典例分析：
實例講解:(包含以上多種模型)
已知在正方形ABCD中，∠MAN =45°，連接BD與AM，AN
分別交于E、F兩點。
從圖中找出3組四點共圓及一組5點共圓。
詳解: 由題意可得：
∠BDF=∠FHE=45°
?點A,M,F,D四點共圓。
?∠AMF=90°
∠HFM=45°
同理，可得點A,B,E,N四點共圓。
∠ANE=90°,∠NEH=45°
∠NEH=∠HFM
?點M,E,F,N四點共圓。
∠FME=∠ECF=∠FME=90°
?點N,F,C,E,M五點共圓。
圖如右:
實戰(zhàn)訓練

一．隱圓之定點定長
1．如圖，正方形ABCD，邊長為4，點P和點Q在正方形的邊上運動，且PQ＝4，若點P從點B出發(fā)沿B→C→D→A的路線向點A運動，到點A停止運動；點Q從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的路線向點D運動，到達點D停止運動．它們同時出發(fā)，且運動速度相同，則在運動過程中PQ的中點O所經(jīng)過的路徑長為 3π ．
試題分析：畫出點O運動的軌跡，如圖虛線部分，利用PQ的中點O所經(jīng)過的路線長等于半徑為2的圓周長的34求解即可．
答案詳解：解：畫出點O運動的軌跡，如圖虛線部分，
則點P從B到A的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路線長等于2π×2×34=3π，
所以答案是：3π．
2．已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD的中點．
（1）線段AF與BE有何關(guān)系．說明理由；
（2）延長AF、BC交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．
試題分析：（1）證明△ABE≌△DAF，證據(jù)全等三角形的對應邊相等，以及直角三角形的兩銳角互余即可證明AF相等且互相垂直；
（2）證明△ADF≌△HCF，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得B，C，D，H四點到C的距離相等，即可證得四點共圓．
答案詳解：解：（1）AF＝BE且AF⊥BE．
證明：∵E、F分別是AD、CD的中點，
∴AE=12AD，DF=12CD
∴AE＝DF
又∵∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD
∴△ABE≌△DAF
∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD
∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD＝90°
∴∠DAF+∠AEB＝90°
∴∠AGE＝90°
∴AF⊥BE
（2）連接CG．
∵DF＝CF，∠D＝∠FCH＝90°，∠AFD＝∠HFC
∴△ADF≌△HCF
∴BC＝AD＝CH＝CD，
在直角△BGH中，BC＝CH，
∴GC=12BH
∴CB＝CG＝CD＝CH，
∴B，G，D，H在以C為圓心、BC長為半徑的圓上．
二．隱圓之定弦定角
3．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則2AC+BC的最大值為 410 ．
試題分析：過點B作BD⊥AC于點D，則△BCD為等腰直角三角形，設(shè)BD＝CD＝a，延長AC至點F，使得CF＝a，則可求出tan∠AFB，作△ABF的外接圓⊙O，過點O作OE⊥AB于點E，則AE=12AB＝2，∠AOE＝∠AFB，則可利用tan∠AOE求出OE、OA，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求出2AC+BC的最大值為2（OA+OF），計算即可．
答案詳解：解：過點B作BD⊥AC于點D，
∵∠C＝45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
設(shè)BD＝CD＝a，延長AC至點F，使得CF＝a，
∵tan∠AFB=a2a=12，
作△ABF的外接圓⊙O，過點O作OE⊥AB于點E，則AE=12AB＝2，∠AOE＝∠AFB，
∴tan∠AOE=12，
∴OE＝4，OA=22+42=25，
∴2AC+BC=2（AC+22BC）=2（AC+CF）=2AF≤2（OA+OF），
∴2AC+BC的最大值為2×45=410．
所以答案是：410．
4．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝33，點E在AB上，AEEB=12，在矩形內(nèi)找一點P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（ ）
A．27?2B．213?4C．4D．23
試題分析：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過點O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．證明點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，推出當點P落在線段OD上時，DP的值最小，想辦法求出OD，OP，可得結(jié)論．
答案詳解：解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過點O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．
∵∠BPE=12∠EOB，
