2023-2024學年河南省開封市龍亭區(qū)水稻中學九年級（上）月考數學試卷（9月份）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.對于關于的一元二次方程，它的一次項系數和常數項分別是(    )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2.如果關于的方程是一元二次方程，那么的值為(    )A.  B.  C.  D. 都不是3.已知方程有一個根是，則下列代數式的值恒為的是(    )A.  B.  C.  D. 4.已知方程配方后是，那么方程配方后是(    )A.  B.  C.  D. 5.關于的方程的根是，，均為常數，，則關于的方程的根是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，6.一元二次方程的根的情況是(    )A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根 D. 無法確定7.已知實數，分別滿足，，且，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 8.關于的一元二次方程的兩個實數根的平方和為，則的值為(    )A.  B.
C. 或 D. 或9.若方程是關于的一元二次方程，則必有(    )A.  B. 一根為 C. 一根為 D. 以上都不對10.某廣場有一塊正方形的空地正中間修建一個圓形噴泉，在四個角修建四個四分之一圓形的水池，其余部分種植花草．若噴泉和水池的半徑都相同，噴泉邊緣到空地邊界的距離為，種植花草的區(qū)域的面積為，設水池半徑為，可列出方程(    )
 A.  B.
C.  D. 11.已知為實數，且滿足，那么的值為(    )A.  B. 或 C.  D. 12.某商店銷售連衣裙，每條盈利元，每天可以銷售條商店決定降價銷售，經調查，每降價元，商店每天可多銷售條連衣裙若想要商店每天盈利元，每條連衣裙應降價(    )A. 元 B. 元 C. 元 D. 元或元第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）13.若是方程的根，則代數式的值是______．14.某產品每件的生產成本為元，原定銷售價元，經市場預測，從現在開始的第一季度銷售價格將下降，第二季度又將回升若要使半年以后的銷售利潤不變，設每個季度平均降低成本的百分率為，根據題意可列方程是______．15.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是______．16.對于實數，，定義運算“”如下：，例如，，若，則的值為______ ．17.已知，，分別是等腰三角形非等邊三角形三邊的長，且、是關于的一元二次方程的兩個根，則的值等于______．18.你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數學家還研究過其幾何解法呢以方程即為例加以說明．數學家趙爽公元世紀在其所著的勾股圓方圖注中記載的方法是：構造圖如圖左圖中大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據此易得那么在如圖右邊三個構圖矩形的頂點均落在邊長為的小正方形網格格點上中，能夠說明方程的正確構圖是______只填序號

 三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.本小題分
解下列方程：
；
．20.本小題分
已知關于的一元二次方程總有實數根．
求的取值范圍；
若該方程有兩個相等的實數根，求該方程的根．21.本小題分
已知，，且，求的值．22.本小題分
已知，是一元二次方程的兩個實數根．
是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請你說明理由；
求使為負整數的實數的整數值．23.本小題分
在長方形中，，，點從點開始沿邊向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向終點以的速度移動．如果、分別從、同時出發(fā)，當點運動到點時，兩點停止運動．設運動時間為秒．
填空：______，______用含的代數式表示；
當為何值時，的長度等于？
是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．
24.本小題分
閱讀下面例題的解答過程，體會并其方法，并借鑒例題的解法解方程．
例：解方程．
解：當即時，．
原化為方程，即
解得
，故舍去，
是原方程的解．
當即時，．
原化為方程，即
解得
，故舍去，
是原方程的解．
綜上所述，原方程的解為，
解方程．25.本小題分
某批發(fā)城在冬天到來之際進了一批保暖衣，男生的保暖衣每件價格元，女生的保暖衣每件價格元，第一批共購買件．
第一批購買的保暖衣的總費用不超過元，求女生保暖衣最少購買多少件？
第二批購買保暖衣，購買男、女生保暖衣的件數比為：，價格保持第一批的價格不變；第三批購買男生保暖衣的價格在第一批購買的價格上每件減少了元，女生保暖衣的價格比第一批購買的價格上每件增加了元，男生保暖衣的數量比第二批增加了，女生保暖衣的數量比第二批減少了，第二批與第三批購買保暖衣的總費用相同，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：一元二次方程的一次項系數和常數項分別是和．
