
題型一：可求根或因式分解
1．已知函數(shù)（）.
(1)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
2．已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且斜率為k的直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，，證明：且．
3．已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求m的取值范圍．
題型二：導(dǎo)函數(shù)不可因式分解
4．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有兩個極值點(diǎn)，，且，當(dāng)時，求的取值范圍．
5．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
6．已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若在處取得極值，對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【雙基達(dá)標(biāo)】
7．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
8．設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，記，當(dāng)時，若方程有兩個不相等的實(shí)根，求證：．
9．設(shè)函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)為．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，為整數(shù)，且當(dāng)，，求的最大值．
10．設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若時，恒成立，求的取值范圍.
11．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
12．設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，記，當(dāng)時，若方程有兩個不相等的實(shí)根，，求證：．
13．已知函數(shù)，
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若不等式對任意恒成立，求的最大值．
14．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，取得極小值；當(dāng)時，取得極大值22，求的值；
(2)討論的單調(diào)性．
15．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)若時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得時，恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.
【高分突破】
16．已知，其中.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)取，，其中，求最小的k，使有兩個零點(diǎn).
17．已知函數(shù).
(1)討論在上的單調(diào)性；
(2)若在處取得極值，證明：.
18．已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求的取值范圍.
19．設(shè)函數(shù)，記．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
20．已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間．
21．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．
22．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，求a的取值范圍．
23．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的極值；
(2)求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
24．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，若，求b的最小值．
25．已知函數(shù)，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)，且對任意，，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
26．已知函數(shù)，其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
27．已知函數(shù)，．討論函數(shù)的單調(diào)性；
28．已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為，討論的單調(diào)性；
29．已知函數(shù)（且）．
(1)，求函數(shù)在處的切線方程．
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
30．已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性.
參考答案
1．(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）代入，求導(dǎo)得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程；
（2）先求導(dǎo)，再分，，和討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)性.
（1）時，，，切線的斜率，則切線方程為；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，①?dāng)時，，由，得；由，得則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.②當(dāng)，即時，由，得或；由，得.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.③當(dāng)，即時，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.④當(dāng)，即時，由，得或；由，得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
2．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，分，和三種情況討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可得出答案；
（2）由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，根據(jù)斜率公式即可證明，要證，即證且，即證且，利用導(dǎo)數(shù)分別構(gòu)造函數(shù)證明兩個不等式成立即可.
(1)
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增；
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增；
當(dāng)時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；
(2)
證明：由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，
則，，
所以，
則要證，
即證且，
即證且，
此時，，
則，
令，，
則，
所以在上遞增，
所以，即，
又，所以，即，
，
令，
則，
所以函數(shù)在上遞減，
所以，即，
又，所以，即，
所以且．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，有一定的難度.
3．(1)詳見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)化簡得，分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由恒等式化簡可得，分離參數(shù)可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及最值即可求解.
(1)
由題可得，
①當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增；
③當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增；
④當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增.
(2)
由恒成立，即，
，
當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減且，
所以
當(dāng)時，得，
時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；
，故
綜上，m的取值范圍為.
4．(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后討論在上的符號即可；
（2）求出導(dǎo)數(shù)的兩個根，并結(jié)合韋達(dá)定理找到根與系數(shù)之間的關(guān)系，然后將表示為關(guān)于的函數(shù)，再求值域即可．
（1）解：的定義域?yàn)?，，令，?dāng)，即時，在上恒成立，故此時是增函數(shù)；當(dāng)，即時，有兩個正根，，或，顯然，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減期間為；同理當(dāng)時，在上恒成立，故此時是增函數(shù)；綜上可知：當(dāng)時，是增函數(shù)；時，的兩根為，或，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）解：由（1）知，，再令當(dāng)，的兩個極值點(diǎn)為的兩個互異實(shí)根，，且，，則，即，顯然，由整理得，解得，且，而，將代入上式整理得，再將代入上式得：，，且，令，，，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，，，且，即的取值范圍為.
