2022-2023學(xué)年四川省成都市樹德中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．某社區(qū)有400個(gè)家庭，其中高等收入家庭120戶，中等收入家庭180戶，低收入家庭100戶．為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本記作①；某校高一年級(jí)有12名女排球運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作②；那么，完成上述2項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是　　A．①用隨機(jī)抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法 B．①用分層抽樣法，②用隨機(jī)抽樣法 C．①用系統(tǒng)抽樣法，②用分層抽樣法 D．①用分層抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法2．下面命題正確的是　　A．“若，則”的否命題為真命題 B．命題“若，則”的否定是“存在，則” C．設(shè)，，則“且”是“”的必要不充分條件 D．設(shè)，，則“”是“”的必要不充分條件3．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則直線的傾斜角為　　A． B．或 C．或 D．或4．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的　　A．1 B． C． D．5．已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線的漸近線方程為　　A． B． C． D．6．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是　　A．至少有一個(gè)白球與都是紅球 B．恰好有一個(gè)白球與都是紅球 C．至少有一個(gè)白球與都是白球 D．至少有一個(gè)白球與至少一個(gè)紅球7．已知點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是　　A．， B．， C． D．8．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個(gè)數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為　　22232425262324▲2628A．24 B．25 C．25.5 D．269．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，于，若，則　　A．4 B．12 C． D．10．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為　　A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.7511．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)，，若，則的周長(zhǎng)為　　A．6 B． C． D．12．已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓過(guò)和兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍為　　A． B． C．， D．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為 　　．14．已知“，都有不等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　　．15．在區(qū)間，上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)、，則滿足的概率為 　　．16．已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦平行軸，交軸于，的延長(zhǎng)線交橢圓于，下列說(shuō)法中正確的命題有 　　．①橢圓的離心率為；②；③；④以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．（10分）已知圓上有兩個(gè)點(diǎn)，，且為直徑．（1）求圓的方程；（2）已知，求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．18．（12分）某公司為了解所經(jīng)銷商品的使用情況，隨機(jī)問(wèn)卷50名使用者，然后根據(jù)這50名的問(wèn)卷評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖，其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值；（Ⅱ）求這50名問(wèn)卷評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)；（Ⅲ）從評(píng)分在，的問(wèn)卷者中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在，的概率．19．（12分）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求．20．（12分）某書店銷售剛剛上市的高二數(shù)學(xué)單元測(cè)試卷，按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行5天試銷，每種單價(jià)試銷1天，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)元1819202122銷量冊(cè)6156504845由數(shù)據(jù)知，銷量與單價(jià)之間呈線性相關(guān)關(guān)系．（1）求關(guān)于的回歸直線方程；附：，．（2）預(yù)計(jì)以后的銷售中，銷量與單價(jià)服從（1）中的回歸直線方程，已知每?jī)?cè)單元測(cè)試卷的成本是10元，為了獲得最大利潤(rùn)，該單元測(cè)試卷的單價(jià)應(yīng)定為多少元？21．（12分）已知橢圓，的離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．22．（12分）如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)．記，的面積分別為，．（Ⅰ）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
2022-2023學(xué)年四川省成都市樹德中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．某社區(qū)有400個(gè)家庭，其中高等收入家庭120戶，中等收入家庭180戶，低收入家庭100戶．為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本記作①；某校高一年級(jí)有12名女排球運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作②；那么，完成上述2項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是　　A．①用隨機(jī)抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法 B．①用分層抽樣法，②用隨機(jī)抽樣法 C．①用系統(tǒng)抽樣法，②用分層抽樣法 D．①用分層抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法【解析】：社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，受到家庭收入的影響而社區(qū)中各個(gè)家庭收入差別明顯①用分層抽樣法，而某校高一年級(jí)有12名女排球運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況的調(diào)查中個(gè)體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，②用隨機(jī)抽樣法故選：．2．下面命題正確的是　　A．“若，則”的否命題為真命題 B．命題“若，則”的否定是“存在，則” C．設(shè)，，則“且”是“”的必要不充分條件 D．設(shè)，，則“”是“”的必要不充分條件【解析】：對(duì)于，若，則的否命題為若，則，故為假命題，對(duì)于，若，則的否定是“存在，則”，故為假命題，對(duì)于，令，，滿足“”，不能推出且，必要性不成立，故錯(cuò)誤，對(duì)于，若，則且，故“”是“”的必要不充分條件，故正確．故選：．3．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則直線的傾斜角為　　A． B．或 C．或 D．或【解析】：由題意可得圓的半徑為2，由弦長(zhǎng)可得圓心到直線的距離，而圓心到直線的距離，解得：，所以直線的傾斜角為：或，故選：．4．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的　　A．1 B． C． D．【解析】：由程序框圖知：輸入時(shí)，，，，第一次循環(huán)，，；第二次循環(huán)，，；第三次循環(huán)，，；滿足條件，跳出循環(huán)，輸出，故選：．5．已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線的漸近線方程為　　A． B． C． D．【解析】：根據(jù)題意，雙曲線的離心率為2，其焦點(diǎn)在軸上，其漸近線方程為，又由其離心率，則，則，即，則其漸近線方程；故選：．6．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是　　A．至少有一個(gè)白球與都是紅球 B．恰好有一個(gè)白球與都是紅球 C．至少有一個(gè)白球與都是白球 D．至少有一個(gè)白球與至少一個(gè)紅球【解析】：從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，對(duì)于，至少有一個(gè)白球與都是紅球是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于，恰好有一個(gè)白球與都是紅球不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立事件，故正確；對(duì)于，至少有一個(gè)白球與都是白球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于，至少有一個(gè)白球與至少一個(gè)紅球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故錯(cuò)誤．