∴點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，
∴當點P落在線段OD上時，DP的值最小，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝33，AE：EB＝1：2，
∴BE＝23，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ=3，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四邊形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝23，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD=JD2+OJ2=42+(23)2=27，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝27?2，
所以選：A．
5．問題提出
（1）如圖①，已知△ABC為邊長為2的等邊三角形，則△ABC的面積為 3 ；
問題探究
（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝63，求△ABC的最大面積；
問題解決
（3）如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB＝20米，長BC＝24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發(fā)的觀測角∠AMB＝45°，請你通過所學知識進行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由．
試題分析：（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的長，即可求出面積；
（2）作△ABC的外接圓⊙O，可知點A在BC上運動，當A'O⊥BC時，△ABC的面積最大，求出A'H的長，從而得出答案；
（3）以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，過O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出OA，OG的長，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，從而⊙O上存在點M，滿足∠AMB＝45°，此時滿足條件的有兩個點M，過M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，利用勾股定理求出OE的長，從而解決問題．
答案詳解：解：（1）作AD⊥BC于D，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴BD＝1，
∴AD=AB2?BD2=3，
∴△ABC的面積為12×2×3=3，
所以答案是：3；
（2）作△ABC的外接圓⊙O，
∵∠BAC＝120°，BC＝63，
∴點A在BC上運動，
當A'O⊥BC時，△ABC的面積最大，
∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝33，
∴OH＝3，OB＝6，
∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，
∴△ABC的最大面積為12×63×3＝93；
（3）存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，
過O作HG⊥AB于H，交CD于G，
∵AB＝20米，
∴AH＝OH＝10米，OA＝102米，
∵BC＝24米，
∴OG＝14米，
∵102＞14，
∴以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，
∴⊙O上存在點M，滿足∠AMB＝45°，此時滿足條件的有兩個點M，
過M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，
∴EF＝OH＝10米，OM1＝102米，
∴EM1＝14米，
∴OE=OM12?M1E2=2米，
∴CM1＝BF＝8米，
同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），
∴MC的長度為8米或12米．
三．隱圓之直角動點
6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP的最小值是 41?4 ．
試題分析：首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．
答案詳解：解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），
∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝5，OB＝4，
∴OC=BO2+BC2=41，
∴PC＝OC﹣OP=41?4．
∴PC最小值為41?4．
所以答案是：41?4．
7．如圖，等邊△ABC的邊長為6，D為BC邊上的中點，P為直線BC上方的一個動點，且滿足∠PAD＝∠PDB，則線段CP長的最大值為 37+332． ．
試題分析：首先證明點P在以AD為直徑的⊙O上，連接OC，延長CO交⊙O于點P，此時PC最大，利用勾股定理求出OC即可解決問題．
答案詳解：解：∵等邊△ABC的邊長為6，D為BC邊上的中點，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADP+∠PDB＝90°，
