?第十章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列
第一節(jié)　兩個計數(shù)原理、排列與組合
核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.結(jié)合“分類”“分步”完成一件事，考查對分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的理解及簡單應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合排列、組合的概念及兩個計數(shù)原理，考查常見排列、組合問題的解法，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
3．結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)公式，考查常見排列數(shù)、組合數(shù)問題的化簡及計算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．


[理清主干知識]
1．兩個計數(shù)原理

分類加法計數(shù)原理
分步乘法計數(shù)原理
條件
完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法
完成一件事需要兩個步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法
結(jié)論
完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法
完成這件事共有N＝m·n種不同的方法




2．排列與組合的概念
名稱
定義
排列
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
按照一定的順序排成一列
組合
合成一組

3．排列數(shù)與組合數(shù)
(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示．
(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示．
(3)全排列：把n個不同元素全部取出來按照一定的順序排列起來，叫做n個不同元素的全排列．用A表示n個不同元素的全排列數(shù)．
4．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；
(2)C＝＝＝
性質(zhì)
(1)0?。剑籄＝；
(2)C＝；C＝
[澄清盲點誤點]

一、關(guān)鍵點練明
1．(分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用) 從4名女同學(xué)和3名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法為(　　)
A．12種　　　　　　　　　 B．7種
C．4種 D．3種
解析：選B　由題意知，有4＋3＝7種．
2．(分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用) 將3張不同的武漢軍運(yùn)會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是(　　)
A．2 160 B．720
C．240 D．120
解析：選B　分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，共有10×9×8＝720種分法．
3．(組合問題) 從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是(　　)
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：選C　法一：選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有CC＝18種，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有CC＝12種，故3名學(xué)生中男女生都有的選法有CC＋CC＝30種．故選C.
法二：從7名同學(xué)中任選3名的方法數(shù)，再減去所選3名同學(xué)全是男生或全是女生的方法數(shù)，即C－C－C＝30.故選C.
4．(排列問題) A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須在A的右側(cè)(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有(　　)
A．24種 B．60種
C．90種 D．120種
解析：選B　可先排C，D，E三人，共有A種，剩余A，B兩人只有一種排法，故滿足條件的排法共有A×1＝60(種)．
二、易錯點練清
1．(混淆兩個計數(shù)原理)一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同，則從兩個口袋中各取1個小球，有________種不同的取法．
解析：分兩步完成，第一步從第1個口袋內(nèi)任取1個小球有5種方法，第二步從第二個口袋內(nèi)取1個小球有4種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到不同的取法種數(shù)是5×4＝20種．
答案：20
2．(分步、分類時產(chǎn)生重復(fù)或遺漏)從1,2,3，…，10中選出3個不同的數(shù)，使這三個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的數(shù)列共有________個．
解析：根據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列的公差，分為公差為±1，±2，±3，±4四類，公差為±1時，有8×2＝16個；公差為±2時，滿足要求的數(shù)列共有6×2＝12個；公差為±3時，有4×2＝8個；公差為±4時，只有2×2＝4個，由分類加法計數(shù)原理可知，共構(gòu)成了不同的等差數(shù)列16＋12＋8＋4＝40個．
答案：40
3．(分類不清)從6臺原裝計算機(jī)和5臺組裝計算機(jī)中任意選取5臺，其中至少有原裝計算機(jī)和組裝計算機(jī)各2臺，則不同的取法有________種．
解析：分兩類：第一類，取2臺原裝計算機(jī)與3臺組裝計算機(jī)，有CC種方法；第二類，取3臺原裝計算機(jī)與2臺組裝計算機(jī)，有CC種方法．所以滿足條件的不同取法有CC＋CC＝350(種)．
答案：350

考點一　兩個計數(shù)原理及應(yīng)用
[典例]　(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　)

