?新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
一、 單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．（2020·貴州安順市·高三其他模擬（理））復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2020·安徽高三月考（理））設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·安徽高三月考（理））若直線過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2020·湖北高二期中）已知橢圓的焦距為2，右頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)與軸不重合的直線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·湖南高三月考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·甘肅蘭州市·西北師大附中高三期中）函數(shù)(其中，，)的圖象如圖所示.為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點(diǎn)（ ）

A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
7．（2020·成都七中萬(wàn)達(dá)學(xué)校高三期中（理））2019年末，武漢岀現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒(méi)有特異治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高三月考）設(shè)，若數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，且滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列
C．恒成立 D．
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9．（2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）已知，，若圓上存在點(diǎn)滿足，實(shí)數(shù)可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
10．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）2020年初以來(lái)，技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了近5個(gè)月來(lái)手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：
月份
2020年2月
2020年3月
2020年4月
2020年5月
2020年6月
月份編號(hào)
1
2
3
4
5
銷量部
37
104

196
216
若與線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．與正相關(guān)
C．與的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)
D．8月份該手機(jī)商城的手機(jī)銷量約為36.5萬(wàn)部
11．（2020·福建省福州第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，在上的最大值為M，則下面給出的四個(gè)判斷中，正確的有（ ）
A．最小正周期為 B．M有最大值
C．M有最小值 D．圖象的對(duì)稱軸是直線：
12．（2020·煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院高二期末）已知函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（ ）
A．存在唯一極值點(diǎn)，且
B．存在實(shí)數(shù)，使得
C．方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根互為倒數(shù)
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
二、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．（2020·合肥市第六中學(xué)高三期中（理））函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.
14．（2020·洛陽(yáng)理工學(xué)院附屬中學(xué)高三月考（理））已知，則的值是______．
15．（2020·河北衡水市·衡水中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
16．（2020·湖北武漢市·高二期中）已知圓：，：，過(guò)原點(diǎn)作一條射線與圓相交于點(diǎn)，在該射線上取點(diǎn)，使得，圓圓周上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，則滿足該條件的點(diǎn)所形成的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)__________；的最小值為_(kāi)________.
四、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．（2020·上海虹口區(qū)·高三一模）如圖所示，?兩處各有一個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向16處，的南面為居民生活區(qū)，為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個(gè)發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電，要求發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離(單位：)與它們每天集中的生活垃圾量(單位：噸)成反比，現(xiàn)估測(cè)得?兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別為約為30噸和50噸.

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）發(fā)電廠盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)，要求的面積最大，問(wèn)此時(shí)發(fā)電廠與兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離各為多少？
18．（2020·山西高三期中（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為.求滿足最小正整數(shù)n的值.
19．（2020·湖南高三月考）某單位招聘員工時(shí)，要求參加筆試的考生從道類題和道類題共道題中任選道作答.
（1）求考生甲至少抽到道類題的概率；
（2）若答對(duì)類題每道計(jì)分，答對(duì)類題每道計(jì)分，若不答或答錯(cuò)，則該題計(jì)分.考生乙抽取的是道類題，道類題，且他答對(duì)每道類題的概率為，答對(duì)每道類題的概率是，各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，用表示考生乙的得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20．（2020·河南高二期中（理））如圖，在四棱錐中，底面，底面為菱形，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.
21．（2020·四川成都七中高二期中）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn).
①求（用實(shí)數(shù)表示）.
②為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，求的面積.
22．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考）已知.其中常數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值；
（2）若對(duì)任意均有兩個(gè)極值點(diǎn)，
（?。┣髮?shí)數(shù)b的取值范圍；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.

新高考數(shù)學(xué)考前模擬卷
注意事項(xiàng)：
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
三、 單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1．（2020·貴州安順市·高三其他模擬（理））復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【詳解】
，
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.
故選：A
2．（2020·安徽高三月考（理））設(shè)集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：由，
解得：，
，
由，
解得：，
，
.
故選：C.
3．（2020·安徽高三月考（理））若直線過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【詳解】
由題意得，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，
∴，即，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故選：D.
4．（2020·湖北高二期中）已知橢圓的焦距為2，右頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)與軸不重合的直線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線經(jīng)過(guò)的右焦點(diǎn)，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由題知：，
設(shè)點(diǎn)，則，
又右焦點(diǎn)，且有直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，
，所以，
解得：，所以：，所以橢圓方程為：.
故選：C
5．（2020·湖南高三月考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由題知，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，所以即對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，從而可知.
故選:D
6．（2020·甘肅蘭州市·西北師大附中高三期中）函數(shù)(其中，，)的圖象如圖所示.為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點(diǎn)（ ）