5．(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，然后分，和三種情況判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，將問題轉(zhuǎn)化為方程的有兩個不等正根，從而可得，，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為可化為對恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可
(1)
的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
令，得，其．
當(dāng)時，又，所以，故在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，所以，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時， ，由得，
所以或時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)
的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
有兩個極值點(diǎn)時，等價于方程的有兩個不等正根，
所以，所以，，
此時不等式恒成立，等價于對恒成立，可化為對恒成立，
令，，則，
令，則，
令，得或（舍去），
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故，
在恒成立，在上單調(diào)遞減，
，.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是由有兩個極值點(diǎn)時，等價于方程的有兩個不等正根，從而可求得，，然后將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為對恒成立，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題
6．(1)答案見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出，然后分、兩種情況可得答案；
（2）根據(jù)條件求出的值，然后利用分離變量法求解即可.
(1)
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，由可得，由可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上：當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
(2)
因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以結(jié)合（1）可得，即，
所以，
所以由可得，
令，則，
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，
所以.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
7．(1)
(2)答案詳見解析
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合切點(diǎn)和斜率求得切線方程.
（2）求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間和極值.
(1)
當(dāng)時，，，
，
所以在處的切線方程為.
(2)
，
當(dāng)時，，在上遞減，沒有極值.
當(dāng)時，的定義域?yàn)椋?br>令解得.
當(dāng)時，在區(qū)間遞減；
在區(qū)間遞增；
的極小值為，無極大值.
當(dāng)時，在區(qū)間遞增；
在區(qū)間遞減；
的極大值為，無極小值.
8．(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為含參的函數(shù)，討論單調(diào)性的實(shí)質(zhì)就是解含參的不等式，借助分子函數(shù)的圖像，完成討論．
（2）本問題為極值點(diǎn)偏移問題，可轉(zhuǎn)換為單變量的不等式證明，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可．
(1)
的定義域?yàn)椋?br>.
令，則得到導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)，或，由于分母為正，
故我們只關(guān)注分子函數(shù)，其為二次函數(shù)，借助其圖像，
以兩個零點(diǎn)的大小關(guān)系為分類標(biāo)準(zhǔn)得到如下：
①當(dāng)時，即時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，即時，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；
當(dāng)時，只有單增區(qū)間；
(2)
由題可知，，
設(shè)是方程的兩個不等實(shí)根，不妨設(shè)為，
則，兩式相減整理得到
，從而得到，
要證，故只需要證明，
由于，
轉(zhuǎn)化為，
即，即，
令，則上述式子轉(zhuǎn)化為
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故在上單調(diào)遞增，故有，
故得證，
即.
9．(1)詳見解析；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再按、討論正負(fù)即可得解；
(2)根據(jù)給定條件將不等式等價轉(zhuǎn)化并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，討論它的最小值即可得解.
(1)
因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，．
當(dāng)時，則，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，則，解得，
當(dāng)x變化時，，變化如下表：
綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；
(2)
由于，
∴．
故當(dāng)時，等價于，
令，則．
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，，
∴在存在唯一的零點(diǎn)，
故在存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為m，則．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴在的最小值為．
又由，可得，
∴．
由于，
故整數(shù)的最大值為2．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值；解決本題的關(guān)鍵是第一小題應(yīng)用分類討論的方法；第二小題將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.
10．(1)當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)
【解析】
【分析】
（1）分別討論當(dāng)及時的正負(fù)，從而得到在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為在時恒成立，先證得恒成立，再證對任意的恒成立即可，通過新設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性得到時，不等式恒成立.
(1)
由已知
當(dāng)時，在恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由得，
若時，在上單調(diào)遞增，
若時，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)
時，恒成立，
即在時恒成立，
當(dāng)時，恒成立，即又，則.
下面證明：當(dāng)時，在時恒成立.
先證明時，，由（1）知：
當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
則，即有，
所以，當(dāng)時，
要證明，只需證明：
對任意的恒成立，
令則，
由得
①當(dāng)即時，在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，于是
②當(dāng)即時，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，
令，則則在上單調(diào)遞增，
于是，所以恒成立，
所以，時，不等式恒成立，
因此，a的范圍是
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在給定區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造新函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、或者函數(shù)的最值，證明函數(shù)，其中一個重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的突破口。
11．(1)見詳解；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，分類解不等式可得；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分類求得，然后解可得.
