?課時跟蹤檢測（二十九） 數(shù)列的概念及簡單表示
一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．?dāng)?shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個通項(xiàng)公式為(　　)
A．a(chǎn)n＝n2　　　　　　　 B．a(chǎn)n＝(－1)n·n2
C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·n2 D．a(chǎn)n＝(－1)n·(n＋1)2
解析：選B　易知數(shù)列－1,4，－9,16，－25，…的一個通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·n2，故選B.
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，則S5＝(　　)
A．31 B．42
C．37 D．47
解析：選D　由題意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，故數(shù)列{Sn＋1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為S1＋1＝3，公比為2，則S5＋1＝3×24，∴S5＝47.
3．記Sn為遞增數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，“任意正整數(shù)n，均有an>0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A　因?yàn)椤癮n>0”?數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，所以“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件；反之，如數(shù)列{an}為－1，1,3,5,7,9，…，顯然{Sn}是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于零，“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”?/ “an>0”，“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的不必要條件．因此“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件．故選A.
4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時， 不滿足上式．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝
答案：
5．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項(xiàng)公式an＝________.
解析：由題意知an＋1－an＝＝－，
∴a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－(n≥2，n∈N*)，逐項(xiàng)相加得an＝a1＋1－＝4－.經(jīng)檢驗(yàn)，a1＝3也符合上式．故an＝4－.
答案：4－
二、綜合練——練思維敏銳度
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2－2n＋1，則a3＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
解析：選D　∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝ －8.故選D.
2．(2021·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝(　　)
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
解析：選C　由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，∴為常數(shù)列，即＝＝1，故an＝n.故選C.
3．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是(　　)
A. B.
C．4 D．0
解析：選D　因?yàn)閍n＝－32＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時，an最大，最大值為0.
4．(多選)對于數(shù)列，令bn＝an－，下列說法正確的是(　　)
A．若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則數(shù)列也是單調(diào)遞增數(shù)列
B．若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列
C．若an＝3n－1，則數(shù)列有最小值
D．若an＝1－n，則數(shù)列有最大值
解析：選CD　如果a1＝－1，a2＝1，則b1＝b2＝0，從而A不正確；如果a1＝1，a2＝－1，則b1＝b2＝0，從而B不正確；函數(shù)f(x)＝x－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，若an＝3n－1，則為遞增數(shù)列，當(dāng)n＝1時，an取最小值，a1＝2>0，所以數(shù)列有最小值，從而C正確；若an＝1－n，當(dāng)n＝1時，an取最大值且an>0，所以數(shù)列有最大值，從而D正確．
5．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則a18＝(　　)
A. B.
C．3 D.
解析：選B　令bn＝nan，
則由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，
得2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)，
∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，以2a2－a1＝3為公差的等差數(shù)列，
則bn＝1＋3(n－1)＝3n－2，即nan＝3n－2，∴an＝，∴a18＝＝.故選B.
6．(多選)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝3，當(dāng)n≥2時，an＝(＋1)2－1，則關(guān)于數(shù)列{an}說法正確的是(　　)
A．a(chǎn)2＝8 B．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{an}為周期數(shù)列 D．a(chǎn)n＝n2＋2n
解析：選ABD　由an＝(＋1)2－1得an＋1＝(＋1)2，∴＝＋1，即數(shù)列{}是首項(xiàng)為＝2，公差為1的等差數(shù)列，∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝n2＋2n，得a2＝8，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，故A、B、D正確．
7．設(shè)數(shù)列{an}中a1＝a2＝1，且滿足a2n＋1＝3a2n－1與a2n＋2－a2n＋1＝a2n，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)的和為(　　)
A．364 B．728
C．907 D．1 635
解析：選C　數(shù)列{an}中a1＝a2＝1，且滿足a2n＋1＝3a2n－1，則a3＝3a1＝3，a5＝3a3＝9，a7＝3a5＝27，a9＝3a7＝81，a11＝3a9＝243.
由于a2n＋2－a2n＋1＝a2n，所以a2n＋2＝a2n＋1＋a2n，
故a4＝a3＋a2＝4，a6＝a5＋a4＝13，a8＝a7＋a6＝40，a10＝a9＋a8＝121，a12＝a11＋a10＝364，
所以數(shù)列{an}的前12項(xiàng)的和為1＋1＋3＋4＋9＋13＋27＋40＋81＋121＋243＋364＝907.故選C.
8．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若關(guān)于正整數(shù)n的不等式a－tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個，則正實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　∵a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，∴當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝nan－1，
∴2an＝2(Sn－Sn－1)＝(n＋1)an－nan－1，整理得＝(n≥2)，
∴＝＝…＝＝＝1，∴an＝n(n∈N*)．
不等式a－tan≤2t2可化為(n－2t)(n＋t)≤0，t>0，
∴00，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
又a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
答案：an＝2n－1
12．若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且＋＋＋…＋＝n2＋n，則a1＋＋…＋＝________.
解析：由題意得當(dāng)n≥2時，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2.又當(dāng)n＝1時，＝2，∴a1＝4，∴＝4n，∴a1＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n2＋2n.
答案：2n2＋2n
13．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：由a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)知，當(dāng)n≥2時，a1＋＋＋…＋＝ an－1，∴＝an－an－1，即an＝an－1，∴an＝…＝2a1＝2，∴an＝.
答案：
14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.滿足a1＝2,3Sn＝(n＋m)an(m∈R)，且anbn＝n，若存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為________．
解析：∵3Sn＝(n＋m)an，
∴3S1＝3a1＝(1＋m)a1，解得m＝2，
∴3Sn＝(n＋2)an，①
當(dāng)n≥2時，3Sn－1＝(n＋1)an－1，②
由①－②可得3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
即(n－1)an＝(n＋1)an－1，∴＝，
∴＝，＝，＝，…，＝，＝，
累乘可得an＝n(n＋1)(n≥2)，經(jīng)檢驗(yàn)，a1＝2符合上式，
∴an＝n(n＋1)，n∈N*.∵anbn＝n，
∴bn＝，令Bn＝T2n－Tn＝＋＋…＋，則Bn＋1－Bn＝>0，∴數(shù)列{Bn}為遞增數(shù)列，∴Bn≥B1＝.
∵存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，∴λ≥B1＝，
故實(shí)數(shù)λ的最小值為.
答案：
15．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；
(2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)由n2－5n＋40.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2

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