故選：．7．已知點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是　　A．， B．， C． D．【解析】：由約束條件的平面區(qū)域作出可行域如圖，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，；．，，目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是，；故選：．8．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個(gè)數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為　　22232425262324▲2628A．24 B．25 C．25.5 D．26【解析】：設(shè)缺少的數(shù)為，則，，把代入，得，解得．故選：．9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，于，若，則　　A．4 B．12 C． D．【解析】：由題知拋物線，圖象開口向右，，記準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，如圖所示： 因?yàn)?/span>，根據(jù)拋物線定義有，因?yàn)?/span>，所以為正三角形，所以，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以，故選：．10．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為　　A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75【解析】：由題意知模擬射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示射擊4次至少擊中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15組隨機(jī)數(shù)，該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為：．故選：．11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線分別交于與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)，，若，則的周長(zhǎng)為　　A．6 B． C． D．【解析】：設(shè)與軸交于點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可得軸，，，又，則，即，又點(diǎn)在以為直徑的圓上，則，則，即，，，則的周長(zhǎng)為，故選：．12．已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓過(guò)和兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍為　　A． B． C．， D．【解析】：橢圓過(guò)點(diǎn)和，，，可得，，，設(shè)，由題意直線的方程為，即，點(diǎn)在線段上，滿足，，則，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的取值范圍為．故選：．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為 　　．【解析】：由可得，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故答案為：．14．已知“，都有不等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 　，　．【解析】： “，都有不等式成立”是假命題，其否定“，使得不等式成立”是真命題，即，使得不等式成立，，，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．15．在區(qū)間，上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)、，則滿足的概率為 　　．【解析】：根據(jù)題意，如圖：總的基本事件為，，其面積，事件包含的基本事件為，，，其面積；故滿足的概率；故答案為：．16．已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦平行軸，交軸于，的延長(zhǎng)線交橢圓于，下列說(shuō)法中正確的命題有 　②③④　．①橢圓的離心率為；②；③；④以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．【解析】：由橢圓方程：可知：，，因此離心率，故①錯(cuò)誤；設(shè)，，因?yàn)橄?/span>平行軸，交軸于，則，，，，由斜率公式可得，，即，故②正確；設(shè)，則直線的方程為，所以，故，聯(lián)立直線與橢圓的方程，，消去可得，由韋達(dá)定理可得，代入中，又，故，所以，所以，所以以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，故④正確，，故③正確，故答案為：②③④．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．（10分）已知圓上有兩個(gè)點(diǎn)，，且為直徑．（1）求圓的方程；（2）已知，求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【解析】：（1）由題意可得的中點(diǎn)，圓的半徑，所以圓的方程為：；（2）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓上，所以，所以過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為．18．（12分）某公司為了解所經(jīng)銷商品的使用情況，隨機(jī)問(wèn)卷50名使用者，然后根據(jù)這50名的問(wèn)卷評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖，其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值；（Ⅱ）求這50名問(wèn)卷評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)；（Ⅲ）從評(píng)分在，的問(wèn)卷者中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在，的概率．【解析】：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可得，解得．（Ⅱ）由頻率分布直方圖，可設(shè)中位數(shù)為，則有，解得中位數(shù)．（Ⅲ）由頻率分布直方圖，可知在，內(nèi)的人數(shù)：，在，內(nèi)的人數(shù)：．設(shè)在，內(nèi)的2人分別為，，在，內(nèi)的3人分別為，，，則從，的問(wèn)卷者中隨機(jī)抽取2人，基本事件有10種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中2人評(píng)分都在，內(nèi)的基本事件有，，，，，共3種，故此2人評(píng)分都在，的概率為．19．（12分）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求．【解析】：（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，所以，①又雙曲線的一條漸近線為，所以，②又，③聯(lián)立上述式子解得，，故所求方程為；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立，整理得，由，所以，，即．20．（12分）某書店銷售剛剛上市的高二數(shù)學(xué)單元測(cè)試卷，按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行5天試銷，每種單價(jià)試銷1天，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)元1819202122銷量冊(cè)6156504845由數(shù)據(jù)知，銷量與單價(jià)之間呈線性相關(guān)關(guān)系．（1）求關(guān)于的回歸直線方程；附：，．（2）預(yù)計(jì)以后的銷售中，銷量與單價(jià)服從（1）中的回歸直線方程，已知每?jī)?cè)單元測(cè)試卷的成本是10元，為了獲得最大利潤(rùn)，該單元測(cè)試卷的單價(jià)應(yīng)定為多少元？【解析】：（1），，，，，，關(guān)于的回歸直線方程為；（2）獲得的利潤(rùn)，即，二次函數(shù)的圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，取最大值，故當(dāng)單價(jià)定為21.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)．21．（12分）已知橢圓，的離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．【解析】：（1）根據(jù)題意可得，①因?yàn)辄c(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，所以原點(diǎn)為該直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以，代入①，解得，又，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，所以，所以，所以，所以原點(diǎn)到直線的距離，所以，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以，所以，所以，所以的面積是否為定值．22．（12分）如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)．記，的面積分別為，．（Ⅰ）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】：（Ⅰ）由拋物線的性質(zhì)可得：，，拋物線的準(zhǔn)線方程為；（Ⅱ）設(shè)，，，，，，重心，，令，，則，由于直線過(guò)，故直線的方程為，代入，得：，，即，，，又，，重心在軸上，，，，，，直線的方程為，得，，在焦點(diǎn)的右側(cè)，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)．

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