山東省菏澤市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（壓軸題）

這是一份山東省菏澤市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（壓軸題），共40頁(yè)。試卷主要包含了，與坐標(biāo)軸分別交于B，C兩點(diǎn)，兩點(diǎn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
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一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共2小題）
1．（2023?牡丹區(qū)二模）如圖，直線y1＝kx+2與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于點(diǎn)A（m，3），與坐標(biāo)軸分別交于B，C兩點(diǎn)．
（1）若y1＞y2＞0，求自變量x的取值范圍；
（2）動(dòng)點(diǎn)P（n，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)n為何值時(shí)，|PA﹣PC|的值最大？并求最大值．

2．（2023?東明縣二模）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，S△AOC＝2．
（1）求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直接寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍．

二．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）
3．（2023?鄄城縣二模）如圖，直線y＝ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y＝（x＞0）相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，且PC＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
（1）求直線AP和雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且QH⊥x軸于H，當(dāng)以點(diǎn)Q、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）
4．（2023?東明縣二模）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，2），且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PA的最小值．
四．二次函數(shù)綜合題（共4小題）
5．（2023?巨野縣二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+2圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求證：四邊形DECF是矩形；
②連接EF，線段EF的長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出EF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

6．（2023?鄄城縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c和直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接B和（2）中求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q為拋物線上的一點(diǎn)，直線BP下方是否存在點(diǎn)Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

7．（2023?曹縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B，對(duì)稱軸是直線x＝1，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCB是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

8．（2023?單縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，兩點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AP，CP，AC，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AP，BC，是否存在點(diǎn)P，使得2∠PAB＝∠ABC，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


五．四邊形綜合題（共3小題）
9．（2023?鄄城縣二模）如圖1，正方形ABCD與正方形AEGF有公共頂點(diǎn)A，點(diǎn)B，D分別在邊AE和AF上，連接BF，DE，點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N．
（1）【觀察猜想】
線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是 　 　，位置關(guān)系是 　 ??；
（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，AM所在直線交DE于點(diǎn)N，其他條件不變，請(qǐng)嘗試探究線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？
【探究思路】
延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使MH＝MA，連接BH，可證明△AED≌△BHA，從而將線段DE轉(zhuǎn)化為線段AH，進(jìn)而探究所需結(jié)論．
【問(wèn)題解決】
①請(qǐng)?jiān)趫D2中按要求作出輔助線，并寫出△AED≌△BHA的證明過(guò)程；
②線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？說(shuō)明理由．
?
10．（2023?單縣二模）如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終∠MAN＝45°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線段BC、DC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論，并證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CN＝CD＝6，設(shè)BD與AM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，交AN于Q，直接寫出AQ、AP的長(zhǎng)．

11．（2023?鄆城縣二模）在矩形ABCD中，AB＝12，P是邊AB上一點(diǎn)，把△PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：△AEB≌△DEC；
（2）如圖2，當(dāng)AD＝25，且AE＜DE時(shí)，求的值；
（3）如圖3，當(dāng)BE?EF＝108時(shí)，求BP的值．

六．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
12．（2023?東明縣二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱，AD交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）連結(jié)CE，若cosD＝，AB＝6，求CE的長(zhǎng)．

七．圓的綜合題（共1小題）
13．（2023?菏澤二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，與AC的延長(zhǎng)線相交于E，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，G為AB的下半圓弧的中點(diǎn)，DG交AB于H，連接DB、GB．
（1）證明：EF是⊙O的切線；
（2）若圓的半徑r＝3，BH＝2，求GH的長(zhǎng)；
（3）求證：DF2＝AF?BF．

八．相似形綜合題（共2小題）
14．（2023?巨野縣二模）如圖，在矩形ABCD中，∠ADB＝30°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB，BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．

（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時(shí)，如圖1，則的值為 　 ??；
（2）現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°＜α＜90°，且使AP：PC＝1：2時(shí)，如圖3的值是否變化？證明你的結(jié)論．
15．（2023?定陶區(qū)二模）如圖，△ABC和△DBE的頂點(diǎn)B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AB，BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：＝　 ??；直線AD與直線EC的位置關(guān)系是 　 ??；
（2）如圖2，將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，連接AD、EC，其所在直線相交于點(diǎn)F，
①（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)DF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求線段EC的長(zhǎng)度．

