2022學(xué)年第二學(xué)期嘉興八校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷（2023.04）考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題Ⅰ （本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用瞬時(shí)變化率的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為.故選：C.2. 下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式即可判斷.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確；故選：D.3. 2名輔導(dǎo)教師與3名獲獎(jiǎng)學(xué)生站成一排照相，要求2名教師分別站在兩側(cè)，則不同的站法共有（    ）A. 種 B. 種 C. 種 D. 種【答案】B【解析】分析】先排好教師再排學(xué)生即可.【詳解】2名教師排在兩邊有種排法，3名學(xué)生排在中間有 種排法，所以共有 種排法；故選：B.4. 的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（    ）A. －112 B. 112 C. －28 D. 28【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，其通項(xiàng)公式為，令，可得，所以含項(xiàng)的系數(shù)是故選:B5. 已知的分布列為
 則下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用分布列的性質(zhì)可求出的值，可判斷AD選項(xiàng)；利用期望公式可判斷B選項(xiàng)；利用方差公式可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由分布列的性質(zhì)可得，可得，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：C.6. 下列結(jié)論正確的是（    ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)A，若，則，故A正確；對(duì)B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，則，故D錯(cuò)誤；故選：A7. 楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家，其著作《詳解九章算法》中畫了一張表示二項(xiàng)式展開式后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），稱做“開方做法本源”，現(xiàn)簡稱為“楊輝三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形數(shù)陣中的第m行第n個(gè)數(shù)，則（    ）  A. 5050 B. 4851 C. 4950 D. 5000【答案】B【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開式系數(shù)可知，第行第個(gè)數(shù)應(yīng)為，從而可求得結(jié)果【詳解】解：由二項(xiàng)式展開式系數(shù)可知，第行第個(gè)數(shù)應(yīng)為，所以第100行第3個(gè)數(shù)為，即4851，故選：B8. 已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（    ）A.  B. （0，）C. （，+∞） D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，令，將不等式化為，根據(jù)單調(diào)性即可求解．【詳解】設(shè)，則，，，，在R上單調(diào)遞增，，，令，則，由，得，即，即，，即，，不等式的解集為．故選：B二、選擇題Ⅱ（本大題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9. 已知，則（    ）A. 曲線在處的切線平行于軸B. 的單調(diào)遞減區(qū)間為C. 極大值為D. 方程沒有實(shí)數(shù)解【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；令，利用零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則，所以，，又因?yàn)?/span>，故曲線在處的切線方程為，所以，曲線在處的切線平行于軸，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由，可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，，則，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)，即方程有解，D錯(cuò).故選：AC.10. 若袋子中有個(gè)白球，個(gè)黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球次，每次取一個(gè)球，取到白球記分，取到黑球記分，記次取球的總分?jǐn)?shù)為，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】分析可知，可判斷A選項(xiàng)；利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率可判斷B選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的期望公式可判斷C選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的方差公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，每次摸到白球的概率為，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：BC.11. 要從候選的位男同學(xué)、位女同學(xué)中選出位同學(xué)站成一排主持“慶祝‘五四’青年節(jié)”文藝匯演，要求至少要有位男同學(xué)，若兩位男生均被選上，則這兩位男同學(xué)站位不能相鄰，那么（    ）A. 若位男同學(xué)同時(shí)被選中，則不同的站位方式有種B. 若位男同學(xué)中恰有一位被選中，則不同的站位方式有種C. 若女同學(xué)乙不能站兩邊，則不同的站位方式有種D. 若男同學(xué)甲必須被選中，則不同的站位方式有種【答案】AD【解析】【分析】利用插空法可判斷A選項(xiàng)；利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可判斷B選項(xiàng)；對(duì)男同學(xué)被選擇的人數(shù)、女同學(xué)是否被選種進(jìn)行分類討論，結(jié)合分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理可判斷C選項(xiàng)；分兩種情況討論，男同學(xué)中只有甲被選中、兩位男同學(xué)都被選中，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若位男同學(xué)同時(shí)被選中，且這兩位男同學(xué)站位不能相鄰，只需從位女同學(xué)中選出位女同學(xué)，先排女同學(xué)的位置，然后將位男同學(xué)插入位女同學(xué)所形成的個(gè)空位中的個(gè)空位，所以，不同的站位方式種數(shù)為種，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若位男同學(xué)中恰有一位被選中，則只需從位女同學(xué)中選出位女同學(xué)，然后將選出的位同學(xué)排序即可，則不同的站位方式種數(shù)為種，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若只有一位男同學(xué)被選中，女同學(xué)乙未被選中，則不同的站位方式種數(shù)為種，若只有一位男同學(xué)被選中，女同學(xué)乙被選中，則女同學(xué)乙只能站中間，不同的站位方式種數(shù)為種，若兩位男同學(xué)都被選中，女同學(xué)乙未被選中，則需從除乙以外的位女同學(xué)中選擇位，然后將位男同學(xué)插入位女同學(xué)所形成的個(gè)空位中的個(gè)空位，則不同的站位方式種數(shù)為種，若兩位男同學(xué)都被選中，女同學(xué)乙被選中，則女同學(xué)乙只能站中間，則還需選擇位女同學(xué)，則不同的站位方式種數(shù)為種，綜上所述，不同的站位方式種數(shù)為種，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若男同學(xué)甲必須被選中，另一位男同學(xué)未被選中，則只需從位女同學(xué)中選出位女同學(xué)，則不同的站位方式種數(shù)為種，若兩位男同學(xué)都被選中，由A選項(xiàng)可知，不同的站位方式種數(shù)為種，綜上所述，不同的站位方式種數(shù)為種，D對(duì).故選：AD.12. 關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A. 是的極大值點(diǎn)B. C. 在區(qū)間上遞減D. 