A．24 B．18
C．12 D．9
(2)在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個．
[解析]　(1)由題意可知E→F有6種走法，F(xiàn)→G有3種走法，由乘法計數(shù)原理知，共6×3＝18種走法，故選B.
(2)十位數(shù)的數(shù)為1時，有213,214,312,314,412,413，共6個；十位上的數(shù)為2時，有324,423，共2個，所以共有6＋2＝8(個)．
[答案]　(1)B　(2)8
[方法技巧]
(1)分類加法和分步乘法計數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．
(2)分類標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏．
(3)混合問題一般是先分類再分步．
(4)切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行．　　
[針對訓(xùn)練]
1．某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有(　　)
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
解析：選D　按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．
2．如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點)．

解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O共2種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O共2種不同的走法，由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法．
答案：5
考點二　排列問題
[典例]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)．
(1)選其中5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體站成一排，男、女各站在一起；
(4)全體站成一排，男生不能站在一起．
[解]　(1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有A＝2 520種排法．
(2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有A＝5 040種排法．
(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有A種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有N＝A·A·A＝288(種)．
(4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個女生隔成的五個空中安排共有A種排法，故N＝A·A＝1 440(種)．
[方法技巧]　求解排列應(yīng)用問題的5種主要方法
直接法
適用于沒有限制條件的問題
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中
間接法
正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法

[針對訓(xùn)練]
1．某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A種　　　　　　 B．A種
C．AAA種 D．AA種
解析：選D　中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有A種站法；其他18國領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有A種站法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有AA種站法．故選D.
2．(2021·長沙明德中學(xué)月考)現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法種數(shù)為(　　)
A．AA　　　　　　 B．AA
C．AAA D．AAA
解析：選D　根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①將4名男生分成1,3兩組，有C＝4種分組方法，其中三人組三人之間的順序有A種排法；②將6名女生全排列，有A種情況，排好后有7個空位；③將分好的2組男生安排到7個空位中，有A種情況，則不同的排法有CAAA＝AAA種．
考點三　組合問題
[典例]　已知男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男、女隊長各1人．選派5人外出比賽．在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)男運(yùn)動員3名，女運(yùn)動員2名；
(2)至少有1名女運(yùn)動員；
(3)隊長中至少有1人參加；
(4)既要有隊長，又要有女運(yùn)動員．
[解]　(1)第1步，選3名男運(yùn)動員，有C種選法；
第2步，選2名女運(yùn)動員，有C種選法，共有C·C＝120(種)選法．
(2)法一：至少有1名女運(yùn)動員包括以下幾種情況：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)．
法二：“至少有1名女運(yùn)動員”的反面為“全是男運(yùn)動員”，可用間接法求解．
從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運(yùn)動員的選法有C種．
所以“至少有1名女運(yùn)動員”的選法為C－C＝246(種)．
(3)法一：直接法
可分類求解：
“只有男隊長”的選法為C；
“只有女隊長”的選法為C；
“男、女隊長都入選”的選法為C；
所以共有2C＋C＝196(種)選法．
法二：間接法
從10人中任選5人有C種選法．
其中不選隊長的方法有C種．所以“至少有1名隊長”的選法為C－C＝196(種)．
(4)當(dāng)有女隊長時，其他人任意選，共有C種選法．不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動員的選法有C種，所以不選女隊長時的選法共有C－C種．所以既有隊長又有女運(yùn)動員的選法共有C＋C－C＝191(種)．
[方法技巧]　組合問題的2種題型及解法
題型
解法
“含有”或“不含有”某些元素的組合
“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取
“至少”或“至多”含有幾個元素的組合
解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理