九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）
16．（2023?東明縣二模）如圖，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距離AB為45米，且乙建筑物的高度是甲建筑物的高度的6倍，從E（A、E、B在同一水平線上）點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角為30°，測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°．
（1）求乙建筑物的高度；
（2）求這兩座建筑物頂端C、D間的距離（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．


山東省菏澤市2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（壓軸題）
參考答案與試題解析
一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共2小題）
1．（2023?牡丹區(qū)二模）如圖，直線y1＝kx+2與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于點(diǎn)A（m，3），與坐標(biāo)軸分別交于B，C兩點(diǎn)．
（1）若y1＞y2＞0，求自變量x的取值范圍；
（2）動(dòng)點(diǎn)P（n，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)n為何值時(shí)，|PA﹣PC|的值最大？并求最大值．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）當(dāng)y2＝＝3時(shí)，x＝1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．
觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x＞1時(shí)，直線在雙曲線上方，
∴若y1＞y2＞0，自變量x的取值范圍為x＞1．

（2）將A（1，3）代入y1＝kx+2中，
3＝k+2，解得：k＝1，
∴直線AB的解析式為y1＝x+2．
當(dāng)x＝0時(shí)，y1＝x+2＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴AC＝＝．
當(dāng)y1＝x+2＝0時(shí)，x＝﹣2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)B重合時(shí)，|PA﹣PC|的值最大，此時(shí)n＝﹣2，|PA﹣PC|＝AC＝．
∴當(dāng)n為﹣2時(shí)，|PA﹣PC|的值最大，最大值為．
2．（2023?東明縣二模）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，S△AOC＝2．
（1）求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直接寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵C（﹣2，0），S△AOC＝2．
∴OC＝2，OC?|yA|＝2，
∴|yA|＝2，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴A（1，2），
∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝圖象上，
∴m＝1×2＝2，
∵一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過(guò)A（1，2），C（﹣2，0），
∴，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+，反比例函數(shù)的解析式為y＝；
（2）∵解得或，
∴B（﹣3，﹣），
∴反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍：x＜﹣3或0＜x＜1．
二．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）
3．（2023?鄄城縣二模）如圖，直線y＝ax+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y＝（x＞0）相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，且PC＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
（1）求直線AP和雙曲線的解析式；
（2）若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且QH⊥x軸于H，當(dāng)以點(diǎn)Q、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，
∴y＝x+1，
由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），
把P代入y＝得：k＝4，
則雙曲線解析式為y＝；

（2）設(shè)Q（m，n），
∵Q（m，n）在y＝上，
∴n＝，
當(dāng)△QCH∽△BAO時(shí)，可得＝，即＝，
∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），
∴Q（4，1）；
當(dāng)△QCH∽△ABO時(shí)，可得＝，即＝，
整理得：2m﹣4＝，
解得：m＝1+或m＝1﹣（舍），
∴Q（1+，2﹣2）．
綜上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．

三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）
4．（2023?東明縣二模）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，2），且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PA的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）代入，，
∴B的坐標(biāo)為，
將A（3，2），代入，
，
解得b＝1，，
∴拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，DE有最大值為2，
此時(shí)，
作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P．

PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此時(shí)PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），，
即PD+PA的最小值為；
四．二次函數(shù)綜合題（共4小題）
5．（2023?巨野縣二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+2圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求證：四邊形DECF是矩形；
②連接EF，線段EF的長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出EF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；
（2）①見(jiàn)解答；
②存在；EF的最小值是2．
【解答】（1）解：∵拋物線y＝ax2+bx+2圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
（2）①證明：∵把C（m，m﹣1）代入得，
∴，
解得：m＝3或m＝﹣2，
∵C（m，m﹣1）位于第一象限，
∴，
∴m＞1，
∴m＝﹣2舍去，
∴m＝3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，2），
過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB，垂足為H，則∠AHC＝∠BHC＝90°，
由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（3，2）得 AH＝4，CH＝2，BH＝1，AB＝5，
∵，∠AHC＝∠BHC＝90°，
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH＝∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴?DECF是矩形；
②存在；
連接CD，
∵四邊形DECF是矩形，
∴EF＝CD，
當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2．

6．（2023?鄄城縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c和直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接B和（2）中求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q為拋物線上的一點(diǎn)，直線BP下方是否存在點(diǎn)Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2；直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+2；
（2）P的坐標(biāo)為（2，3）；
（3）直線BP下方存在點(diǎn)Q，使得∠PBQ＝45°，Q的坐標(biāo)為（﹣，）．
【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2；
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+2，把B（4，0）代入得：
4m+2＝0，
解得m＝﹣，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+2；
（2）過(guò)P作PH∥y軸交BC于H，如圖：

