浙江省杭州市西湖區(qū)景匯中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

這是一份浙江省杭州市西湖區(qū)景匯中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷，共24頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2023-2024學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)景匯中學(xué)九年級第一學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分.）
1．下列環(huán)保標(biāo)志圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．下列計算結(jié)果正確的是（　　）
A． B． C．＝2 D．
3．技術(shù)員分別從甲、乙兩塊小麥地中隨機抽取1000株苗，測得苗高的平均數(shù)相同，方差分別為S甲2＝12（cm2），S乙2＝a（cm2），檢測結(jié)果是乙地小麥比甲地小麥長得整齊，則a的值可以是（　?。?br /> A．10 B．13 C．14 D．16
4．把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正確的是（　?。?br /> A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0
5．將拋物線y＝﹣x2向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2+2
6．已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，點E是邊AB的中點，連結(jié)OE，若△AOE的周長為15，則△ACD的周長是（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
7．若點A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AB上，以DE為邊作矩形DEFG，使FG經(jīng)過點C，若AD＝2，則矩形DEFG的面積是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
9．如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若點A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），則k的值為（　?。?br />
A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
10．如圖，在矩形ABCD中，將△CDE沿DE折疊，點C與點M重合，連結(jié)EM并延長EM分別交BD，AD于點N，F(xiàn)，且BE＝BN，若AB＝6，BC＝8，則AF的長是（　?。?br />
A．5﹣ B．10﹣2 C．4﹣ D．8﹣2
二、填空題（本大題有6個小題，每小題4分，共24分.）
11．二次根式中字母x的取值范圍是 　 ?。?br /> 12．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為 　 ?。?br /> 13．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（﹣5，0），拋物線和與x軸的另一個交點為 　 　．

14．已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是 　 ?。?br /> 15．已知點P（a，1﹣a）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，將點P先向右平移9個單位，再向下平移6個單位后得到的點仍在該函數(shù)圖象上，則k的值是　 ?。?br /> 16．將四塊直角三角形按圖示方式圍成面積為10的?ABCD，其中△ABF≌△CDH，其內(nèi)部四個頂點構(gòu)成正方形EFGH，若∠ABF＝45°，則CD的長為 　 ?。?br />
三、解答題（共8小題，滿分66分）
17．（1）計算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．已知拋物線y＝ax2+2x（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請寫出自變量x在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而增大．
19．已知：如圖，在菱形ABCD中，過頂點D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)EF．
（1）求證：△DEF為等腰三角形．
（2）若∠DEF＝66°，求∠A的度數(shù)．

20．為了了解某種電動汽車的性能，某機構(gòu)對這種電動汽車進行抽檢，獲得如圖中不完整的統(tǒng)計圖，其中A，B，C，D表示一次充電后行駛的里程數(shù)分別為150km，180km，210km．
（1）這次被抽檢的電動汽車共有幾輛？補全條形統(tǒng)計圖．
（2）求這次被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)．
（3）估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少km？
21．2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；
（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？
22．如圖，在?ABCD中，O為線段AD的中點，延長BO交CD的延長線于點E，連接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求證：四邊形ABDE是矩形；
（2）連接OC，若AB＝2，，求OC的長．

23．在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（k是常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過點A（a﹣1，2）．
（1）若a＝4，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）點B（﹣2，b）也在反比例函數(shù)y的圖象上．
①當(dāng)﹣2＜b≤﹣1，求a的取值范圍；
②若B在第二象限，求證：2b﹣a＞﹣1．
24．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與點B，C重合），連結(jié)AE．點D關(guān)于直線AE的對稱點為P，連結(jié)PA，PB，PD，PD交AE于點F，延長PB交AE的延長線于點H．
（1）依題意補全圖形，并判斷AP與AB是否相等．
（2）求∠AHB的度數(shù)．
（3）求證：BH+PH＝AH．