故選：．
根據一元二次方程的一般形式：是常數且中，叫二次項，叫一次項，是常數項．其中，，分別叫二次項系數，一次項系數，常數項，直接進行判斷即可．
本題主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在說明二次項系數，一次項系數，常數項時，一定要帶上前面的符號．2.【答案】 【解析】解：由題意得：，且，
解得：，
故選：．
利用一元二次方程定義可得，且，再解出的值即可．
此題主要考查了一元二次方程定義，關鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的整式方程叫一元二次方程．3.【答案】 【解析】解：設該方程的另外一個解為，
，
，
將代入可得：，
，
故選：．
由根與系數的關系即可求出答案．
本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的根與系數關系，本題屬于基礎題型．4.【答案】 【解析】解：方程配方后是，
，
，
解得：，
即，
，
，
，即，
即，
故選：．
根據完全平方公式展開，求出、的值，再代入即可．
本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．5.【答案】 【解析】解：關于的方程的根是，，
關于的方程，即，滿足或，
解得，，
故選：．
將方程變形為，對照已知方程及其根得出或，解之可得答案．
本題主要考查解一元二次方程直接開平方法，解題的關鍵是將待求方程變形，并比對已知方程得出或．6.【答案】 【解析】解：一元二次方程中，
，，，
，
方程沒有實數根．
故選：．
先計算判別式的值，然后根據判別式的意義求解．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．7.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握根與系數的關系是解本題的關鍵．
根據已知兩等式得到與為方程的兩根，利用根與系數的關系求出與的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用完全平方公式變形，將與的值代入計算即可求出值．
【解答】解：根據題意得：與為方程的兩根，
，，
則原式．
故選A．8.【答案】 【解析】【分析】
設，是的兩個實數根，由根與系數的關系得，，再由代入即可；
本題考查一元二次方程根與系數的關系，靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．
【解答】
解：設，是的兩個實數根，
，
，
，，
，
或；
；
故選：．9.【答案】 【解析】解：、當時，，，則式子不是方程，故錯誤；
B、把代入方程的左邊：方程成立，
所以是方程的解；
C、把代入方程的左邊：不一定成立，故選項錯誤
故選B．
一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．對于前三個選項分別檢驗即可．
本題主要考查了方程的解的定義，以及一元二次方程一般形式中注意．10.【答案】 【解析】解：設水池半徑為，則正方形的邊長為，
根據題意得：，
故選：．
設水池半徑為，從而表示出正方形的邊長，根據面積公式列出方程即可．
考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關鍵是找到題目中的等量關系，難度不大．11.【答案】 【解析】解：由，
則，可化為：，
分解因式，得，，
解得，，，
當時，，方程無實數根，
當時，．
故選：．
首先利用換元思想，把看作一個整體換為，化為含一元二次方程，解這個方程即可．
此題考查了用換元法解一元二次方程，考察了學生的整體思想．解題的關鍵是找到哪個是換元的整體．12.【答案】 【解析】解：設每條連衣裙降價元，則每天售出條，
依題意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答：每條連衣裙應降價元或元．
故選：．
設每條連衣裙降價元，則每天售出條，根據總利潤單件利潤銷售數量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．13.【答案】 【解析】解：把代入，得
，
解得，
所以．
故答案是：．
把代入已知方程，并求得，然后將其整體代入所求的代數式進行求值即可．
本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．14.【答案】 【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
每個季度平均降低成本的百分率為，根據利潤售價成本價，結合半年以后的銷售利潤為元，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．
解：依題意，得：．
故答案為：．15.【答案】且 【解析】【分析】
本題考查根的判別式，解題的關鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎題型．
根據根的判別式即可求出答案
