新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練教案9.2 變量間的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例（含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練教案9.2 變量間的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例（含解析），共19頁。
?第二節(jié)　變量間的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例
核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.會作兩個相關(guān)變量的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量之間的相關(guān)關(guān)系．
2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸系數(shù)公式建立線性回歸方程，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
4．了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．

[理清主干知識]
1．變量間的相關(guān)關(guān)系
常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．
2．兩個變量的線性相關(guān)
(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．
(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．
(3)回歸方程為＝x＋，其中＝，＝－.
(4)相關(guān)系數(shù)
當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；
當(dāng)r70(萬元)，
所以能把保費(fèi)x定為5元．
考法(二)　相關(guān)系數(shù)
[例2]　我國大力發(fā)展校園足球，為了解某地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
年份x
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色學(xué)校y(百個)
0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱；
(已知：0.75≤|r|≤1，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)；0.3≤|r|＜0.75，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性一般；|r|≤0.25，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較弱)
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)2021年足球特色學(xué)校的個數(shù)(精確到個)．
參考數(shù)據(jù)：(xi－)2＝10，(yi－)2＝1.3，(xi－)·(yi－)＝3.6，≈ 3.605 6.
[解]　(1)由題得＝×(2 014＋2 015＋2 016＋2 017＋2 018)＝2 016，
＝×(0.30＋0.60＋1.00＋1.40＋1.70)＝1，
∴r＝＝≈≈0.998＞0.7.
∴y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)．
(2)設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為＝＋x，
則＝＝＝0.36，
＝－＝1－0.36×2 016＝－724.76，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程是＝0.36x－724.76.
當(dāng)x＝2 021時，＝0.36×2 021－724.76＝2.8，故預(yù)測該地區(qū)2021年足球特色學(xué)校有280個．
考法(三)　非線性回歸分析
[例3]　已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)．現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(個)和溫度x(℃)的7組觀測數(shù)據(jù)，其散點(diǎn)圖如圖所示：

　　根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x可用方程y＝ebx＋a來擬合，令z＝ln y，結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知z與溫度x可用線性回歸方程來擬合．
根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：



(xi－)2
(zi－)2
(xi－)(zi－)
27
74
3.537
182
11.9
46.418
表中zi＝ln yi，＝i.
(1)求z關(guān)于溫度x的回歸方程(回歸系數(shù)結(jié)果精確到0.001)；
(2)求產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程；若該地區(qū)一段時間內(nèi)的氣溫在26 ℃～36 ℃之間(包括26 ℃與36 ℃)，估計(jì)該品種一只昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的范圍．參考數(shù)據(jù)：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568.
[解]　(1)由題意，z和溫度x可以用線性回歸方程擬合，
設(shè)＝x＋，
則＝＝≈0.255，
＝－＝3.537－0.255×27＝－3.348，
故z關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.255x－3.348.
(2)由(1)可得，ln y＝0.255x－3.348.
于是產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為y＝e0.255x－3.348.
當(dāng)x＝26時，y＝e0.255×26－3.348＝e3.282≈27；
當(dāng)x＝36時，y＝e0.255×36－3.348＝e5.832≈341.
∵函數(shù)y＝e0.255x－3.348為增函數(shù)，
∴在氣溫在26℃～36℃之間時，一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的估計(jì)范圍是{y|27≤y≤341，y∈N*}．
[方法技巧]
1．線性回歸分析問題的類型及解題方法
(1)求回歸直線方程
①計(jì)算出，，，iyi或(xi－)(yi－)，(xi－)2的值；
②利用公式計(jì)算回歸系數(shù)，；
③寫出回歸直線方程＝x＋.
(2)回歸模型的擬合效果：利用相關(guān)系數(shù)r判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．
2．非線性回歸方程的求法
(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖；
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)；
(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程；
(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程．　　
[針對訓(xùn)練]
1．已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸方程＝x＋其中＝11據(jù)此估計(jì)，當(dāng)投入6萬元廣告費(fèi)時，銷售額約為(　　)
x
1
2
3
4
5
y
10
15
30
45
50
A．60萬元　　　　　　　　 B．63萬元
C．65萬元 D．69萬元
解析：選B　由表格數(shù)據(jù)可知＝＝3，＝＝30，
因?yàn)榛貧w方程過點(diǎn)(，)，所以30＝3＋，且＝11，得＝－3，所以＝11x－3，代入x＝6，得＝63，故選B.
2．某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1月份至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：
日期
1月
10日
2月
10日
3月
10日
4月
10日
5月
10日
6月
10日
晝夜溫差x/℃
10
11
13
12
8
6
就診人數(shù)y/個
22
25
29
26
16
12