A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】B
【詳解】
由圖知：，
，所以，，
當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，
所以，又因?yàn)?，所以?br /> 所以，，
所以只需要把圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得
，
故選：B
7．（2020·成都七中萬(wàn)達(dá)學(xué)校高三期中（理））2019年末，武漢岀現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒(méi)有特異治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：設(shè)事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”，
事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”.
∴，.
即.
設(shè)，則
，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
即.
故選：A.
8．（2020·嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高三月考）設(shè)，若數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，且滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列
C．恒成立 D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，，解得。
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得?br /> 因?yàn)闊o(wú)窮數(shù)列，對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，
所以。
對(duì)選項(xiàng)A，若為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)，
則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B，若為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，設(shè)，
則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，設(shè)，取，則，，顯然不成立；故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由，顯然恒成立，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，故恒成立，故D正確.
故選：D
四、 、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
9．（2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）已知，，若圓上存在點(diǎn)滿足，實(shí)數(shù)可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【詳解】
以為直徑的圓方程為，
，則，∴在以為直徑的圓上．
由題意以為直徑的圓與已知圓有公共點(diǎn)，
∴，解得．ABC均滿足，D不滿足．
故選：ABC．
10．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）2020年初以來(lái)，技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了近5個(gè)月來(lái)手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：
月份
2020年2月
2020年3月
2020年4月
2020年5月
2020年6月
月份編號(hào)
1
2
3
4
5
銷量部
37
104

196
216
若與線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．與正相關(guān)
C．與的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)
D．8月份該手機(jī)商城的手機(jī)銷量約為36.5萬(wàn)部
【答案】AB
【詳解】
由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得，所以，
于是得，解得，故A正確；
由回歸方程中的的系數(shù)為正可知，與正相關(guān)，且其相關(guān)系數(shù)，故B正確，C錯(cuò)誤；
8月份時(shí)，，（萬(wàn)部），故D錯(cuò)誤．
故選：AB．
11．（2020·福建省福州第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，在上的最大值為M，則下面給出的四個(gè)判斷中，正確的有（ ）
A．最小正周期為 B．M有最大值
C．M有最小值 D．圖象的對(duì)稱軸是直線：
【答案】CD
【詳解】
函數(shù)，
對(duì)于A：，，
當(dāng)，，當(dāng)，與不一定相同，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B和C：在上遞增，則，
當(dāng)，即，則在上的最大值為，在上遞減，則；
當(dāng)，即，則在上的最大值為，在上遞增，則；
當(dāng)，即，
當(dāng)，即，則在上的最大值為；
當(dāng)，即，則在上的最大值為，在上遞增，則；
當(dāng)，即，則在上的最大值為，在上遞減，則；
綜上：M有最小值為，無(wú)最大值，故C正確；
對(duì)于D：，，
則，圖象的對(duì)稱軸是直線，故D正確.
故選：CD
12．（2020·煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院高二期末）已知函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（ ）
A．存在唯一極值點(diǎn)，且
B．存在實(shí)數(shù)，使得
C．方程有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根互為倒數(shù)
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
【答案】ACD
【詳解】
對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)可得：
，顯然為減函數(shù)，
，
故存在，使得，
并且，，為增函數(shù)，
， ，為減函數(shù)，
故為極大值點(diǎn)，所以A正確；
所以，
可得：，
因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤，
若是的一解，即，
則，
故和都是的解，故C正確，
由，可得，
令，
，
令 ，
因?yàn)?，所以?br /> 故為減函數(shù)，
而，
所以當(dāng)，，即，為增函數(shù)
，，即，為減函數(shù)，
所以，
故當(dāng)，有兩個(gè)解，故D正確.
故選：ACD.
五、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．（2020·合肥市第六中學(xué)高三期中（理））函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.
【答案】
【詳解】
由題意，函數(shù)，可得，
則，解得，
所以，可得，切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又由，可得，即切線的斜率為，
所以切線的方程為，即.
故答案為：.
14．（2020·洛陽(yáng)理工學(xué)院附屬中學(xué)高三月考（理））已知，則的值是______．
【答案】
【詳解】
由，得
由兩邊平方可得：
解得
故答案為：
15．（2020·河北衡水市·衡水中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】
若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，需和有四個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)和的圖象如下圖所示，