(1)
函數(shù)的定義域?yàn)?br>當(dāng)時，解不等式得，
當(dāng)時，解不等式得，
當(dāng)時，解不等式得，
當(dāng)時，不等式無實(shí)數(shù)解.
綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時，無單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)
由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，顯然恒成立；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，顯然恒成立；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以
因?yàn)楫?dāng)時恒成立，所以，解得.
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為
12．(1)答案見解析；
(2)證明見解析0
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為含參的函數(shù)，討論單調(diào)性的實(shí)質(zhì)就是解含參的不等式，借助分子函數(shù)的圖象，完成討論．
（2）本問題為極值點(diǎn)偏移問題，可轉(zhuǎn)換為單變量的不等式證明，構(gòu)造函數(shù)證明即可．
(1)
解：定義域?yàn)椋?br>；
令，則得到導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)，或，由于分母為正，
故我們只關(guān)注分子函數(shù)，其為二次函數(shù)，借助其圖象，
以兩個零點(diǎn)的大小關(guān)系為分類標(biāo)準(zhǔn)得到如下：
①當(dāng)時，即時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，即時，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；
當(dāng)時，只有單增區(qū)間；
(2)
證明：由題可知，，
設(shè)，是方程的兩個不等實(shí)根，不妨設(shè)為，
則，兩式相減整理得到
，從而得到，
要證，故只需要證明，
由于，
轉(zhuǎn)化為，
即，即，
令，則上述式子轉(zhuǎn)化為
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故在上單調(diào)遞增，故有，
故得證，
即.
13．(1)單調(diào)性見解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過，時，求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．（2）對任意恒成立，等價于 恒成立. 構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，然后轉(zhuǎn)化求解即可．
(1)
解：，
當(dāng)時，恒成立， 在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令得，令得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(2)
依題意得：對任意恒成立，等價于恒成立.
令，則，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，即的最大值為.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：函數(shù)中恒成立或有解問題，可分離變量，轉(zhuǎn)化為或來求.
14．(1)；
(2)詳見解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可得，即得；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，討論，然后結(jié)合判別式討論，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即得.
(1)
∵，
∴，
則，
∴，
∴，
所以在區(qū)間上，在區(qū)間上，當(dāng)時，取得極小值，當(dāng)時，取得極大值，符合題意，
所以；
(2)
由題可知，
當(dāng)時，，
①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時，由，可得，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，
①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時，由，可得，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)且時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)且時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)且時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)且時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
15．(1)詳見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分，和三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，分，討論求的最小值大于零即可.
(1)
由題知，
①若，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②若，則，，
在上單調(diào)遞增；
③若，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.
(2)
設(shè)，
則，
設(shè)，
則，
設(shè)，
則，
在上單調(diào)遞增，
，
在上單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，
；
當(dāng)時，，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，
設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，
，即，
∴存在，使，
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，此時，，不符合題意；
綜上，存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)時，恒成立，且實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造，無法判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，經(jīng)過三次求導(dǎo)后，再討論判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而求出的最小值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.
16．(1)答案見解析；
(2)0.
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合定義域，分別討論，由的符號即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出，然后通過二次求導(dǎo)可知存在，，使得在上遞減，在上遞增，要使得有兩個零點(diǎn)，則必要條件為，求出k最小值為0，再證明充分性即可得解．
(1)
因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>①時，，即在單調(diào)遞增；
②時，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減.
(2)
時，，
則，
設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，?br>所以存在，滿足，即，化簡得：，解得，，
當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞增；
要使得有兩個零點(diǎn)，則必要條件為，
即，即，
因?yàn)椋詋最小值為0，
再證當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，
因?yàn)?，，?br>所以存在，，滿足，即此時有兩個零點(diǎn).
綜上所述，最小的k為0.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查含參函數(shù)的單調(diào)性問題的求解，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，含參函數(shù)單調(diào)性討論解題關(guān)鍵是分段點(diǎn)的確定，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題解題關(guān)鍵是通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)存在的區(qū)間，考查學(xué)生處理導(dǎo)數(shù)問題的綜合能力，屬于較難題．
17．(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出的導(dǎo)數(shù)，分，兩種情況討論大小0或小于0的不等式解集作答.
