專(zhuān)題七　數(shù)列7.1　數(shù)列的概念及表示基礎(chǔ)篇考點(diǎn)　數(shù)列的概念及表示　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2022山東濰坊調(diào)研,5)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=1-(n≥2),則a2 022= (　　)A.　　　　C.-1　　　　D.2答案　C　2.(2021廣州模擬,6)數(shù)列{an}為,3,,8,,…,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是 (　　)A.an=C.an=答案　A　3.(2022福建泉州一中月考,6)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N*),若{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是????????????? (　　)A.(1,2)　　　　B.(2,3)　　　　C.(1,3)　　　　D.(3,6)答案　B　4.(多選)(2022福建莆田二中?？?/span>,10)數(shù)列{an}中,設(shè)Tn=a1·a2…an.若Tn存在最大值,則an可以是????????????? (　　)A.an=2n-6　　　　B.an=(-1)nC.an=2n-9　　　　D.an=答案　BD　5.(2022天津新華中學(xué)期末,14)在數(shù)列{an}中,an=(n+1),則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的n=　　　　. 答案　6或76.(2022廣州市鐵一中學(xué)期末,14)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=,{an}的前n項(xiàng)的和記為Sn,則=　　　　. 答案　37.(2023屆廣州階段測(cè)試,17)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{an}(若有相同元素,按重復(fù)方式計(jì)入排列)為1,3,3,5,7,9,9,11,….設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若am=27,求m的值;(2)求S50的值.解析　(1)因?yàn)?/span>am=27,所以數(shù)列{an}的前m項(xiàng)中含有A中的元素為1,3,5,7,9,…,27,共有14項(xiàng),含有B中的元素為3,9,27,共有3項(xiàng),排列后為1,3,3,5,7,9,9,…,27,27,所以m=16或17.(2)2×50-1=99,34=81<99,35=243>99,因此數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中含有B中的元素為3,9,27,81,共有4項(xiàng),含有A中的元素為1,3,5,7,9,…,27,29,…,79,81,83,…,2×46-1=91,共有46項(xiàng),∴S50=+(3+9+27+81)=2 116+120=2 236.綜合篇考法一　利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式 1.(2022重慶一中月考,5)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an(n≥2,n∈N*),則{an}(n≥2)的通項(xiàng)公式為an=????????????? (　　)A.2n-1　　　　B.2n-2C.2n+1-3　　　　D.3-2n答案　B　　　　　　　　　　　　　　　　　2.(2023屆貴陽(yáng)摸底,8)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,Sn+2=an+1(n∈N*),則a2+a4+…+a2 022=????????????? (　　)A.×(22 022-1)　　　　B.×(22 024-1)C.答案　A　3.(2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體大聯(lián)考,17)記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,已知+an=2Sn,n為正整數(shù).(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=tan an·tan an+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析　(1)由+an=2Sn得當(dāng)n≥2時(shí),+an-1=2Sn-1,兩式相減得+an-an-1=2an,即(an-an-1-1)(an+an-1)=0,因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),所以an=an-1+1(n≥2),即an-an-1=1(n≥2),故{an}是公差為1的等差數(shù)列,又當(dāng)n=1時(shí),+a1=2a1,解得a1=1,所以an=n.(2)tan 1=tan[(n+1)-n]=,故bn=tan(n+1)tan n=-1,則Tn=b1+b2+b3+…+bn=[tan(n+1)-tan n+tan n-tan(n-1)+…+tan 2-tan 1]-n=[tan(n+1)-tan 1]-n=-n-1.  (2022湖北大冶一中模擬,17)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-11,a2=-9,且Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n≥2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)已知bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析　(1)由題意知(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2(n≥2),則an+1-an=2(n≥2),又a2-a1=2,所以{an}是首項(xiàng)為-11,公差為2的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=2n-13.(2)由題知bn=,則Tn=+…+=.5.(2022重慶八中入學(xué)測(cè)試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn=2an-1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)記bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析　(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1-1,解得a1=1.當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-1,則Sn-Sn-1=an=2an-2an-1,即an=2an-1.所以{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an=2n-1(n∈N*).(2)bn=,∴Tn=1+,∴,兩式相減得,∴Tn=6-(n∈N*).考法二　利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式 1.(2022江蘇鹽城期中,7)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,an+1=,則a6的值為 (　　)A.220　　　　B.224　　　　C.21 024　　　　D.24 096答案　C　2.(2022長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)等十六校聯(lián)考,5)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an-1=an+an-2(n≥3),設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2 020=2 019,S2 019=2 020,則S2 021=????????????? (　　)A.1 008　　　　B.1 009　　　　C.2 016　　　　D.2 018答案　B　3.(2022山東聊城期中,8)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn為????????????? (　　)A.C.答案　C　4.(多選)(2023屆石家莊二中開(kāi)學(xué)考,11)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=3,an·an+1=3n(n∈N*),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則????????????? (　　)A.{an}是等比數(shù)列B.{a2n}是等比數(shù)列C.S2 022=2(31 011-1)D.{an}中存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列答案　BC　5.(2022江蘇泰州中學(xué)檢測(cè))在數(shù)列{an}中,a1=3,(n∈N*),則an=　　　　,若λan≥4n對(duì)所有n∈N*恒成立,則λ的取值范圍是　　　　　　. 答案　6.(2020課標(biāo)Ⅰ文,16,5分)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2+(-1)nan=3n-1,前16項(xiàng)和為540,則a1=　　　　. 答案　77.(2022湖南天壹名校聯(lián)盟摸底考試)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足anan+1=22n,a1=1.(1)求a2n;(2)求滿(mǎn)足a1+a2+…+a2n<2 022的最大的正整數(shù)n的值.解析　(1)因?yàn)?/span>anan+1=22n,a1=1,所以a1a2=22,a2=4,又an+1an+2=22n+2,所以=4,所以{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,所以an=所以a2n=22n.(2)令S2n=a1+a2+…+a2n,所以S2n=,易知f(x)=在定義域上單調(diào)遞增,且f(4)=425, f(5)=1 705, f(6)=6 825,因?yàn)?/span>a1+a2+…+a2n<2 022,所以n<6,又因?yàn)?/span>n為正整數(shù),所以n的最大值為5.

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