參考答案
一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分.）
1．下列環(huán)保標(biāo)志圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；
B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；
C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故本選項符合題意；
D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項不合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．下列計算結(jié)果正確的是（　　）
A． B． C．＝2 D．
【分析】根據(jù)二次根式的加法運算對A選項進行判斷；根據(jù)二次根式的減法運算對B選項進行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對C、D選項進行判斷．
解：A．3與2不能合并，所以A選項不符合題意；
B． ﹣＝2﹣＝，所以B選項不符合題意；
C． （）2＝2，所以C選項符合題意；
D． ＝5，所以D選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
3．技術(shù)員分別從甲、乙兩塊小麥地中隨機抽取1000株苗，測得苗高的平均數(shù)相同，方差分別為S甲2＝12（cm2），S乙2＝a（cm2），檢測結(jié)果是乙地小麥比甲地小麥長得整齊，則a的值可以是（　?。?br /> A．10 B．13 C．14 D．16
【分析】根據(jù)方差的定義進行判斷．
解：∵苗高的平均數(shù)相同，乙地小麥比甲地小麥長得整齊，
∴S甲2＞S乙2，
即a＜12，選項A符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了方差的知識，掌握一組數(shù)據(jù)的極差越大，這組數(shù)據(jù)的波動范圍就越大，這組數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定．反之，越小越穩(wěn)定是關(guān)鍵．
4．把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正確的是（　?。?br /> A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0
【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）的一般形式，a、b、c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，可得答案．
解：（x﹣2）（x+3）＝1，
x2+x﹣6＝1，
x2+x﹣7＝0，
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
5．將拋物線y＝﹣x2向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（　?。?br /> A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】易得新拋物線的頂點，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式．
解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么新拋物線的頂點為（﹣1，﹣2）；
可設(shè)新拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣h）2+k代入得：y＝﹣（x+1）2﹣2．
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線平移不改變二次項的系數(shù)的值，解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點坐標(biāo)．
6．已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，點E是邊AB的中點，連結(jié)OE，若△AOE的周長為15，則△ACD的周長是（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC＝AC，根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)求出OE＝BC＝AD，CD＝AB＝2AE，根據(jù)三角形周長定義求解即可．
解：如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC＝AC，
∵點E是邊AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，CD＝AB＝2AE，
∴OE＝BC＝AD，
∵△AOE的周長＝AE+OE+OA＝15，
∴△ACD的周長＝CD+AD+AC＝2AE+2OE+2OA＝2（AE+OE+OA）＝30，
故選：D．
【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，熟記平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
7．若點A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】把點A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）代入反比例函數(shù)的關(guān)系式求出y1，y2，y3，比較得出答案．
解：∵點A（﹣2，y1），B（﹣1，，y2），C（1，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，，
∴y1＝3，y2＝6，y3＝﹣6，
∴y3＜y1＜y2，
故選：C．
【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，把點的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是常用的方法．
8．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AB上，以DE為邊作矩形DEFG，使FG經(jīng)過點C，若AD＝2，則矩形DEFG的面積是（　?。?br />
A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】連接CE，則△DCE的面積為2，而矩形的面積是△DCE面積的2倍，所以矩形的面積為4．
解：連接CE，過點C作CH⊥DE，如圖：