∵∠PAD＝∠PDB
∴∠DAP+∠ADP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴點P在以AD為直徑的⊙O上，連接OC，延長CO交⊙O于點P，此時PC最大，
在Rt△CDO中，∵∠ODC＝90°，DC=12BC＝3，OD=12AD=332，
∴OC=OD2+CD2=372，
∴PC＝OC+OP=372+332=37+332．
∴CP長的最大值為37+332．
所以答案是37+332．
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（ ）
A．6B．73?3C．213?4D．413?4
試題分析：首先證明∠PAB+∠PBA＝90°，得∠APB＝90°，則點P在以AB為直徑的圓上運動，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC的長即可．
答案詳解：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點P在以AB為直徑的圓上運動，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時PC最小，
∵OC=OB2+BC2=42+62=213，
∴PC的最小值為213?4，
所以選：C．
四．隱圓之對角互補。
9．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為 3?1 ．
試題分析：先判斷出A、B、C、D四點共圓，且圓心為BD中點，再連接AO、CO，取AO中點F，連接EF，DF，利用圓周角定理及等邊三角形的判定可得到△OAD為等邊三角形，進而得到半徑長、DF、EF，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求出DE最小值．
答案詳解：解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四點共圓，且BD為直徑，取BD中點O，則圓心為點O，
連接AO、CO，取AO中點F，連接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD為等邊三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，則DF=3，
∵EF是△AOC的中位線，
∴EF=12OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴當D、E、F三點共線時，DE取到最小，最小值為3?1．
∴DE的最小值為3?1．
10．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面積為8，則BC長為 4 ．
試題分析：如圖，作DH⊥BC交BC的延長線于H，取CD的中點O，連接OA，OB．由對角互補可證明A，C，H，D四點共圓，利用全等三角形的性質(zhì)證明BC＝DH，即可解決問題．
答案詳解：解：如圖，作DH⊥BC交BC的延長線于H，取CD的中點O，連接OA，OB．
∵DH⊥BH，
∴∠DHC＝90°，
∴四邊形DACH對角互補，
∴A，C，H，D四點共圓，
∵∠DAC＝90°，CO＝OD，
∴OA＝OD＝OC＝OH，
∴A，C，H，D四點在以O(shè)為圓心的圓上，
∵AC＝AD，
∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（沒有學習四點共圓，可以這樣證明：過點A作AM⊥DH于M，過點A作AN⊥BH于N，證明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAH＝90°，
∴BA＝AH，
∵∠BAH＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝∠HAD，
∵AC＝AD，AB＝AH，
∴△BAC≌△HAD（SAS），
∴BC＝DH，
∴S△BCD=12×BC×DH=12×BC2＝16，
∴BC＝4或﹣4（舍棄），
所以答案是4．
11．問題提出：
（1）如圖①，半圓O的直徑AB＝10，點P是半圓O上的一個動點，則△PAB的面積最大值是 25 ．
問題探究：
（2）如圖②，在邊長為10的正方形ABCD中，點G是BC邊的中點，E、F分別是AD和CD邊上的點，請?zhí)骄坎⑶蟪鏊倪呅蜝EFG的周長的最小值．
問題解決：
（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四邊形ABCD的周長是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．
試題分析：（1）如圖1，點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，求出此時△P'AB的面積即可；
（2）如圖2，作點G關(guān)于CD的對稱點G′，作點B關(guān)于AD的對稱點B′，連接B′G′，B'E，F(xiàn)G'，根據(jù)兩點之間線段最短即可解決問題；
（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點，使得DM＝DC．首先證明AC＝CD+CB，再證明當AC為△ABC的外接圓的直徑時，四邊形ABCD的周長最大．
答案詳解：解：（1）如圖1，點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，
此時△PAB的面積最大值，
∴S△P'AB=12×10×5＝25，
所以答案是：25；