該興趣小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；
(2)若選取的是1月份與6月份的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2月份至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋；
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？
參考數(shù)據(jù)：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092，
112＋132＋122＋82＝498.
解：(1)設(shè)選到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件A.因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有15種情況，且每種情況都是等可能的，其中，選到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種，所以P(A)＝＝.
(2)由表中2月份至5月份的數(shù)據(jù)可得＝11，＝24，iyi＝1 092，＝498，所以＝＝，
則＝－ ＝－，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝x－.
(3)當(dāng)x＝10時，＝，＜2；
當(dāng)x＝6時，＝，＜2.
所以該小組所得線性回歸方程是理想的．
考點(diǎn)三　獨(dú)立性檢驗(yàn)
[典例]　(2020·全國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
　　　　　鍛煉人次

空氣質(zhì)量等級　　　
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1(優(yōu))
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(輕度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好


空氣質(zhì)量不好


附：K2＝，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
[解]　(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表：
空氣質(zhì)量等級
1
2
3
4
概率的估計(jì)值
0.43
0.27
0.21
0.09
(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為
(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：

人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
33
37
空氣質(zhì)量不好
22
8
根據(jù)列聯(lián)表得K2＝≈5.820.
由于5.820>3.841，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．
[方法技巧]　解獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題的2個關(guān)注點(diǎn)
兩個明確
明確兩類主體；明確研究的兩個問題
兩個準(zhǔn)確
準(zhǔn)確畫出2×2列聯(lián)表；準(zhǔn)確計(jì)算K2
[針對訓(xùn)練]
　(2021·大連一模)在某次測驗(yàn)中，某班40名考生的成績滿分100分統(tǒng)計(jì)如圖所示．

(1)估計(jì)這40名學(xué)生的測驗(yàn)成績的中位數(shù)x0(精確到0.1)；
(2)記80分以上為優(yōu)秀，80分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績與性別有關(guān)？

合格
優(yōu)秀
總計(jì)
男生
16


女生

4

總計(jì)


40
解：(1)由頻率分布直方圖易知0.01×10＋0.015×10＋0.02×10＝0.45，即分?jǐn)?shù)在的頻率為0.45，
∴0.03×＝0.5－0.45，解得x0＝≈71.7，
∴40名學(xué)生的測驗(yàn)成績的中位數(shù)為71.7.
(2)由頻率分布直方圖，可得列聯(lián)表如下：

合格
優(yōu)秀
總計(jì)
男生
16
6
22
女生
14
4
18
總計(jì)
30
10
40
∴K2＝＝≈0.1356.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”，故選C.
5．(多選)我國5G技術(shù)研發(fā)試驗(yàn)在2016～2018年進(jìn)行，分為5G關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)、5G技術(shù)方案驗(yàn)證和5G系統(tǒng)驗(yàn)證三個階段.2020年初以來，5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升．某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了近5個月來5G手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：
月份
2020年
8月
2020年
9月
2020年
10月
2020年
11月
2020年
12月
月份編號x
1
2
3
4
5
銷量y/部
50
96
a
185
227
若y與x線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為＝45x＋5，則下列說法正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝142
B．y與x正相關(guān)
C．y與x的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)
D．2021年2月該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為365部
解析：選AB?。剑?，
＝＝，
因?yàn)辄c(diǎn)(，)在回歸直線上，所以＝45×3＋5，解得a＝142，所以選項(xiàng)A正確；
從表格數(shù)據(jù)看，y隨x的增大而增大，所以y與x正相關(guān)，所以選項(xiàng)B正確；
因?yàn)閥與x正相關(guān)，所以y與x的相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，所以選項(xiàng)C錯誤；
2021年2月對應(yīng)的月份編號x＝7，當(dāng)x＝7時，＝45×7＋5＝320，所以2021年2月該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為320部，所以選項(xiàng)D錯誤．故選A、B.
6．(多選)千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表：
　　　　夜晚天氣
日落云里走　　　　
下雨
未下雨
出現(xiàn)
25
5
未出現(xiàn)
25
45
臨界值表
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
并計(jì)算得到K2≈19.05，下列小波對地區(qū)A天氣判斷正確的是(　　)
A．夜晚下雨的概率約為
B．未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為
C．有99.9%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)
D．出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會下雨
解析：選D　由題意，把頻率看作概率可得夜晚下雨的概率約為＝，故A判斷正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為＝，故B判斷正確；由K2≈19.05>10.828，根據(jù)臨界值表，可得有99.9%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)，故C判斷正確，D判斷錯誤，故選D.
7．為了均衡教育資源，加大對偏遠(yuǎn)地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年教育支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與x的回歸直線方程為＝0.15x＋0.2.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，則年教育支出平均增加________萬元．
解析：因?yàn)榛貧w直線的斜率為0.15，所以家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加0.15萬元．
答案：0.15
8．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：(單位：人)

