?新高考數(shù)學(xué)考前沖刺卷
數(shù) 學(xué)（三）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．已知命題，，則是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
5．若存在復(fù)數(shù)同時(shí)滿足，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，在等邊中，，向量在向量上的投影向量為（ ）

A． B． C． D．
7．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．設(shè)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，，，若滿足條件的有兩個(gè)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．為響應(yīng)政府部門疫情防控號(hào)召．某紅十字會(huì)安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴，，三地參加防控工作，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若恰有一地?zé)o人去，則共有42種不同的安排方法
B．共有64種不同的安排方法
C．若甲乙兩人不能去地，且每地均有人去，則共有44種不同的安排方法
D．若該紅十字會(huì)又計(jì)劃為這三地捐贈(zèng)20輛救護(hù)車（救護(hù)車相同），且每地至少安排一輛，則共有171種不同的安排方法
12．已知偶函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．現(xiàn)有5個(gè)參加演講比賽的名額，要分配給甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)，要求每班至少要分配一個(gè)名額，則甲班恰好分配到兩個(gè)名額的概率為_(kāi)_______．
14．設(shè)的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________．
15．已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則線段的中點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)________．
16．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在邊，上，且，將沿折起，則四棱錐的體積的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．












18．（12分）已知銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別，角．
（1）若是的平分線，交于，且，求的最小值；
（2）若的外接圓的圓心是，半徑是1，求的取值范圍．












19．（12分）已知平面四邊形中，，，現(xiàn)將沿折起，使得點(diǎn)移至點(diǎn)的位置(如圖)，且．
（1）求證：；
（2）若滿足，，且二面角的余弦值為，求．
















20．（12分）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤(pán)面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每一列?每一個(gè)粗線宮()內(nèi)的數(shù)字均含1﹣9，不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛(ài)好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽．
（1）賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度(秒)與訓(xùn)練天數(shù)(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：
(天)
1
2
3
4
5
6
7
(秒)
990
990
450
320
300
240
210
現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒？
參考數(shù)據(jù)(其中)






參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
（2）小明和小紅在數(shù)獨(dú)APP上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開(kāi)始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若不存在平局，請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率．

















21．（12分）已知函數(shù)．
（1）若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若，證明：．




















22．（12分）已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與軸正半軸交于點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，且軸，過(guò)點(diǎn)的另一直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．








新高考數(shù)學(xué)考前沖刺卷
數(shù) 學(xué)（三）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，
因此，，故選A．
2．已知命題，，則是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由特稱命題的否定可知為：，，故選C．
3．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以
，
故選A．
4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①當(dāng)，即時(shí)，∴，即，
∴，∴，
又∵，∴無(wú)解；
②當(dāng)，即時(shí)，∴，
∴，∴，∴，
又∵，∴，故選B．
5．若存在復(fù)數(shù)同時(shí)滿足，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可設(shè)，則有，
又因?yàn)?，即，所以?br /> 可設(shè)，，（為任意角），
則
，
當(dāng)時(shí)取到最大值；當(dāng)時(shí)取到最小值，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C．
6．如圖，在等邊中，，向量在向量上的投影向量為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知D點(diǎn)是BC的四等分點(diǎn)，設(shè)三角形邊長(zhǎng)為a，
則，
，
，
則向量在向量上的投影向量為：
，
故選D．
7．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可將此題看成關(guān)于和的線性規(guī)劃問(wèn)題，
根據(jù)題意可知化簡(jiǎn)為，
求的最大值，將其轉(zhuǎn)化為，求的最大值問(wèn)題，
作圖，由，得，平移直線，
由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值，
∴，即的最大值為，故選D．

8．若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，，
則表示曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)之間距離的平方，
，令，得，
又，在處的切線方程為，
曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)之間距離的最小值即為直線與之間的距離，
，故選D．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．設(shè)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，令，在上單調(diào)遞增，
，即，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，D錯(cuò)誤，
故選BD．
10．已知的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，，，若滿足條件的有兩個(gè)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】在中，由余弦定理，得，
即，
依題意，關(guān)于c的一元二次方程有兩個(gè)不等的正根，
所以，
并且，
而，則，取或，選項(xiàng)B，C符合條件，
故選BC．
11．為響應(yīng)政府部門疫情防控號(hào)召．某紅十字會(huì)安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴，，三地參加防控工作，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若恰有一地?zé)o人去，則共有42種不同的安排方法
B．共有64種不同的安排方法
C．若甲乙兩人不能去地，且每地均有人去，則共有44種不同的安排方法
D．若該紅十字會(huì)又計(jì)劃為這三地捐贈(zèng)20輛救護(hù)車（救護(hù)車相同），且每地至少安排一輛，則共有171種不同的安排方法
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，若恰有一地?zé)o人去，需要先在3地中選出2個(gè)地方，將4人安排到這兩個(gè)地方，有種選取方法，A正確；
對(duì)于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴，，三地參加防控工作，每人有3種安排方法，則有種安排方法，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)題意，需要將4人分為3組，若甲乙在同一組，有1種分組方法，
則甲乙所在的組不能去地，有2種情況，剩余2組安排到其余2地，有種情況，此時(shí)有種安排方法；
若甲乙不在同一組，有種分組方法，若甲乙兩人不能去地，只能安排沒(méi)有甲乙的1組去地，甲乙所在的兩組安排到、兩地，有種情況，此時(shí)有種安排方法，
則一共有種安排方法，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，只需要將20輛救護(hù)車排成一排，在19個(gè)空位中插入擋板，就可以將20輛救護(hù)車分為3組，依次對(duì)應(yīng)，，三地即可，有種安排方法，
故選AD．
12．已知偶函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)對(duì)于任意的滿足，
所以構(gòu)造函數(shù)，則，
∴為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，
，，
由函數(shù)單調(diào)性可知，即，
對(duì)于AB，，故AB錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，即，故D正確，
故選ABC．