（2）如圖2，作點G關(guān)于CD的對稱點G′，作點B關(guān)于AD的對稱點B′，連接B′G′，B'E，F(xiàn)G'，
∵EB＝EB′，F(xiàn)G＝FG′，
∴BE+EF+FG+BG＝B′E+EF+FG′+BG，
∵EB′+EF+FG′≥B′G′，
∴四邊形BEFG的周長的最小值＝BG+B′G′，
∵BG=12BC＝5，BB′＝20，BG′＝15，
∴B′G′=BG'2+BB'2=152+202=25，
∴四邊形BEFG的周長的最小值為30．
（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點，使得DM＝DC．
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A、B、C、D四點共圓，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADB＝60°
∵DM＝DC，
∴△DMC是等邊三角形，
∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四邊形ABCD的周長＝AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
∵AD＝AB＝6，
∴當AC最大時，四邊形ABCD的周長最大，
∴當AC為△ABC的外接圓的直徑時，四邊形ABCD的周長最大，
∵6AC=sin60°，
∴AC的最大值＝43，
∴四邊形ABCD的周長最大值為12+43．
五．隱圓綜合
12．閱讀下列材料，回答問題．
材料：求圓外一定點到圓上距離最小值是安徽省中考數(shù)學較為常見的一種題型，此類題型試題有時出題者將圓隱藏，故又稱為“隱圓問題”．解決這類問題，關(guān)鍵是要找到動點的運動軌跡，即該動點是繞哪一個定點旋轉(zhuǎn)，且能保持旋轉(zhuǎn)半徑不變．從而找到動點所在的隱藏圓，進而轉(zhuǎn)換成圓外一點到圓心的距離減半徑，求得最小值．
解決問題：
（1）如圖①，圓O的半徑為1，圓外一點A到圓心的距離為3，圓上一動點B，當A、O、B滿足條件 點B在線段AO上 時，AB有最小值為 2 ．
（2）如圖②，等腰△ABC兩腰長為5，底邊長為6，以A為圓心，2為半徑作圓，圓上動點P到BC的距離最小值為 2 ．
（3）如圖③，OA⊥OB，P、Q分別是射線OA、OB上兩個動點，C是線段PQ的中點，且PQ＝4，則在線段PQ滑動的過程中，求點C運動形成的路徑長，并說明理由．
（4）如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點E是AB中點，點F是BC上一點，把△BEF沿著EF翻折，點B落在點B'處，求DB'的最小值，并說明理由．
（5）如圖⑤，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，求PQ長的最小值，并說明理由．
試題分析：（1）如圖①，連接OA，OB，OA，由三角形的三邊關(guān)系可得AB≤AO﹣BO，則當點B在線段AO上時，AB有最小值＝3﹣1＝2；
（2）如圖②中，過點A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此時點P到BC的距離最?。?br>（3）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，的長OC＝2，再利用弧長公式求解即可．
（4）如圖④中，連接DE，DB′．利用勾股定理求出DE，根據(jù)DB′≥DE﹣EB′，可得DB′≥217?2，由此可得結(jié)論．
（5）當O、Q、P三點共線且OP⊥BC時，PQ有最小值，設(shè)AC與圓的切點為D，連接OD，分別利用三角形中位線定理可求得OD和OP的長，則可求得PQ的最小值．
答案詳解：解：（1）如圖①，連接OA，OB，OA，
在△ABO中，AB≤AO﹣BO，
當點B在線段AO上時，AB有最小值＝3﹣1＝2，
所以答案是：點B在線段AO上，2．
（2）如圖②中，過點A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此時點P到BC的距離最小．
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH=12BC＝3，
∴AH=AB2?BH2=52?32=4，
∵PA＝2，
∴PH＝AH﹣AP＝2，
∴圓上動點P到BC的距離最小值為2，
所以答案是：2．
（3）如圖③中，連接OC．
∵∠POQ＝90°，PQ＝4，PC＝CQ，
∴OC=12PQ＝2，
∴點C的運動軌跡是圓弧，運動路徑的長=90?π?2180=π．
（4）如圖④中，連接DE，DB′．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AE＝EB＝2，AD＝8，
∴DE=AE2+AD2=22+82=217，
∵BE＝EB′＝2，
∴DB′≥DE﹣EB′，
∴DB′≥217?2，
∴DB′的最小值為217?2．
（5）當O、Q、P三點共線且OP⊥BC時，PQ有最小值，設(shè)AC與圓的切點為D，連接OD，如圖⑤中，
∵AC為圓的切線，
∴OD⊥AC，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，且O為AB中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD=12BC＝3，
同理可得PO=12AC＝4，
∴PQ＝OP﹣OQ＝4﹣3＝1，
∴PQ的最小值為1．

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