設(shè)P（t，﹣t2+t+2），則H（t，﹣t+2），
∴PH＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝PH?OB＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△PBC取最大值4，
此時(shí)P的坐標(biāo)為（2，3）；
（3）直線BP下方存在點(diǎn)Q，使得∠PBQ＝45°，理由如下：
過(guò)P作PM⊥PB交BQ的延長(zhǎng)線于M，過(guò)P作TK∥x軸，過(guò)B作BK⊥TK于K，過(guò)M作MT⊥TK于T，如圖：

由（2）知P（2，3），
∵B（4，0），
∴PK＝2，BK＝3，
∵∠PBQ＝45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴∠MPB＝90°，PB＝PM，
∴∠KPB＝90°﹣∠TPM＝∠TMP，
∵∠K＝∠T＝90°，
∴△BPK≌△PMT（AAS），
∴PK＝MT＝2，BK＝PT＝3，
∴M（﹣1，1），
由M（﹣1，1），B（4，0）得直線BM函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+，
聯(lián)立，解得或，
∴Q的坐標(biāo)為（﹣，）．
7．（2023?曹縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B，對(duì)稱軸是直線x＝1，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCB是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）（1，1）；
（3）在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得S△BCM＝S△BCP，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B，對(duì)稱軸是直線x＝1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴OB＝OC.
連接OP，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，如圖1所示．
∵△PCB是以BC為底邊的等腰三角形，
∴PC＝PB．
在△OPC和△OPB中，
，
∴△OPC≌△OPB（SSS），
∴∠POC＝∠POB，
∵∠BOC＝90°，
∴∠POE＝∠BOC＝×90°＝45°，
∴△POE為等腰直角三角形，
∴PE＝OE，
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，
∴OE＝1，
∴PE＝1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；
（3）假設(shè)存在，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2所示．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3）．
∵S△BCM＝S△BCP，
∴S梯形OCMF+S△FMB﹣S△OBC＝S△OBC﹣2S△OPB，
∴（OC+MF）?OF+MF?BF﹣OB?OC＝OB?OC﹣2×OB?PE，
∴（3﹣m2+2m+3）?m+（﹣m2+2m+3）（3﹣m）﹣×3×3＝×3×3﹣2××3×1，
整理得：m2﹣3m+1＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴假設(shè)成立，
即在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得S△BCM＝S△BCP，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或．


8．（2023?單縣二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，兩點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AP，CP，AC，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AP，BC，是否存在點(diǎn)P，使得2∠PAB＝∠ABC，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；
（3）存在點(diǎn)P，使得2∠PAB＝∠ABC，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；
（2）連接OP，如圖：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+4），（0＜m＜3），
在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
∵∠AOC＝90°，OA＝2，
∴，
∴，
∵S△APC＝S△AOC+S△POC﹣S△AOP，
∴4+×4m﹣×2（﹣m2+m+4）＝2，
整理得x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3（不符合題意，舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；
（3）存在點(diǎn)P，使得2∠PAB＝∠ABC，理由如下：
作BM平分∠ABC交y軸于點(diǎn)M，作MN⊥BC于點(diǎn)N，如圖：