（2）根據(jù)給定極值求出a值，再構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
(1)
，，
當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)
因在處取得極值，又，則，即，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此是函數(shù)的極值點(diǎn)，即有，
，則，令，
，令，，
函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，，
，
即，使得，有，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，于是得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，因此，
所以.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
18．(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性的步驟，再分和進(jìn)行討論即可求解；
（2）根據(jù)（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，只要保證即可求解.
(1)
由題意可知，的定義域?yàn)椋?br>，
令，則或，
當(dāng)時，當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)
當(dāng)時，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，
若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19．(1)；
(2)單調(diào)區(qū)間見解析；
(3)
【解析】
【分析】
(1)求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即可得到切線方程；
(2)求出的導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)的范圍，根據(jù)的符號，寫出單調(diào)區(qū)間；
(3)將函數(shù)圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，根據(jù)(2)中的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值即可.
(1)
，所以，，則切線方程為.
(2)
，，
當(dāng)時，，則在上為增函數(shù)；
當(dāng)時，，即，則在上為增函數(shù)，上為減函數(shù).
綜上所述，當(dāng)時，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(3)
函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，即恒成立；
由(2)知，當(dāng)時，則在上為增函數(shù)，此時無最大值，事實(shí)上，不合題意；
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù).
所以，故；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是
20．(1)最大值為3，最小值為0
(2)答案見解析.
【解析】
【分析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值；
(2)對函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為，對兩根的大小進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值的符號，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)
解：（1）當(dāng)時，，
，令得，或.
當(dāng)在區(qū)間上變化時，的變化情況如下表
因?yàn)?，所以在區(qū)間上的最大值為3，最小值為0.
(2)
（2），
令得，或，
當(dāng)時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，，隨著的變化，的變化情況如下表
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；的單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時，，隨著的變化，的變化情況如下表
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞， a)，(，+∞)；的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，).
綜上所述：當(dāng)時，所以的的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；的單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；的單調(diào)遞減區(qū)間為.
21．(1)見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，分和兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可得出答案；
（2）由（1）可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)時，，要使有兩個不同的零點(diǎn)，只要即可，解之即可得解.
(1)
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞增，
當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
(2)
解：由（1）得，
當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，
所以函數(shù)最多一個零點(diǎn)，
故不符題意；
當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因?yàn)橛袃蓚€不同的零點(diǎn)，
所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為.
22．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，令，解得，分別分析和上的正負(fù)，可得的單調(diào)區(qū)間.
（2）由（1）知：在上單調(diào)遞增，可得，分別討論、、和時，的正負(fù)，可得的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷有無極小值，綜合即可得答案.
(1)
由題知：，
令，解得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)

由（1）知：在上單調(diào)遞增，
所以
（i）當(dāng)，即時，，
所以，則
令，所以，
令，得；令，得；
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；
又因?yàn)?，，所以?br>所以在上單調(diào)遞減，無極值
（ii）當(dāng)，即時，，
所以，則，
令，所以，
因?yàn)椋?br>①當(dāng)，即時，則，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以
所以在上單調(diào)遞增，無極值
②當(dāng)，即時，
令，得，
所以當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增；
又因?yàn)椋?br>所以存在使得
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以在上有極小值
（iii）當(dāng)時，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，
所以存在使得，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)，
所以，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減
所以，即當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在上有極小值，
綜上，a的取值范圍是
【點(diǎn)睛】
解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極（最）值的方法，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于，需討論a不同范圍下，的正負(fù)，如無法直接得到，則需構(gòu)造函數(shù)，并再次求導(dǎo)進(jìn)行求解，考查分析理解，分類討論能能力，屬難題.
23．(1)極大值為，極小值為
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）對于函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值；（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，對參數(shù)分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)性.