【解答】
解：由題意可知：，
，
，
且，
故答案為：且．16.【答案】或 【解析】解：由題意可得，
整理得：，
解得：或，
故答案為：或．
根據新運算列方程并解方程即可．
本題考查解一元二次方程，結合已知條件列得正確的方程是解題的關鍵．17.【答案】或 【解析】【分析】
本題考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，也考查了三角形三邊的關系和根的判別式．討論：當時，利用判別式的意義得到，則；當時，根據根與系數的關系得，，解得，；當時，同理可得，，可得答案．
【解答】
解：當時，，
解得，
此時方程為，
解得，
，
滿足條件；
當時，，，
解得，，
當時，同理可得，，
綜上所述，的值為或．18.【答案】 【解析】解：即，
構造如圖中大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，
據此易得．
故答案為：．
仿照案例，構造面積是的大正方形，由它的面積為，可求出，此題得解．
本題考查了一元二次方程的應用，仿照案例，構造出合適的大正方形是解題的關鍵．19.【答案】解：，
，
即．
或，
所以，；
方程整理為，
，，，
，
，
，． 【解析】把方程看作關于的一元二次方程，利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可；
先把方程整理為一般式，再計算出根的判別式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．20.【答案】解：一元二次方程總有實數根，
，
解得，
的取值范圍是；
方程有兩個相等的實數根，
，
，
代入方程得，，
解得． 【解析】本題考查根的判別式，一元二次方程的解法，解題的關鍵是記?。寒?/span>時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當時，方程有兩個相等的兩個實數根；當時，方程無實數根．
根據一元二次方程的根的判別式的意義得到，解不等式可求出的取值范圍；
根據求出，代入方程再解方程可得出答案．21.【答案】解：由及，可知，，
又，
．
，
將方程的兩邊都除以得：，
與是方程的兩個不相等的實數根，
則，
． 【解析】首先把可變形為，然后結合根據一元二次方程根與系數的關系可以得到與是方程的兩個不相等的實數根，那么利用根與系數的關系即可求出所求代數式的值．
首先把可變形為是解題的關鍵，然后利用根與系數的關系就可以求出所求代數式的值．22.【答案】解：，是一元二次方程的兩個實數根，
由根與系數的關系可知，，，
一元二次方程有兩個實數根，
，且，
解得，且，
存在，理由如下：
，
，
即
解得；
存在實數，使成立，的值是；
，
即，
當為負整數時，，且是的約數，
，，，或，
，，或，
使為負整數的實數的整數值有，，，或． 【解析】本題考查根與系數的關系、以及根的判別式．
根據根與系數的關系求得，，根據一元二次方程的根的判別式求得的取值范圍，
將已知等式變形為，即，通過解方程即可求得的值；
將代數式化簡得到，根據限制性條件“為負整數”求得的取值范圍，即，且是的約數，據此在取值范圍內取的整數值即可．23.【答案】解：；；
由題意得：，
解得：，；
當秒或秒時，的長度等于； 
存在秒，能夠使得五邊形的面積等于理由如下：
長方形的面積是：，
使得五邊形的面積等于，則的面積為，
，
解得：不合題意舍去，．
即當秒時，使得五邊形的面積等于． 【解析】【分析】
此題主要考查了一元二次方程的應用，以及勾股定理的應用，關鍵是表示出、的長度．根據、兩點的運動速度可得、的長度；
根據勾股定理可得，代入相應數據解方程即可；
根據題意可得的面積為長方形的面積減去五邊形的面積，再根據三角形的面積公式代入相應線段的長即可得到方程，再解方程即可．
【解答】
解：從點開始沿邊向終點以的速度移動，
，
，
，
點從點開始沿邊向終點以的速度移動，
；
見答案；
見答案．24.【答案】解：當即時，．
原化為方程，即
解得，
，故舍去，
是原方程的解．
當即時，．
原化為方程，即
解得，
，故舍去，
是原方程的解．
綜上所述，原方程的解為，． 【解析】先要去絕對值，把方程化為一元二次方程，則分類討論：當即時，原化為方程，即；當即時，原化為方程，即，然后利用因式分解法解兩個一元二次方程，再根據的取值范圍確定原方程的解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了數學轉化思想．25.【答案】解：設女生保暖衣購買件．
解之得
答：女生保暖衣最少購件；

設購買男、女生保暖衣的件數分別為、．
根據題意，得
設，則
解得：舍去，
．
答：的值是． 【解析】設購買女生保暖衣件，則購買男生保暖衣件，根據總價單價數量結合第一批購買的校服的總費用不超過元，即可得出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論；
設第二批購進女生保暖衣件，則購進男生保暖衣件，根據第二、三批購買保暖衣的總費用相同，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：根據各數量間的關系，正確列出一元一次不等式；找準等量關系，正確列出一元二次方程．

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