高考數(shù)學二輪復習專題03 導數(shù)及其應用(含解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題03 導數(shù)及其應用
1．【2022年全國甲卷】當時，函數(shù)取得最大值，則(???????)
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】
因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
2．【2022年全國甲卷】已知，則(???????)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由結合三角函數(shù)的性質(zhì)可得；構造函數(shù)，利用導數(shù)可得，即可得解.
【詳解】
因為,因為當
所以,即,所以；
設，
，所以在單調(diào)遞增，
則,所以，
所以,所以，
故選：A
3．【2022年新高考1卷】設，則(???????)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
構造函數(shù)，導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】
設，因為，
當時，，當時，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
4．【2022年新高考1卷】(多選)已知函數(shù)，則(???????)
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用極值點的定義可判斷A，結合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】
由題，，令得或，
令得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，
故D錯誤.
故選：AC.
5．【2022年全國乙卷】已知和分別是函數(shù)且)的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，可得時，，時，，再分和兩種情況討論，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.
【詳解】
解：，
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當時，，當時，，
若時，當時，，則此時，與前面矛盾，
故不符合題意，
若時，則方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
∵,∴函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，
又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：

設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，
故切線方程為，
則有，解得，
則切線的斜率為，
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
所以，解得，
又，所以，
綜上所述，的范圍為.
【點睛】
本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.
6．【2022年新高考1卷】若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關于的方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】
∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
7．【2022年新高考2卷】曲線過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．
【答案】???? ????
【解析】
【分析】
分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
【詳解】
解：因為，
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；
8．【2022年全國甲卷】已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范圍．
【答案】(1)3
(2)
【解析】
【分析】
(1)先由上的切點求出切線方程，設出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)值求出即可；
(2)設出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構造函數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.
(1)
由題意知，，，，則在點處的切線方程為，
即，設該切線與切于點，，則，解得，則，解得；
(2)
，則在點處的切線方程為，整理得，
設該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，
則，整理得，
令，則，令，解得或，
令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：

0

1

0

0

0

則的值域為，故的取值范圍為.
9．【2022年全國甲卷】已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則環(huán)．
【答案】(1)
(2)證明見的解析
【解析】
【分析】
(1)由導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
(2)利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.
(1)
的定義域為，

令,得
當單調(diào)遞減
當單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
(2)
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1
不妨設
要證,即證
因為,即證
因為,即證
即證
即證
下面證明時，
設，
則

設
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令

所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
【點睛】
關鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
10．【2022年全國乙卷】已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
(2)求導得，按照、及結合導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
(1)
當時，，則，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以；
(2)
，則，
當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，當x趨近正無窮大時，趨近于正無窮大，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
又，當n趨近正無窮大時，趨近負無窮，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】
關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
11．【2022年全國乙卷】已知函數(shù)
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先算出切點,再求導算出斜率即可
(2)求導,對分類討論,對分兩部分研究
(1)
的定義域為
當時,,所以切點為 ,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
(2)

設
若,當,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當,則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若
(1)當,則,所以在上單調(diào)遞增

所以存在,使得,即
當單調(diào)遞減
當單調(diào)遞增
所以
當
當
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當
設

所以在單調(diào)遞增

所以存在,使得
當單調(diào)遞減
當單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減
有
而,所以當
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為

【點睛】
方法點睛：本題的關鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
12．【2022年新高考1卷】已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．
【答案】(1)
(2)見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.
(2)根據(jù)(1)可得當時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.
(1)
的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故.
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
(2)
由(1)可得和的最小值為.
當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).
設，，
當時，，當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.
設，，
當時，，當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.
當，由(1)討論可得、僅有一個零點，
當時，由(1)討論可得、均無零點，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
則.
設，其中，故，
設，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故在上有且只有一個零點，且：
當時，即即，
當時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
故，
此時有兩個不同的零點，
此時有兩個不同的零點，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
【點睛】
思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.
13．【2022年新高考2卷】已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析
【解析】
【分析】
(1)求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.
(2)設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
(3)由(2)可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.
(1)
當時，，則，
當時，，當時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
設，則，
又，設，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當時，有，???????
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
(3)
取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】
思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.
14．【2022年北京】已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增.
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
(1)先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
(2)在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；
(3)令，，即證，由第二問結論可知在[0,+∞)上單調(diào)遞增，即得證.
(1)
解：因為，所以，
即切點坐標為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
(2)
解：因為，???????
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
(3)
解：原不等式等價于，
令，，
即證，
∵，
，
由(2)知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因為，
∴，所以命題得證.
15．【2022年浙江】設函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
(ⅰ)若，則；
(ⅱ)若，則．
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)(ⅰ)見解析；(ⅱ)見解析.
【解析】
【分析】
(1)求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
(2)(ⅰ)由題設構造關于切點橫坐標的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，(ⅱ) ，，則題設不等式可轉(zhuǎn)化為，結合零點滿足的方程進一步轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)可證該不等式成立.
(1)
，
當，；當，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
(2)
(ⅰ)因為過有三條不同的切線，設切點為，
故，
故方程有3個不同的根，
該方程可整理為，
設，
則
，
當或時，；當時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：且，
此時，
設，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
(ⅱ)當時，同(ⅰ)中討論可得：
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設，則，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：，
因為，故，
又，
設，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個不同的根，
設，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設，則即，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
【點睛】
思路點睛：導數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關于切點方程的解的個數(shù)問題，而復雜方程的零點性質(zhì)的討論，應該根據(jù)零點的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.