幾何題
代數(shù)題
總計(jì)
男同學(xué)
22
8
30
女同學(xué)
8
12
20
總計(jì)
30
20
50

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺和空間想象能力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過________．
附表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

解析：由列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測值k＝≈5.556>5.024.∴推斷犯錯誤的概率不超過0.025.
答案：0.025
9．(2021·甘肅蘭州一診)近五年來某草場羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖所示：
年份
1
2
3
4
5
羊只數(shù)量/萬只
1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
草地植被指數(shù)
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7

根據(jù)表及圖得到以下判斷：
①羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系；
②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為r1，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為r2，則|r1|＜|r2|；
③可以利用回歸直線方程，準(zhǔn)確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時的草地植被指數(shù)．
以上判斷中正確的個數(shù)是________．
解析：對于①，羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成負(fù)相關(guān)關(guān)系，不是減函數(shù)關(guān)系，所以①錯誤；對于②，用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為r1，因?yàn)榈谝荒陻?shù)據(jù)(1.4,1.1)是離群值，去掉后得到的相關(guān)系數(shù)為r2，其相關(guān)性更強(qiáng)，所以|r1|＜|r2|，②正確；對于③，利用回歸直線方程，不能準(zhǔn)確得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時的草地植被指數(shù)，得到的只是預(yù)測值，所以③錯誤．綜上知，正確的判斷序號是②，共1個．
答案：1
10．(2021·佛山質(zhì)檢)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP是由中宣部主管以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端＋手機(jī)客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺，2019年1月1日上線后便成了黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”，為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP的學(xué)習(xí)情況，研究人員隨機(jī)抽取了200名該地黨員進(jìn)行調(diào)查，將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP上所得的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表(1)所示：
表(1)
分?jǐn)?shù)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人數(shù)
50
100
20
30

(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法從80分及以上的黨員中隨機(jī)抽取5人，再從抽取的5人中隨機(jī)選取2人作為學(xué)習(xí)小組長，求所選取的兩位小組長的分?jǐn)?shù)都在上的概率；
(2)為了調(diào)查“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP得分情況是否受到所在單位的影響，研究人員隨機(jī)抽取了機(jī)關(guān)事業(yè)單位黨員以及國有企業(yè)黨員作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如表所示：
表(2)

機(jī)關(guān)事業(yè)單位黨員
國有企業(yè)黨員
分?jǐn)?shù)超過80
220
150
分?jǐn)?shù)不超過80
80
50
判斷是否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”APP得分情況受所在單位的影響．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解：(1)由題意得，分?jǐn)?shù)在上抽取2人，記為a，b；分?jǐn)?shù)在上抽取3人，記為A，B，C.
選取2人作為學(xué)習(xí)小組長的基本事件有10個，即(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，其中兩位小組長的分?jǐn)?shù)都在上的有(A，B)，(A，C)，(B，C)共3個基本事件，∴所求概率P＝.
(2)完善表格如下：

機(jī)關(guān)事業(yè)單位黨員
國有企業(yè)黨員
總計(jì)
分?jǐn)?shù)超過80
220
150
370
分?jǐn)?shù)不超過80
80
50
130
總計(jì)
300
200
500

K2＝≈0.173