第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．現(xiàn)有5個(gè)參加演講比賽的名額，要分配給甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)，要求每班至少要分配一個(gè)名額，則甲班恰好分配到兩個(gè)名額的概率為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】3個(gè)班分5個(gè)名額，每班至少一個(gè)有2種情況：
一個(gè)班分3個(gè)，其余各分1個(gè)；2個(gè)班各分2個(gè)，另一個(gè)班分一個(gè)，
則分配的總數(shù)為，
甲班恰好分配到兩個(gè)名額，則余下的3個(gè)名額要分配給乙、丙兩班，有2種分配方法，
所以甲班恰好分配到兩個(gè)名額的概率為，故答案為．
14．設(shè)的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________．
【答案】800
【解析】由題意，，
因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
所以的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)是，
故答案為800．
15．已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則線段的中點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)________．
【答案】
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)、，則，
，
設(shè)，則，即，
所以，即，代入，得，
化簡(jiǎn)得，點(diǎn)也滿足此方程，
所以線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為，
軌跡為圓心為，半徑為的圓，其長(zhǎng)度為，
故答案為．
16．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在邊，上，且，將沿折起，則四棱錐的體積的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．
【答案】，
【解析】（1）設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，，則，
，其中．
記，，
則，
令，得，此時(shí)，
所以四棱錐的體積的最大值為．
（2）設(shè)，分別為，等腰梯形的外接圓的圓心，
則為的三等分點(diǎn)（靠），在直線上．
設(shè)過(guò)，分別與，等腰梯形垂直的直線交于點(diǎn)（四棱錐的外接球的球心），連接，，，，
由（1）知，等腰梯形中，，，，
，
則在線段的延長(zhǎng)線上，，
設(shè)，由，得，
即，解得，
則．
所以四棱錐的外接球的表面積．
故答案為，．

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，滿足，
綜上所述，．
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?，所以，，?br /> 則，，
故，
，


，
故．
18．（12分）已知銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別，角．
（1）若是的平分線，交于，且，求的最小值；
（2）若的外接圓的圓心是，半徑是1，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由是的平分線，得，
又，
即，化簡(jiǎn)得，

，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，?。?br /> （2），，



，
銳角，，
，．
19．（12分）已知平面四邊形中，，，現(xiàn)將沿折起，使得點(diǎn)移至點(diǎn)的位置(如圖)，且．

（1）求證：；
（2）若滿足，，且二面角的余弦值為，求．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【解析】（1）證明：由題意知，，即，
∵，，，
∴，∴，即，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，∴．
（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，∴，
∵平面軸，∴平面的一個(gè)法向量為，
∵二面角的余弦值為，
∴，
化簡(jiǎn)得，解得或，
∵，∴．

20．（12分）數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤(pán)面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每一列?每一個(gè)粗線宮()內(nèi)的數(shù)字均含1﹣9，不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛(ài)好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽．
（1）賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度(秒)與訓(xùn)練天數(shù)(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：
(天)
1
2
3
4
5
6
7
(秒)
990
990
450
320
300
240
210
現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒？
參考數(shù)據(jù)(其中)






參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
（2）小明和小紅在數(shù)獨(dú)APP上玩“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)開(kāi)始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若不存在平局，請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率．
【答案】（1）回歸方程為，經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為140秒；（2）．
【解析】（1）由題意，，
令，設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，
則，則，
∴，
又，∴關(guān)于的回歸方程為，
故時(shí)，，
∴經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為140秒．
（2）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局小明最終獲得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，
由題意知，最多再進(jìn)行4局就有勝負(fù)．
當(dāng)時(shí)，小明勝，∴；
當(dāng)時(shí)，小明勝，∴；
當(dāng)時(shí)，小明勝，∴，
∴小明最終贏得比賽的概率為．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】（1），
若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則在上恒成立，
即在上恒成立．
令函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
，，
即的取值范圍為．
（2）當(dāng)時(shí)，欲證，即證明．
令，則，
設(shè)，則為增函數(shù)，
又，，
存在，使得．
，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，
，
，則，；
，
，，，則．
22．（12分）已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與軸正半軸交于點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，且軸，過(guò)點(diǎn)的另一直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）根據(jù)題意可得，解得，，，
所以橢圓的方程為．
（2）由（1）知，，
因?yàn)檩S，所以，
因?yàn)樵谳S的正半軸，所以在軸上方，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，
所以，即，
因?yàn)?，即，解得?br /> 所以，所以，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，
聯(lián)立，，
所以①，②，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，所以，
所以，所以，
即③，
由①②③，解得，
所以直線的方程為，；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)，不合題意，
綜上可得，直線的方程為，．





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