當(dāng)時(shí)，由圖象可得，顯然不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)，設(shè)與相切于點(diǎn)，
則，，由，得，所以，解得，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，若與有兩個(gè)交點(diǎn)，需方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
所以只需，解得或，所以；
綜上時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).
故答案為：
16．（2020·湖北武漢市·高二期中）已知圓：，：，過(guò)原點(diǎn)作一條射線與圓相交于點(diǎn)，在該射線上取點(diǎn)，使得，圓圓周上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，則滿足該條件的點(diǎn)所形成的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)__________；的最小值為_(kāi)________.
【答案】. .
【詳解】
第一空：
①當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，設(shè)，由題意有：，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故周長(zhǎng)為；
②當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，設(shè)，由題意有：，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故周長(zhǎng)為；
故所求軌跡的長(zhǎng)度為.
故答案為：
第二空：
設(shè)，則，故，
所以即，
因?yàn)樵谏希剩?br /> 整理得到：，故的軌跡為直線且方程為.
①點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓時(shí)：
到直線的距離為，
故.
②點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓時(shí)：同①可得，.
綜上所述：的最小值為或.
因?yàn)椋实淖钚≈禐?
故答案為： ； .
四、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．（2020·上海虹口區(qū)·高三一模）如圖所示，?兩處各有一個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向16處，的南面為居民生活區(qū)，為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個(gè)發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電，要求發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離(單位：)與它們每天集中的生活垃圾量(單位：噸)成反比，現(xiàn)估測(cè)得?兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別為約為30噸和50噸.

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）發(fā)電廠盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)，要求的面積最大，問(wèn)此時(shí)發(fā)電廠與兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離各為多少？
【答案】（1）；（2），.
【詳解】
（1）根據(jù)條件可知：，所以，
所以，所以；
（2）以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系如圖所示：
設(shè)，，因?yàn)椋裕?br /> 所以，所以，
所以，所以，
所以的軌跡是圓心為，半徑為的位于軸上方的圓，
所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，此時(shí)的坐標(biāo)為，
所以，.

18．（2020·山西高三期中（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為.求滿足最小正整數(shù)n的值.
【答案】（1）；（2）3.
【詳解】
（1）∵，∴，
∴或，∵，∴，
∴；
（2）∵，
∴，
，
①－②得，
∴，
由得，
由函數(shù)圖像得最小正整數(shù)n的值為3.
19．（2020·湖南高三月考）某單位招聘員工時(shí)，要求參加筆試的考生從道類題和道類題共道題中任選道作答.
（1）求考生甲至少抽到道類題的概率；
（2）若答對(duì)類題每道計(jì)分，答對(duì)類題每道計(jì)分，若不答或答錯(cuò)，則該題計(jì)分.考生乙抽取的是道類題，道類題，且他答對(duì)每道類題的概率為，答對(duì)每道類題的概率是，各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，用表示考生乙的得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；期望為.
【詳解】
解：（1）設(shè)“考生甲至少抽到道類題”為事件，則
（2）的所有可能取值為，，，，，，
所以，
，
，
，
，
，
所以的分布列為














所以.
20．（2020·河南高二期中（理））如圖，在四棱錐中，底面，底面為菱形，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【詳解】
（1）證明：連
∵底面為菱形，∴
∵，，∴
∵平面，平面，∴
∵，，，平面，
∴平面
（2）由（1）知，又由，
可得，可得、、兩兩垂直
令，可得，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
，，
由（1）可知為平面的法向量
設(shè)平面的法向量為，
有，取，，
可得
由，，，
有
故平面與平面所成二面角的正弦值為.
21．（2020·四川成都七中高二期中）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn).
①求（用實(shí)數(shù)表示）.
②為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，求的面積.
【答案】（1）；（2）①； ②.
【詳解】
（1）∵過(guò)，∴，
又，聯(lián)立，解得，
∴的方程為：.
（2）①聯(lián)立與，得，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，，則，，所以

②∵，∴，
則，直線為：.
聯(lián)立，得，
∴，，代入，
∴，∴，
∴

∴
又∵

∴，得，
∴，∴.
此時(shí)，
∴成立.
由，
∴的面積.
22．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考）已知.其中常數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值；
（2）若對(duì)任意均有兩個(gè)極值點(diǎn)，
（?。┣髮?shí)數(shù)b的取值范圍；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.
【詳解】
（1）由得，，
求導(dǎo)，，
，，，即
在上單增，且，
即，，在上單減，
.
（2）（?。┣髮?dǎo)，
因?yàn)閷?duì)任意均有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)根，
求二階導(dǎo)，令，得
當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增，
由有兩個(gè)根，知，
即對(duì)任意都成立，設(shè)，求導(dǎo)，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減，
，
又，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是：.
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，
令，得
當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增，
又是的兩根，且，
，
設(shè)，
即，
則
在單增，，即
又，，
又在上單增，
，即，
又在上單減，

令，
則，
在單增，且，
，故在單增
又，，即




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