則S△DCE＝＝2，
∴S矩形DEFG＝2S△DCE＝2×2＝4．
故選：B．
【點評】本題考查正方形的性質(zhì)和矩形的面積，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
9．如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點C在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若點A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），則k的值為（　?。?br />
A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
【分析】根據(jù)矩形的對角線將矩形分成面積相等的兩個直角三角形，找到圖中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四邊形CEOF＝S四邊形HAGO，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求出k2+4k+1＝6，再解出k的值即可．
解：如圖：
∵四邊形ABCD、HBEO、OECF、GOFD為矩形，
又∵BO為四邊形HBEO的對角線，OD為四邊形OGDF的對角線，
∴S△BEO＝S△BHO，S△OFD＝S△OGD，S△CBD＝S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD＝S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四邊形CEOF＝S四邊形HAGO＝2×3＝6，
∴xy＝k2+4k+1＝6，
解得，k＝1或k＝﹣5．
故選：D．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解法，關(guān)鍵是判斷出S四邊形CEOF＝S四邊形HAGO．
10．如圖，在矩形ABCD中，將△CDE沿DE折疊，點C與點M重合，連結(jié)EM并延長EM分別交BD，AD于點N，F(xiàn)，且BE＝BN，若AB＝6，BC＝8，則AF的長是（　?。?br />
A．5﹣ B．10﹣2 C．4﹣ D．8﹣2
【分析】由矩形的性質(zhì)得∠C＝90°，AD＝BC＝8，AD∥BC，CD＝AB＝6，則BD＝＝10，由BE＝BN，得∠BEN＝∠BNE，即可證明∠DFN＝∠DNF，則DF＝DN，由折疊得MD＝CD＝6，ME＝CE，∠DME＝∠C＝90°，∠FED＝∠CED，而∠FDE＝∠CED，所以∠FED＝∠FDE，則EF＝DF＝DN，設(shè)ME＝CE＝m，則BE＝BN＝8﹣m，EF＝DF＝DN＝2+m，可求得MF＝EF﹣ME＝2，則DF＝＝2，所以AF＝8﹣2，于是得到問題的答案．
解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝8，AD∥BC，CD＝AB＝6，
∴BD＝＝＝10，
∵BE＝BN，
∴∠BEN＝∠BNE，
∵∠BEN＝∠DFN，∠BNE＝∠DNF，
∴∠DFN＝∠DNF，
∴DF＝DN，
由折疊得MD＝CD＝6，ME＝CE，∠DME＝∠C＝90°，∠FED＝∠CED，
∵∠FDE＝∠CED，
∴∠FED＝∠FDE，
∴EF＝DF＝DN，
設(shè)ME＝CE＝m，則BE＝BN＝8﹣m，
∴EF＝DF＝DN＝10﹣（8﹣m）＝2+m，
∴MF＝EF﹣ME＝2+m﹣m＝2，
∵∠DMF＝180°﹣∠DME＝90°，
∴DF＝＝＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝8﹣2，
故選：D．
【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、二次根式的化簡等知識，證明∠FED＝∠FDE是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題有6個小題，每小題4分，共24分.）
11．二次根式中字母x的取值范圍是 　x≤2023?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件解答即可．
解：由題意得，
2023﹣x≥0，
∴x≤2023，
故答案為：x≤2023．
【點評】本題考查了二次根式有意義的條件．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．
12．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為 　6?。?br /> 【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題．
解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，
則內(nèi)角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴這個多邊形的邊數(shù)為6．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（﹣5，0），拋物線和與x軸的另一個交點為 ?。?，0）?。?br />
【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可得出結(jié)論．
解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（﹣5，0），
∴拋物線和與x軸的另一個交點為（3，0），
故答案為：（3，0）．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的對稱性，關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．
14．已知關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是 　m＜　．
【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2m＝1﹣8m＞0，
解得：m＜．
故答案為：m＜．
【點評】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，根的判別式Δ＞0”是解題的關(guān)鍵．
15．已知點P（a，1﹣a）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，將點P先向右平移9個單位，再向下平移6個單位后得到的點仍在該函數(shù)圖象上，則k的值是　﹣12　．
【分析】根據(jù)平移的特性寫出點Q的坐標(biāo)，由點P、Q均在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
解：∵點P的坐標(biāo)為（a，1﹣a），
∴將點P先向右平移9個單位，再向下平移6個單位得到點為（a+9，1﹣a﹣6），即（a+9，﹣5﹣a）
依題意得：k＝a（1﹣a）＝（a+9）（﹣5﹣a），
解得：a＝﹣3，
∴k＝﹣3（1+3）＝﹣12，
故答案為：﹣12．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵：由P點坐標(biāo)表示出平移后的點的坐標(biāo)．
16．將四塊直角三角形按圖示方式圍成面積為10的?ABCD，其中△ABF≌△CDH，其內(nèi)部四個頂點構(gòu)成正方形EFGH，若∠ABF＝45°，則CD的長為 　?。?br />
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EF＝FG＝HG＝EH，∠AFG＝∠FEH＝∠EHG＝∠FGH＝90°，求得∠AED＝∠AFB＝∠CHD＝∠AED＝90°，得到AF＝BF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BF＝CH＝DH，設(shè)EF＝FG＝HG＝EH＝x，AF＝BF＝CH＝DH＝y(tǒng)，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理即可得到結(jié)論．
解：∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF＝FG＝HG＝EH，∠AFG＝∠FEH＝∠EHG＝∠FGH＝90°，
∴∠AED＝∠AFB＝∠CHD＝∠AED＝90°，
∵∠ABF＝45°，
∴AF＝BF，
∵△ABF≌△CDH，
∴AF＝BF＝CH＝DH，
設(shè)EF＝FG＝HG＝EH＝x，AF＝BF＝CH＝DH＝y(tǒng)，
∴BG＝DE＝x+y，AE＝CG＝x﹣y，
∴?ABCD＝2×y2+2×（y﹣x）（y+x）+x2＝10，
∴2y2＝10，
∴CD＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共8小題，滿分66分）
17．（1）計算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先將化為，2×化為2，即可求解；
（2）先將方程兩邊同時加上5進行配方，再進行求解．
解：（1）原式＝×2﹣2
＝﹣2
＝﹣；
（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x﹣1+5＝5，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x＝2+或x＝2﹣．
【點評】本題考查解一元二次方程，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和二次根式混合運算的運算法則．
18．已知拋物線y＝ax2+2x（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請寫出自變量x在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而增大．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)拋物線性質(zhì)可得答案．
解：（1）把A（1，3）代入y＝ax2+2x得：
3＝a+2，
解得a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x；
（2）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴拋物線y＝x2+2x的對稱軸為直線x＝﹣1，
∵1＞0，
∴拋物線y＝x2+2x的開口向上，
∴當(dāng)x≥﹣1時，y隨x的增大而增大．
【點評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式．
19．已知：如圖，在菱形ABCD中，過頂點D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)EF．
（1）求證：△DEF為等腰三角形．
（2）若∠DEF＝66°，求∠A的度數(shù)．

