2022學(xué)年第一學(xué)期臺(tái)州八校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可求解.【詳解】由，可得，所以直線的斜率為，則傾斜角為，故選:C.2. 圓與圓的位置關(guān)系是（    ）A. 相離 B. 相交 C. 內(nèi)切 D. 外切【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓圓心距離與半徑和差的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則兩圓圓心距離為，兩圓半徑之差為，兩圓半徑之和為，因?yàn)?/span>，所以兩圓相交.故選：B.3. 如圖，在平行六面體中，為的中點(diǎn)，若，則（    ）  A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的分解求解.【詳解】因?yàn)?/span>,所以，故選:B.4. 如果，那么直線不經(jīng)過(guò)的象限是（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可.【詳解】由可得，,所以直線的斜率縱截距，所以直線經(jīng)過(guò)一、二、四象限，故選:C5. 設(shè)，向量，且，則（    ）A.  B.  C. 3 D. 【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的平行、垂直以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，所以又因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，所以，則，故選：A.6. 在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有（    ）條A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】分截距為零和截距不為零兩種情況結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】圓的圓心為，半徑，由題意可知切線的斜率存在，當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，所以方程有兩個(gè)不相等的根，所以過(guò)原點(diǎn)的切線有兩條，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以，解得或，所以不過(guò)原點(diǎn)的切線為或，有2條，綜上，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有4條，故選：D7. 已知橢圓為橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，軸，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意確定，進(jìn)而可得，即可求橢圓的離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以，又因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，所以,即，即，所以，解得或（舍），故選:B.8. 已知長(zhǎng)方體中，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)度的最小值為（    ）A.  B. 6 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意設(shè)，然后根據(jù)可得的關(guān)系，再換元可求得的長(zhǎng)度的最小值,【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，即，令，則，所以，所以（其中），所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的長(zhǎng)度的最小值為，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.9. 已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（    ）A. 圓圓心坐標(biāo)為 B. 直線過(guò)定點(diǎn)C. 直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為 D. 直線與圓可以相切【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心判斷A，直線恒過(guò)定點(diǎn)判斷B，利用垂徑定理結(jié)合圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng)判斷C，利用直線恒過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓的圓心坐標(biāo)為，正確；對(duì)于B，直線方程即，由可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，正確；對(duì)于C，記圓心，直線過(guò)定點(diǎn)，則，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)直線截圓所得的弦長(zhǎng)最小，此時(shí)弦長(zhǎng)為，正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓必相交，錯(cuò)誤.故選：ABC10. 已知空間四點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A.  B. C. 點(diǎn)到直線的距離為 D. 四點(diǎn)共面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示公式、夾角公式，結(jié)合四點(diǎn)共面的性質(zhì)、點(diǎn)到線距離公式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?/span>，所以，因此本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?/span>，所以，因此本選項(xiàng)正確；C：，，所以所以點(diǎn)到直線的距離為，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)?/span>，所以有，因此是共線向量，所以四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)正確，故選：BD11. 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（    ）  A. 平面 B. C. 二面角的大小為 D. 三棱錐的體積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】假設(shè)平面，由此推出，繼而不妨取E為CD的中點(diǎn)，推出矛盾，判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)判斷B；取E點(diǎn)的一個(gè)特殊位置求出此時(shí)的二面角判斷C；利用等體積法求出三棱錐的體積的最大值判斷D.【詳解】對(duì)于A，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)平面，而平面，故；不妨取E為CD的中點(diǎn)，連接EB，由平面，平面，  得，故，而，則，即，即和不垂直，故與矛盾，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平面，平面，得，又，而平面，故平面，平面，故，B正確；對(duì)于C，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，不妨取E位于C點(diǎn)位置，此時(shí)二面角即二面角，設(shè)F中點(diǎn)，連接，由于，故，則即為二面角的平面角，，又，故，故不等于，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知，由于是棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E在C點(diǎn)處時(shí)，E到平面的距離最大，即最大；連接，由平面，平面，得，又，而平面，故平面，平面，故，同理證明，而平面，故平面，設(shè)交平面于G點(diǎn)，則，即，則，,故，即三棱錐的體積的最大值為，D正確，故選：BD12. 已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)分別是，其中.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（    ）A. 的周長(zhǎng)為B. 若的中點(diǎn)為，則C. 若，則橢圓的離心率的取值范圍是D. 若時(shí)，則的面積是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義可知的周長(zhǎng)為，可判斷A正確；聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出斜率公式即可得，可得B正確；由易知點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，即可得圓與橢圓有交點(diǎn)，需滿足，可得離心率，可知C正確；將代入聯(lián)立的方程可得的面積，可得D正確.