1.將根式與指數(shù)冪相結(jié)合考查它們之間的互化，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．與方程、不等式等相結(jié)合考查指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．
3．與二次函數(shù)、不等式等問(wèn)題綜合考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ \r(n,a) ?當(dāng)n為奇數(shù)且n>1時(shí)?，,x＝±\r(n,a)?當(dāng)n為偶數(shù)且n>1時(shí)?.))
2．有理數(shù)指數(shù)冪
3．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
4．指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.
由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(指數(shù)型函數(shù)圖象)函數(shù)y＝2x＋1的圖象是( )
答案：A
2．(指數(shù)冪的運(yùn)算)計(jì)算：π0＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) SKIPIF 1 < 0 ＝________.
答案：eq \f(11,8)
3．(根式的意義)若eq \r(?2a－1?2)＝eq \r(3,?1－2a?3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：eq \r(?2a－1?2)＝|2a－1|，eq \r(3,?1－2a?3)＝1－2a.
因?yàn)閨2a－1|＝1－2a.故2a－1≤0，所以a≤eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
4．(函數(shù)過(guò)定點(diǎn))函數(shù)f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)________．
解析：令x－2＝0，得x＝2.此時(shí)a0＋1＝2，∴定點(diǎn)為(2,2)．
答案：(2,2)
5．(指數(shù)函數(shù)的值域)函數(shù)y＝3x2－2x的值域?yàn)開(kāi)_______．
解析：設(shè)u＝x2－2x，則y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝eq \f(1,3)，所以函數(shù)y＝3x2－2x的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(化簡(jiǎn)eq \r(n,an)(a∈R)時(shí)忽略n的范圍)計(jì)算 eq \r(3,?1＋\r(2)?3)＋ eq \r(4,?1－\r(2)?4)＝________.
答案：2eq \r(2)
2．(錯(cuò)誤理解指數(shù)函數(shù)的概念)若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________.
答案：2
3．(忽視對(duì)底數(shù)a的討論)若函數(shù)f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值為2，則a＝________.
答案：2或eq \f(1,2)
考點(diǎn)一 指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值
[典例] (1)eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是( )
A．1 B．a(chǎn)
C．a(chǎn) SKIPIF 1 < 0 D．a(chǎn) SKIPIF 1 < 0
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 SKIPIF 1 < 0 ))0＋2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 SKIPIF 1 < 0 )) SKIPIF 1 < 0 －(0.01)0.5＝________.
[解析] (1)eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq \f(a3,a SKIPIF 1 < 0 ·a SKIPIF 1 < 0 )＝a SKIPIF 1 < 0 ＝a SKIPIF 1 < 0 .故選D.
(2)原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) SKIPIF 1 < 0 －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) SKIPIF 1 < 0 ＝1＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)－eq \f(1,10)＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).
[答案] (1)D (2)eq \f(16,15)
[方法技巧]
1．指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則
(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算．
(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．
(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．
(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答．
2．化簡(jiǎn)指數(shù)冪常用的技巧
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))－p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))p(ab≠0)；
(2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))m，aeq \f(n,m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))n(式子有意義)；
(3)1的代換，如1＝a－1a,1＝a SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 等；
(4)乘法公式的常見(jiàn)變形，如(a SKIPIF 1 < 0 ＋b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 －b SKIPIF 1 < 0 )＝a－b，(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )2＝a±2a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ＋b，(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 ?a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ＋b SKIPIF 1 < 0 )＝a±b.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．化簡(jiǎn)eq \f(?a SKIPIF 1 < 0 ·b－1? SKIPIF 1 < 0 ·a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ,\r(6,a·b5))(a>0，b>0)的結(jié)果是( )
A．a(chǎn) B．a(chǎn)b
C．a(chǎn)2b D．eq \f(1,a)
解析：選D 原式＝eq \f(a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ,a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 )＝a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,a).
2．已知14a＝7b＝4c＝2，則eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝________.
解析：由題設(shè)可得2 SKIPIF 1 < 0 ＝14,2 SKIPIF 1 < 0 ＝7,2 SKIPIF 1 < 0 ＝4，則2 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(14,7)＝2，
∴2 SKIPIF 1 < 0 ＝2×4＝23，∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝3.
答案：3
3．若x>0，則(2x SKIPIF 1 < 0 ＋3 SKIPIF 1 < 0 )(2x SKIPIF 1 < 0 －3 SKIPIF 1 < 0 )－4x SKIPIF 1 < 0 (x－x SKIPIF 1 < 0 )＝________.
解析：因?yàn)閤>0，所以原式＝(2x SKIPIF 1 < 0 )2－(3 SKIPIF 1 < 0 )2－4x SKIPIF 1 < 0 ·x＋4x SKIPIF 1 < 0 ·x SKIPIF 1 < 0 ＝4x SKIPIF 1 < 0 －3 SKIPIF 1 < 0 －4x SKIPIF 1 < 0 ＋4x SKIPIF 1 < 0 ＝4x SKIPIF 1 < 0 －33－4x SKIPIF 1 < 0 ＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
[典題例析]
(1)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是( )
(2)(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足等式2 020a＝2 021b，下列四個(gè)關(guān)系式中成立的關(guān)系式是( )
A．0

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