[針對訓(xùn)練]
1．(多選)在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是(　　)
A．若任意選科，選法總數(shù)為C
B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為CC
C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為CCC
D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為CC＋1
解析：選BD　若任意選科，選法總數(shù)為CC，A錯誤；若化學(xué)必選，選法總數(shù)為CC，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為C(CC＋1)，C錯誤；若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為CC＋1，D正確．
2．現(xiàn)有12張不同的撲克牌，其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張，現(xiàn)從中任取3張，要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多一張，則不同的取法種數(shù)為________．
解析：分類完成，含有一張黑桃的不同取法有CC＝108(種)，不含黑桃時，有C－3C＝81(種)不同的取法．故共有108＋81＝189種不同的取法．
答案：189


一、創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移
分組分配問題中的3種常見類型
解決分組問題的一個基本指導(dǎo)思想是先分組后分配.關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無論分成幾組，應(yīng)注意的是只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象.
類型(一)　整體均分問題
[例1]　教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6名免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分配方法．
[解析]　先把6名畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故6名畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A＝90種分配方法．
[答案]　90
[名師微點]
對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．　　
類型(二)　部分均分問題
[例2]　將并排的有不同編號的5個房間安排給5名工作人員臨時休息，假定每個人可以選擇任一房間，且選擇各個房間是等可能的，則恰有2個房間無人選擇且這2個房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為________．
[解析]　先將5人分成三組(1,1,3或2,2,1兩種形式)，再將這三組人安排到3個房間，然后將2個房間插入前面住了人的3個房間形成的空當(dāng)中即可，故安排方式共有
·A·C＝900種．
[答案]　900
[名師微點]
對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．　

類型(三)　不等分組問題
[例3]　(1)(2020·新高考全國卷Ⅱ)3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個村，每個村至少1人，則不同的分配方案共有(　　)
A．4種　　　　　　　　　 B．5種
C．6種 D．8種
(2)將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法．
[解析]　(1)根據(jù)題意，可先將3名大學(xué)生分成2組，一組2人，一組1人，共有C＝3種分法，再將這兩組分配到2個山村，有A＝2種分法，故共有3×2＝6種分法．
(2)先把書分成三組，把這三組分給甲、乙、丙3名學(xué)生．先選1本，有C種選法；再從余下的5本中選2本，有C種選法；最后余下3本全選，有C種選法．故共有C·C·C＝60種選法．由于甲、乙、丙是不同的3人，還應(yīng)考慮再分配，故共有60A＝360種分配方法．
[答案]　(1)C　(2)360
[名師微點]
對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時，任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．　　

[歸納總結(jié)]
總之，在解答分組問題時，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計數(shù)．對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏，抓住了以上關(guān)鍵點，就能避免掉進(jìn)陷阱．
二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向
1．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　)
A．18種 B．24種
C．36種 D．48種
解析：選C　若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6種；若甲、乙搶的是兩個6元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C.
2．回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，…，99，3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則
(1)5位回文數(shù)有________個；
(2)2n(n∈N*)位回文數(shù)有________個．
解析：(1)5位回文數(shù)相當(dāng)于填5個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，第2位和第4位一樣，有10種填法，中間一位有10種填法，共有9×10×10＝900(種)填法，即5位回文數(shù)有900個．
(2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格．結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，知有9×10n－1種填法．
答案：(1)900　(2)9×10n－1