1．(2022·全國·南京外國語學校模擬預測)設函數(shù)在R上存在導數(shù)，對于任意的實數(shù)，有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是(???????)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構造函數(shù)，得到為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，分和兩種情況，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
∵，∴．
令，且，
則在上單調(diào)遞減．
又∵，
∴，
∴為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減．
∵，
∴．
當，即時，，
即
即，由于在上遞減，則，
解得：，
∴．
當，即時，，
即．
由在上遞減，則，
解得：，所以．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
【點睛】
構造函數(shù)，研究出構造的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進而解不等式，是經(jīng)常考查的一類題目，結合題干信息，構造出函數(shù)是關鍵.
2．(2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學模擬預測(理))已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，不等式總成立，則實數(shù)的取值范圍為(???????)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
將所求不等式變形為，構造函數(shù)，可知該函數(shù)在上為增函數(shù)，由此可得出，其中，利用導數(shù)求出的最大值，即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
當時，由可得，
即，
構造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，
所以，，即，其中，
令，其中，則.
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，.
故選：D.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，解題的關鍵就是將所求不等式進行轉(zhuǎn)化，通過不等式的結構構造新函數(shù)，結合新函數(shù)的單調(diào)性來求解.
3．(2022·江蘇無錫·模擬預測)已知，則，，的大小為(???????)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小作答.
【詳解】
令函數(shù)，當時，求導得：，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，，
顯然，則有，所以.
故選：C
【點睛】
思路點睛：某些數(shù)或式大小比較問題，探討給定數(shù)或式的內(nèi)在聯(lián)系，構造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性求解.
4．(2022·福建·三明一中模擬預測)己知e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b均為大于1的實數(shù)，若，則(???????)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意化簡得到，設，得到，結合題意和函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
由，可得，即，
設，可得，
因為，可得，
又因為，所以，即，所以，
當時，，可得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，即.
故選：B.
5．(2022·河南·開封市東信學校模擬預測(文))已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為(???????)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)導數(shù)的幾何意義及點斜式方程即可求解.
【詳解】
∵，∴.
又，切點為
所以曲線在點處的切線的斜率為，
所以曲線在點處的切線方程為
，即.
故選：B.
6．(2022·湖北·模擬預測)若過點可作曲線三條切線，則(???????)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出切線的方程，代入點，轉(zhuǎn)化為方程有3個根，構造函數(shù)，利用導數(shù)可知函數(shù)的極值，根據(jù)題意列出不等式組求解即可.
【詳解】
設切點為，
由，故切線方程為，
因為在切線上，所以代入切線方程得，
則關于t的方程有三個不同的實數(shù)根，
令，則或，
所以當，時，，為增函數(shù)，
當時，，為減函數(shù)，
且時，，時，，
所以只需，解得
故選：A
7．(2022·全國·模擬預測(理))若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是(???????)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判斷不是方程的根，再方程兩邊同除以，即可得到，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的圖象，令，設方程的兩根分別為、，對分類討論，結合函數(shù)圖象即可得解；
【詳解】
解：當時等式顯然不成立，故不是方程的根，當時，將的兩邊同除以，可得，
令，則且，所以，
所以當和時，當時，
即在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
函數(shù)的圖象如下所示：

令，設方程的兩根分別為、，，
①當時，方程無解，舍去；
②當時，，若，則，由圖可得有且僅有一個解，故舍去，
若，則，由圖可得有且僅有一個解，故舍去，
③當時，或，
若，由，，所以，由圖可得與各有一個解，符合題意，
若，由，，可設，，，
由圖可得無解，有兩個解，符合題意，
綜上可得的取值范圍為；
故選：A
8．(2022·河南安陽·模擬預測(理))已知函數(shù)，若時，在處取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是(???????)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意當時恒成立，整理得，當時，在圖像的下方，結合圖像分析處理．
【詳解】
根據(jù)題意得當時恒成立
則，即
∴當時，在圖像的下方
，則，則
故選：B．