當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于任意恒成立【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷BC選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；由參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，對(duì)于A選項(xiàng)，是的極大值點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，在區(qū)間上遞增，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若對(duì)于任意恒成立，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，則，所以，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于任意恒成立，D對(duì).故選：ABD.非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 若，則______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及公式，可得，求解即可.【詳解】解：，得，，解得或（舍去），故答案為：6.14. 設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，則，解得.故答案為：.15. 已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程及切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率列方程組求解即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則有，解得故答案為：16. 已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值，畫出其大致圖象，由此求得的取值范圍.【詳解】令，則，故函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最值.【答案】（1）函數(shù)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為    （2）最大值，最小值．【解析】【分析】（1）根據(jù)f(x)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)f(x)在上的單調(diào)性即可求其最值．【小問1詳解】函數(shù)，．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)，故函數(shù)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由(1)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則在上的最大值，最小值．18. 已知的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為64．（1）求的值；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）6    （2）60    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)的二項(xiàng)式系數(shù)和為即可求解；（2）求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零即可求解；（3）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和n的值可判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，從而求解.【小問1詳解】由題意得：，解得.小問2詳解】由通項(xiàng)公式，令，可得：．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；【小問3詳解】是偶數(shù)，展開式共有7項(xiàng)，則第四項(xiàng)最大，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．19. 不透明的盒子中有個(gè)球，其中個(gè)綠球，個(gè)紅球，這個(gè)小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出個(gè)球，取出紅球即停. 記為此過程中取到的綠球的個(gè)數(shù).（1）求；（2）寫出隨機(jī)變量的分布列，并求.【答案】（1）    （2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得的值；（2）分析可知，的可能取值有、、、、，求出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問1詳解】解：表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，所以，.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.20. “青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心，據(jù)考證“青團(tuán)”之稱大約始于唐代，已有1000多年的歷史．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”，已知甲箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”，2個(gè)肉餡的“青團(tuán)”和5個(gè)青菜餡的“青團(tuán)”.乙箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”，3個(gè)肉餡的“青團(tuán)”和4個(gè)青菜餡的“青團(tuán)”.問：（1）從甲箱中取出一個(gè)“青團(tuán)”是蛋黃餡的的概率是多少？（2）若依次從甲箱中取出兩個(gè)“青團(tuán)”，求第一個(gè)是蛋黃餡的條件下，第二個(gè)是肉餡的概率；（3）若先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”，從乙箱取出的“青團(tuán)”是蛋黃餡的概率.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型方法求解即可；（2）根據(jù)條件概率公式求解即可；（3）從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱可能的情況有3種，再根據(jù)全概率與條件概率公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)事件“取出青團(tuán)是蛋黃餡”，.【小問2詳解】設(shè)事件“甲箱中取出的第一個(gè)青團(tuán)是蛋黃餡”，事件“取出第二個(gè)青團(tuán)是肉餡”，.【小問3詳解】設(shè)事件 “從乙箱取出的“青團(tuán)”是蛋黃餡”.設(shè)事件分別是甲箱中取出蛋黃餡的“青團(tuán)”，肉餡的“青團(tuán)”和青菜餡的“青團(tuán)”，           21. 已知函數(shù).（1）若，求在定義域內(nèi)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）極小值，無極大值    （2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，的定義域是，且，             當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，                 所以在有極小值，無極大值.【小問2詳解】解：因?yàn)?/span>，則，因?yàn)?/span>，   ①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以，所以（舍去）；          ②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.          綜上，.22. 已知函數(shù) ，.（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，，，再令，求導(dǎo)可得存在，使得，進(jìn)而得出的單調(diào)性，從而根據(jù)代入化簡可得，再構(gòu)造函數(shù)證明即可.【小問1詳解】，，又，故在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：小問2詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，令，則，故在上單調(diào)遞增.∵，，故存在，使得，即，即，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.令，，則， 故在上單調(diào)遞增，則，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用隱零點(diǎn)點(diǎn)法得，再計(jì)算，最后再設(shè)新函數(shù)，，得到的單調(diào)性即可證明原不等式.   

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