【詳解】由可知，；顯然直線過(guò)點(diǎn)，如下圖所示：  由橢圓定義可知的周長(zhǎng)為，所以A正確；設(shè)，中點(diǎn)；將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去整理可得；由韋達(dá)定理可得，所以，代入直線方程解得，即；所以，可得，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)B選項(xiàng)，由可得，可得，即點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上；又點(diǎn)在橢圓上，即可得圓與橢圓有交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，即，所以可得離心率，即C正確；若時(shí)，由選項(xiàng)B可知聯(lián)立直線和橢圓方程可得；所以可得；所以易知的面積即可得的面積是，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解圓錐曲線與直線的位置關(guān)系時(shí)，特別是在研究跟焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常將直線和圓錐曲線聯(lián)立并利用韋達(dá)定理求解，注意變量間的相互轉(zhuǎn)化即可.非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡相應(yīng)題的橫線上.13. 畫(huà)法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，則________________.  【答案】4【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】由題可知，，所以，故答案為:4.14. 橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的方程分析可得、的值，計(jì)算可得的值，由橢圓的定義可得的值，在△中，通過(guò)，，，由勾股定理分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓，其中，，則，點(diǎn)在橢圓上，若，則，在△中，，，，則，則有，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，注意由橢圓的定義分析得到的值，是中檔題．15. 如圖，平行六面體中，，，則線段的長(zhǎng)度是______.【答案】【解析】【分析】由，轉(zhuǎn)化為向量的模長(zhǎng)，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題知，所以，所以，即，所以線段的長(zhǎng)度是.故答案為：16. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，  故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，而,故的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與之間的距離.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用直線垂直的公式列式計(jì)算即可.（2）先利用直線平行求出a，然后代入平行直線距離公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€，且，所以，所以所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，所以與的距離.18. 如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，（1）求證：（2）求點(diǎn)到平面的距離；【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理證得，再由線面垂直得線線垂直，進(jìn)而線面垂直得線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)面距離的向量公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】中，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，平面，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面，平面，平面，所以，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，設(shè)到平面的距離為，由得.19. 已知在四棱錐中，底面是矩形，是等邊三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn).  （1）求證：直線平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)
  所以，且，又因?yàn)?/span>，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連，過(guò)作交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>為正三角形，為中點(diǎn)，故，又平面平面，平面平面，故平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
  不妨設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為，所以，故與平面所成角的正弦值為.20. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn).（1）求過(guò)三點(diǎn)的圓方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；（2）過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求直線的方程.【答案】（1），在圓上    （2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓方程為，然后將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出圓的方程，再將點(diǎn)代入圓的方程驗(yàn)證即可，（2）由已知可求得圓心到直線距離為1，然后分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓方程為把三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，解得，所以圓方程是把點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，故在圓上.【小問(wèn)2詳解】由，得，所以圓心，半徑為，因?yàn)橄议L(zhǎng)等于4，所以圓心到直線距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即方程為，圓心到直線距離為1，滿足題意若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為圓心到直線的距離，解得所以過(guò)點(diǎn)的直線為或.21. 在斜三棱柱中，為等腰直角三角形，，側(cè)面為菱形，且，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，平面平面.  （1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求二面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：作的中點(diǎn)，  連因?yàn)?/span>，所以四邊形是平行四邊形，可得：.是中點(diǎn),,又平面，且交線為,平面，即平面,平面平面平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，平面，則，  以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，設(shè)為二面角的平面角，，所以二面角余弦值為.22. 已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）    （2）是定值，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可求解；（2）利用韋達(dá)定理結(jié)合，可得，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出三角形的面積，進(jìn)而可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，化解可得：.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，
 消去可得：，所以，即，則，，，把韋達(dá)定理代入可得：，整理得，滿足，又，而點(diǎn)到直線的距離，所以，把代入，則，可得是定值1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；

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