∴∠CNM＝90°，
∵BM是∠ABC的平分線，MO⊥BA，MN⊥BC，
∴NM＝OM，
∵∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，
∴，
∵＝sin∠BCO＝，
∴＝，
∴，
∵CM+OM＝OC＝4，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)∠PAB＝∠MBA時(shí)，2∠PAB＝2∠MBA＝∠ABC，
設(shè)AP交y軸于點(diǎn)Q，則∠AOQ＝90°，
∴，
∴，
∴Q（0，1），
設(shè)直線AP的解析式為y＝kx+1，
∴﹣2k+1＝0，
解得，
∴直線AP的解析式為，
聯(lián)立，
解得或（不符合題意，舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
五．四邊形綜合題（共3小題）
9．（2023?鄄城縣二模）如圖1，正方形ABCD與正方形AEGF有公共頂點(diǎn)A，點(diǎn)B，D分別在邊AE和AF上，連接BF，DE，點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N．
（1）【觀察猜想】
線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是 　DE＝2AM　，位置關(guān)系是 　DE⊥AM　；
（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，AM所在直線交DE于點(diǎn)N，其他條件不變，請(qǐng)嘗試探究線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？
【探究思路】
延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使MH＝MA，連接BH，可證明△AED≌△BHA，從而將線段DE轉(zhuǎn)化為線段AH，進(jìn)而探究所需結(jié)論．
【問(wèn)題解決】
①請(qǐng)?jiān)趫D2中按要求作出輔助線，并寫出△AED≌△BHA的證明過(guò)程；
②線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？說(shuō)明理由．
?
【答案】（1）DE＝2AM，BF⊥AM；
（2）①見(jiàn)解答；
②AM⊥DE．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAE＝90°，AE＝AF，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴DE＝BF，∠AFB＝∠DEA，
∵∠DAE＝90°，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，
∴DE＝2AM＝BF，AE＝EM，
∴∠AED＝∠EAM，
∴∠EAM＝∠AFB，
∴∠EAM+∠FAM＝90°＝∠FAM+∠AFB，
∴∠ANF＝90°，
∴BF⊥AM，
DE＝AH＝2AM，
∵∠BAH+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠ADE＝90°，
∴∠AND＝90°，
∴AM⊥DE；
故答案為：DE＝2AM，BF⊥AM；
（2）①證明：如圖2，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使MH＝MA，連接BH，

∵點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，
∴BM＝FM，
又∵∠AMF＝∠HMB，AM＝MH，
∴△AFM≌△HBM（SAS），
∴AF＝BH＝AE，∠FAH＝∠H，
∵∠ABH+∠BAH+∠H＝180°，
∴∠ABH+∠FAB＝180°，
∵∠DAE+∠EAF+∠BAF+∠DAB＝360°，
∴∠DAE+∠BAF＝180°，
∴∠ABH＝∠DAE，
又∵AD＝AB，AE＝BH，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
②解：結(jié)論仍然成立，理由如下：
∵△DAE≌△ABH，
∴DE＝AH，∠BAH＝∠ADE，
∵AM＝MH，
∴DE＝AH＝2AM，
∵∠BAH+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠ADE＝90°，
∴∠AND＝90°，
∴AM⊥DE；
10．（2023?單縣二模）如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終∠MAN＝45°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線段BC、DC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論，并證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在CB、DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CN＝CD＝6，設(shè)BD與AM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，交AN于Q，直接寫出AQ、AP的長(zhǎng)．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如圖1，在MB的延長(zhǎng)線上，截取BE＝DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵M(jìn)E＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案為：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的結(jié)論不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如圖2，在DC上截取DF＝BM，連接AF，
則∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝＝＝6，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴AQ＝AN＝2；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
設(shè)BM＝x，則MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，
∴AP＝AM+PM＝3．


11．（2023?鄆城縣二模）在矩形ABCD中，AB＝12，P是邊AB上一點(diǎn)，把△PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：△AEB≌△DEC；
（2）如圖2，當(dāng)AD＝25，且AE＜DE時(shí)，求的值；
（3）如圖3，當(dāng)BE?EF＝108時(shí)，求BP的值．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（2）∵BE⊥CG，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
設(shè)AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
∴CE＝20，BE＝15，
由折疊得，BC＝CG＝25，
在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折疊得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
∴＝．
（3）如圖，連接FG，

∵BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
∵BP＝PG，
∴?BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE?EF＝AB?GF，
∵BE?EF＝108，AB＝12，
∴GF＝9，
∴BP＝GF＝9．
六．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
12．（2023?東明縣二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱，AD交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）連結(jié)CE，若cosD＝，AB＝6，求CE的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）CE＝4．
【解答】（1）證明：連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，連接OC，如圖所示：

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵O是△ABC的外心，
∴AF⊥BC，
∴∠ACB+∠FAC＝90°，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠D，
∵OA＝OC，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：如（1）圖，則由（1）可得：AF⊥BC，∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠D，
∴BF＝CF，
∵∠CED＝∠B，
∴∠CED＝∠D，
∴CD＝CE，
∵cosD＝，AB＝6，
∴BF＝AB?cosB＝AB?cosD＝2，
∴BC＝4，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CD＝BC＝4，
∴CE＝4．
七．圓的綜合題（共1小題）
13．（2023?菏澤二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，與AC的延長(zhǎng)線相交于E，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，G為AB的下半圓弧的中點(diǎn)，DG交AB于H，連接DB、GB．
（1）證明：EF是⊙O的切線；
（2）若圓的半徑r＝3，BH＝2，求GH的長(zhǎng)；
（3）求證：DF2＝AF?BF．