一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是(　　)
A．26　　　　　　　　　 B．60
C．18 D．1 080
解析：選A　由分類加法計數(shù)原理知有5＋12＋3＋6＝26(種)不同走法．
2．教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(　　)
A．10種 B．25種
C．52種 D．24種
解析：選D　每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計數(shù)原理，共有24種不同的走法．
3．(2021·德州模擬)某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(　　)
A．504 B．210
C．336 D．120
解析：選A　分三步，先插一個新節(jié)目，有7種方法，再插第二個新節(jié)目，有8種方法，最后插第三個節(jié)目，有9種方法．故共有7×8×9＝504種不同的插法．
4．(2020·新高考全國卷Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(　　)
A．120種 B．90種
C．60種 D．30種
解析：選C　先從6名同學(xué)中選1名安排到甲場館，有C種選法，再從剩余的5名同學(xué)中選2名安排到乙場館，有C種選法，最后將剩下的3名同學(xué)安排到丙場館，有C種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有C·C·C＝60(種)不同的安排方法．故選C.
5．若三角形三邊均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有________個．
解析：當(dāng)b＝1時，c＝4；當(dāng)b＝2時，c＝4,5；當(dāng)b＝3時，c＝4,5,6；當(dāng)b＝4時，c＝4,5,6,7.故共有1＋2＋3＋4＝10個這樣的三角形．
答案：10
6．(2021·長春質(zhì)檢)某班主任準(zhǔn)備請2020屆畢業(yè)生做報告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言中間需恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有________種．(用數(shù)字作答)
解析：若甲、乙同時參加，有CACA＝120(種)，若甲、乙有一人參加，有CCA＝960(種)，從而不同的發(fā)言順序有1 080種．
答案：1 080