9．(2022·河南開封·模擬預測(理))若關于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(???????)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題設有，構造，利用導數(shù)研究其單調(diào)性及值域，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再構造結合導數(shù)求參數(shù)范圍.
【詳解】
由題設可得，令，則在上恒成立，
由，在上；在上；
所以在上遞增；在上遞減，且，
在上，上，而，
所以，只需在上恒成立，即恒成立，
令，則，即在上遞增，故.
故a的取值范圍為.
故選：B
【點睛】
關鍵點點睛：不等式化為，構造研究單調(diào)性，進一步將問題轉(zhuǎn)化為研究在上恒成立.
10．(2022·湖北·黃岡中學模擬預測)已知a，b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為(???????)
A．8 B．9 C．10 D．13
【答案】B
【解析】
【分析】
設切點為,求函數(shù)的導數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切點的坐標，可得,再由乘1法結合基本不等式，即可得到所求最小值．
【詳解】
設切點為，
的導數(shù)為，
由切線的方程可得切線的斜率為1，令，
則，故切點為，
代入，得，
、為正實數(shù)，
則，
當且僅當，時，取得最小值9，
故選：B
11．(2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測(理))已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)對函數(shù)進行求導，分為和兩種情形，根據(jù)導數(shù)與0的關系可得單調(diào)性；
(2)函數(shù)有兩個零點即有兩個零點，根據(jù)(1)中的單調(diào)性結合零點存在定理即可得結果.
(1)
由題意知，，
的定義域為，．
若，則，所以在上單調(diào)遞減；
若，令，解得．
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
因為，所以有兩個零點，即有兩個零點．
若，由(1)知，至多有一個零點．
若，由(1)知，當時，取得最小值，最小值為．
①當時，由于，故只有一個零點：
②當時，由于，即，故沒有零點；
③當時，，即．
又，故在上有一個零點．
存在，則．
又，因此在上有一個零點．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
12．(2022·山東·德州市教育科學研究院三模)已知函數(shù)，曲線在處的切線與直線垂直.
(1)設，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當，且時，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意結合導數(shù)的幾何意義可得，則，對求導，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域；(2)整理得，對求導，分類討論理解處理．
(1)
∵
曲線在處的切線與直線垂直，則，即
∴，的定義域為
則
當時，，時，，
函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
(2)
當，且時，，即

構建，則
當，由當時恒成立
在上單調(diào)遞減且
當時，，則；
當時，，則
∴當，且時，.
當時，當時，
在上單調(diào)遞增且
∴當時，，可得，與題設矛盾.
當，則
在上單調(diào)遞增且
∴當時，，可得，與題設矛盾.
綜上所述：的取值范圍為.
13．(2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測(理))已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點．
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若的兩個零點分別為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義切線的斜率為，利用點斜式求切線方程；(2)分析可得對的零點即的零點，對分析可得，利用零點整理可得，構建函數(shù)利用導數(shù)證明．
(1)
當時，，，
又，所以切點坐標為，切線的斜率為．
所以切線方程為，即
(2)
由已知得有兩個不等的正實跟．
所以方程有兩個不等的正實根，即有兩個不等的正實根，①
要證，只需證，即證，
令，，所以只需證，
由①得，，
所以，，消去a得，只需證，
設，令，則，
則，即證
構建則，
所以在上單調(diào)遞增，則，
即當時，成立，
所以，即，即，
所以，證畢．
【點睛】
利用同構處理可得，結合零點代換整理可得．
14．(2022·河南安陽·模擬預測(文))已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)對于，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)求出、的值，結合點斜式可得出所求切線的方程；
(2)由參變量分離法可得，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.
(1)
解：當時，，則，所以，，
此時，函數(shù)在處的切線方程為.
(2)
解：，由可得，其中，
令，其中，則，
令，其中，則，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，，
所以，存在使得，
則，
令，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，所以，，可得，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，.
【點睛】
結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，.
15．(2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學研究室三模(文))已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)已知，是函數(shù)的兩個不同的極值點，且，若不等式恒成立，求正數(shù)的范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意得，令，再求導，分和兩種情況討論即可；(2)等價于，又，，所以，整理得，令，，則不等式在上恒成立，令，再求導分析即可.
(1)
，所以，令，故.
當時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
等價于，
由題意可知，分別是方程的兩個根，即的兩個根，
即，，原式等價于.
因為，，所以原式等價于，又，，
作差得，，即，所以原式等價于，
因為，所以恒成立.
令，，則不等式在上恒成立，
令，又因為，
當時，可得時，，所以在上單調(diào)遞增，
又因為，在上恒成立，符合題意；
當時，可得時，，時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，
所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.
綜上所述，若不等式恒成立，只需滿足，由于，所以，
即實數(shù)的取值范圍為：.
【點睛】
導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

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