（1）當(dāng)時，，則，令，解得或2，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為，極小值為．
（2）∵，∴，當(dāng)時，時，；時，；即增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)，時，；時，；即增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時，在上恒成立，即增區(qū)間為；當(dāng)時，時，；時，；即增區(qū)間為和，減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，增區(qū)間為和，減區(qū)間為．
24．(1)當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)分和兩種情況求解即可；
（2）由（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為有解，即有解，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析最小值即可
(1)
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令有，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
(2)
當(dāng)時，由（1）若，則有解即可，即有解，即有解，設(shè)，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故，故當(dāng).故b的最小值為
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性問題，同時也考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析參數(shù)最值的問題，需要理解求函數(shù)的最大值或最小值與參數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題
25．(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）對求導(dǎo)，討論a＜0，a＝0，a＞0，求出，，即可求出的單調(diào)性.
（2）解法一：當(dāng)a＞0時，由（1）得，所以當(dāng)k≥0時，成立，當(dāng)k＜0時，，令，即可.
解法二：由（1）知，當(dāng)a＞0時， 問題轉(zhuǎn)化為，，
，即求解即可.
(1)
．
①當(dāng)a＜0時，
令得x＜a或x＞0，所以在和上單調(diào)遞增，
令得，所以在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＝0時，
，所以在上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＞0時，
令得x＜0或x＞a，所以在和上單調(diào)遞增，
令得，所以在上單調(diào)遞減．
綜上所述：
當(dāng)a＜0時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＝0時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)
解法一：當(dāng)a＞0時，由（1）得：，，且，所以，
當(dāng)k≥0時，，符合題意；
當(dāng)k＜0時，，
即得，
令，得，
令得，若，即，
則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
所以，不符合題意；
若，即，則，在上單調(diào)遞減．
所以，成立．綜上所述：．
解法二：
由（1）知，當(dāng)a＞0時，，，，
所以問題轉(zhuǎn)化為，，
即，
令，，
令，，
令，，
若，則當(dāng)a＞0時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，．
若，則令，得，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
此時，即，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即當(dāng)時，不成立．
綜上所述，．
26．(1)當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)可得，討論的符號判斷單調(diào)性；（2）根據(jù)題意可得在恒成立，構(gòu)建新函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得，分析求解．
(1)
函數(shù)的定義域?yàn)?br>①當(dāng)時，令，可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為
②當(dāng)時，令，可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為
綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為
(2)
在恒成立，則在恒成立
即在恒成立
令
令，，
，，則在上恒成立
在上單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞增，
在恒成立，則
的范圍是.
27．答案見解析
【解析】
【分析】
求的定義域和導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)a并確定的符號，即可判斷對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性.
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>①若，顯然單調(diào)遞增．
②若，令，有，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
③若，則，單調(diào)遞增，
④若，令，有，且，
當(dāng)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
綜上，若，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
若，的增區(qū)間為；
若，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．
28．答案見解析
【解析】
【分析】
求出的解析式，可得其導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)a的取值范圍，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】
由已知可得，故可得,
對于，當(dāng)時，，
當(dāng)時， ，，
故當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，解得，或，
記，，則可知當(dāng)變化時，的變化情況如下表：
所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．
29．(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論a的取值，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.
(1)
當(dāng)時，，所以,
，所以,
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
(2)
的定義域?yàn)椋?,
當(dāng)時， 恒成立，所以在 上單調(diào)遞減；
當(dāng) 時， ,
在上，，所以單調(diào)遞減；
在上，，所以單調(diào)遞增.
30．答案見解析
【解析】
【分析】
因?yàn)?，?dǎo)數(shù)的符號完全由二次三項式?jīng)Q定，先按的符號討論，在的前提下，要考慮兩根的大小以及是否在定義域內(nèi)
【詳解】
由得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，令，即，
①當(dāng)，即時，恒成立，則
所以在單調(diào)遞增；
②當(dāng)，即時，令，
當(dāng)時，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
x
－
0
＋
單調(diào)減
極小值
單調(diào)增
(1，2)
2
(2，3)
-
0
+
單調(diào)遞減
0
單調(diào)遞增

a
+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
0
單調(diào)遞增
a
)
+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
0
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
0
0
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增

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