二、綜合練——練思維敏銳度
1．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　)
A．192種 B．216種
C．240種 D．288種
解析：選B　第一類：甲在左端，有A＝120種排法；
第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96種排法；
所以共有120＋96＝216種排法．
2．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　)
A．4種 B．6種
C．10種 D．16種
解析：選B　分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件有3種方法(如圖)，同理，甲先踢給丙時，滿足條件也有3種方法．由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＝6種傳遞方法．
3．(多選)2020年3月，為促進(jìn)疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間安全生產(chǎn)，濱州市某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種
B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種
C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種
D．所有不同分派方案共43種
解析：選ABC　對于選項A：若C企業(yè)沒有派醫(yī)生去，每名醫(yī)生有2種選擇，則共用24＝16種，若C企業(yè)派1名醫(yī)生則有C·23＝32種，所以共有16＋32＝48種．
對于選項B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則有·A＝36種．
對于選項C：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，若甲企業(yè)分2人，則有A＝6種；若甲企業(yè)分1人，則有CCA＝6種，所以共有6＋6＝12種．
對于選項D：所有不同分派方案共有34種．
4．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為(　　)
A．CA B．CA
C．CA D．CA
解析：選C　先排第1號瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有C種方法，再排剩余的瓶子，有A種方法，故不同的放法共CA種，故選C.
5．從數(shù)字1,2,3,4,5,6,7中任取3個奇數(shù)，2個偶數(shù)，組成一個無重復(fù)數(shù)字且兩個偶數(shù)數(shù)字不相鄰的五位數(shù)，則滿足條件的五位數(shù)共有(　　)
A．864個 B．432個
C．288個 D．144個
解析：選A　從數(shù)字1,2,3,4,5,6,7中任取3個奇數(shù)，2個偶數(shù)的取法種數(shù)為CC.把3個奇數(shù)全排列，有A種，再把2個偶數(shù)在3個奇數(shù)排后產(chǎn)生的空位置中排列，有A種，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，滿足條件的五位數(shù)共有CCAA＝864(個)．
6.某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長為2個單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為i(i＝1,2，…，6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處的所有不同走法共有(　　)
A．22種 B．24種
C．25種 D．27種
解析：選D　由題意知正方形ABCD(邊長為2個單位)的周長是8個單位，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，表示三次骰子的點數(shù)之和是8或16，點數(shù)和為8或16的有125,134,116,224,233,466,556，共有7種組合．組合125,134，每種情況可以排列出A＝6種走法，共有2A＝2×6＝12種走法；組合116,224,233,466,556各自可以列出3種走法，共有5×3＝15種走法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋15＝27(種)走法，故選D.
7．將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　)
A．12種 B．10種
C．9種 D．8種
解析：選A　將4名學(xué)生均分為2個小組共有＝3(種)分法；將2個小組的同學(xué)分給2名教師共有A＝2(種)分法；最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A＝2(種)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(種)．
8．學(xué)校在高一年級開設(shè)選修課程，其中歷史開設(shè)了三個不同的班，選課結(jié)束后，有5名同學(xué)要求改修歷史，但歷史選修每班至多可接收2名同學(xué)，那么安排好這5名同學(xué)的方案有________種．(用數(shù)字作答)
解析：由已知可得，先將5名學(xué)生分成3組，有＝15種分組方法，再安排到三個班中有A種方法，所以共有15×A＝90種方案．
答案：90
9．10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，則4只鞋子恰成兩雙的不同情況有________種；4只鞋子沒有成雙的不同情況有________種．
解析：根據(jù)題意只需選出兩雙鞋，所以有C＝45(種)情況．
4只鞋若沒有成雙的，則它們來自4雙鞋；先從10雙中取4雙，有C種取法，再從每雙中取一只，各有C種取法，所以由分步乘法計數(shù)原理共有CCCCC＝3 360(種)情況．
答案：45　3 360
10．(2021·泰安一模)北京大興國際機(jī)場為4F級國際機(jī)場、大型國際樞紐機(jī)場、國家發(fā)展新動力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道，若有2架飛往不同目的地的飛機(jī)要從以上不同跑道同時起飛，且西一跑道、西二跑道至少有一道被選取，則共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)
解析：從4條跑道中選取安排共有A＝12種選擇，
排除西一跑道、西二跑道都沒有的A＝2種選擇，共有12－2＝10種選擇．
答案：10
11．(2021·濰坊模擬)植樹造林，綠化祖國．某班級義務(wù)勞動志愿者小組參加植樹活動，準(zhǔn)備在如圖所示的一拋物線形地塊上的ABCDGFE七點處各種植一棵樹苗，其中A，B，C分別與E，F(xiàn)，G關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，現(xiàn)有三種樹苗，要求每種樹苗至少種植一棵，且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的兩點處必須種植同一種樹苗，則共有不同的種植方法數(shù)是________(用數(shù)字作答)．
解析：由題意對稱相當(dāng)于3種樹苗種A，B，C，D四個位置，有且僅有一種樹苗重復(fù)，有C種選法；在四個位置上種植有＝12種方法，則由分步乘法計數(shù)原理得共有C×12＝36種方法．
答案：36
12．(2021·青島模擬)將甲、乙等5名交警分配到三個不同的路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________種．
解析：把甲、乙2人看作一個整體，5個人變成了4個，再把這4個人分成3部分，每部分至少1人，共有C種方法，再把這3部分人分到3個路口，有A種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同分法的種類為CA＝36(種)．
答案：36
13．現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)為________．
解析：若第一門安排在開頭或結(jié)尾，則第二門有3種安排方法，這時，共有C×3＝6種方法；若第一門安排在中間的3天中，則第二門有2種安排方法，這時，共有3×2＝6種方法．綜上可得，不同的考試安排方案共有6＋6＝12種．
答案：12
14．從4名男同學(xué)中選出2人，6名女同學(xué)中選出3人，并將選出的5人排成一排．
(1)共有多少種不同的排法？
(2)若選出的2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法？(用數(shù)字表示)
解：(1)從4名男生中選出2人，有C種選法，
從6名女生中選出3人，有C種選法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知選出5人，再把這5個人進(jìn)行排列，共有CCA＝14 400(種)．
(2)在選出的5個人中，若2名男生不相鄰，則第一步先排3名女生，第二步再讓男生插空，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有CCAA＝8 640(種)．
15．用0,1,2,3,4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(1)比21 034大的偶數(shù)；
(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．
解：(1)可分五類，當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時，有6個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有CA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有CA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時，有3個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時，有A＝6個五位數(shù)．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39個滿足條件的五位數(shù)．
(2)可分為兩類：
末位數(shù)是0，個數(shù)有A·A＝4；
末位數(shù)是2或4，個數(shù)有A·C＝4.
故共有4＋4＝8個滿足條件的五位數(shù)．

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