【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2），
（3）見(jiàn)解析．
【解答】（1）證明：連接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∵OD為半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：連接OG，
∵G是半圓弧中點(diǎn)，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝3，OH＝OB﹣BH＝3﹣2＝1．
∴GH＝＝＝．
（3）證明：由（1）知EF是⊙O的切線，
∴∠DAF＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，
∴△DAF∽△FDB，
∴，
即DF2＝AF?BF．
八．相似形綜合題（共2小題）
14．（2023?巨野縣二模）如圖，在矩形ABCD中，∠ADB＝30°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB，BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．

（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時(shí)，如圖1，則的值為 　?。?br /> （2）現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°＜α＜90°，且使AP：PC＝1：2時(shí)，如圖3的值是否變化？證明你的結(jié)論．
【答案】（1）；
（2）＝；
（3）的值發(fā)生變化．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA＝PC，
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE＝∠PCF，
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE＝∠CPF．
在△APE與△PCF中，

∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE＝CF．
在Rt△PCF中，＝tan30°＝，
∴＝；
故答案為：；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN，

∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝，
由（1）知，＝，
∴＝，

（3）答：變化，
證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB，

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM＝∠PCN，∠PAM＝∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴＝＝，得CN＝2PM，
在Rt△PCN中，＝tan30°＝，
∴＝，
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵∠PME＝∠PNF＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴＝＝，
∴的值發(fā)生變化．
15．（2023?定陶區(qū)二模）如圖，△ABC和△DBE的頂點(diǎn)B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AB，BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：＝　?。恢本€AD與直線EC的位置關(guān)系是 　垂直?。?br /> （2）如圖2，將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，連接AD、EC，其所在直線相交于點(diǎn)F，
①（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)DF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求線段EC的長(zhǎng)度．

【答案】（1），垂直；
（2）結(jié)論成立．理由見(jiàn)解析部分；
（3）+2或2﹣．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，
∴AB＝BC＝3，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，
∴BD＝BE＝2，
∴EC＝1，AD＝，
∴＝，此時(shí)AD⊥EC，
故答案為：，垂直；

（2）結(jié)論成立．
理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BC，BD＝BE，
∴＝，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝＝，∠ADB＝∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠CDB+∠BEC＝180°，
∴∠DBE+∠DCE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴AD⊥EC；

（3）如圖2中，∵∠DBE＝90°，BE＝2，∠BDE＝30°，
∴DE＝2BE＝4，
∵AD⊥CE，
∴∠DFE＝90°，
∴DF≤DE＝4，
∴當(dāng)DF與DE重合時(shí)，DF的值最大，
如圖3中，設(shè)EC＝x，則AD＝x，

∵∠ABC＝90°，BC＝3，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
∵AC2＝AE2+EC2，
∴62＝（4+）2+x2，
解得x＝2﹣（負(fù)根已經(jīng)舍去），
∴EC＝2﹣
如圖4中，設(shè)EC＝y(tǒng)，則AD＝y(tǒng)，則62＝y(tǒng)2+（y﹣4）2，
解得y＝+2，
∴EC＝+2．

綜上所述，EC的值為+2或2﹣．
九．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）
16．（2023?東明縣二模）如圖，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距離AB為45米，且乙建筑物的高度是甲建筑物的高度的6倍，從E（A、E、B在同一水平線上）點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角為30°，測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°．
（1）求乙建筑物的高度；
（2）求這兩座建筑物頂端C、D間的距離（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

【答案】（1）60m；
（2）20m．
【解答】解：（1）由題意知：BC＝6AD，AE+BE＝AB＝90m，
在Rt△ADE中，tan30°＝，sin30°＝，
∴AE＝＝AD，DE＝2AD；
在Rt△BCE中，tan60°＝，sin60°＝，
∴BE＝＝2AD，CE＝＝4AD；
∵AE+BE＝AB＝90m，
∴AD+2AD＝90，
∴AD＝10（m），
∴BC＝6AD＝6×10＝60（m）．
（2）利用（1）所求，可知DE＝20m，CE＝120m，
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，
∴∠DEC＝90°，
∴CD＝＝＝20（m），
答：這兩座建筑物頂端C、D間的距離為20m．