【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)得到AD＝CD，∠A＝∠C，進而利用AAS證明兩三角形全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定解答即可；
（2）求出∠DEF＝∠DFE＝66°，由菱形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝66°，
∴∠BEF＝∠BFE＝90°﹣66°＝24°，
∴∠B＝180°﹣24°﹣24°＝132°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝48°．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)以及AAS證明兩三角形全等，此題難度一般．
20．為了了解某種電動汽車的性能，某機構(gòu)對這種電動汽車進行抽檢，獲得如圖中不完整的統(tǒng)計圖，其中A，B，C，D表示一次充電后行駛的里程數(shù)分別為150km，180km，210km．
（1）這次被抽檢的電動汽車共有幾輛？補全條形統(tǒng)計圖．
（2）求這次被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)．
（3）估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少km？
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形圖可知，將一次充電后行駛的里程數(shù)分為B等級的有30輛電動汽車，所占的百分比為30%，用30÷30%即可求出電動汽車的總量；根據(jù)各組頻數(shù)之和等于總數(shù)求得A的頻數(shù)，即可補全統(tǒng)計圖；
（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得；
（3）用總里程除以汽車總輛數(shù)，即可解答．
解：（1）這次被抽檢的電動汽車共有：30÷30%＝100（輛），
A等級電動汽車的輛數(shù)為：100﹣30﹣40﹣20＝10（輛），
補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（2）一次充電后行駛的里程數(shù)為210千米的電動車最多，有40輛，
∴被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的眾數(shù)為210；
∵100兩電動車行駛的第50、51個里程數(shù)為210千米、210千米，
∴被抽檢的電動汽車一次充電后行駛的里程數(shù)的中位數(shù)為＝210；
（3）這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為：×（10×150+30×180+40×210+20×240）＝201（千米），
∴估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為201千米．
【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、眾數(shù)及中位數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
21．2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；
（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？
【分析】（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x，利用6月份的銷售量＝4月份的銷售量×（1+該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為（y﹣35）元，月銷售量為400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月銷售利潤＝每件的銷售利潤×月銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
解：（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x，
根據(jù)題意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．
答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為25%；
（2）設(shè)該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為（y﹣35）元，月銷售量為400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，
根據(jù)題意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
整理得：y2﹣113y+3150＝0，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合題意，舍去）．
答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在?ABCD中，O為線段AD的中點，延長BO交CD的延長線于點E，連接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求證：四邊形ABDE是矩形；
（2）連接OC，若AB＝2，，求OC的長．

【分析】（1）證△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再證四邊形ABDE是平行四邊形，然后證∠BDE＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）過點O作OF⊥DE于點F，由矩形的性質(zhì)得DE＝AB＝2，OD＝OE，再由等腰三角形的性質(zhì)得DF＝EF＝DE＝1，則OF為△BDE的中位線，得，然后由平行四邊形的性質(zhì)得CD＝AB＝2，進而由勾股定理即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵O為AD的中點，
∴AO＝DO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四邊形ABDE是矩形；
（2）解：如圖，過點O作OF⊥DE于點F，

∵四邊形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝2，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EF＝DE＝1，
∴OF為△BDE的中位線，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝2，
∴CF＝CD+DF＝3，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
即OC的長為．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（k是常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過點A（a﹣1，2）．
（1）若a＝4，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）點B（﹣2，b）也在反比例函數(shù)y的圖象上．
①當(dāng)﹣2＜b≤﹣1，求a的取值范圍；
②若B在第二象限，求證：2b﹣a＞﹣1．
【分析】（1）a＝4可知點A的坐標(biāo)，代入解析式即可求出k值，即可得到解析式；
（2）①反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（a﹣1，2）B（﹣2，b）也在反比例函數(shù)圖象上，2（a﹣1）＝﹣2b，b＝1﹣a，﹣2＜b≤﹣1，即﹣2＜1﹣a≤﹣1，0≤a＜1．
②b＝1﹣a，a＝1﹣b，B在第二象限，b＞0，b﹣1＞﹣1，﹣a＝b﹣1＞﹣1，2b﹣a＞﹣1．
解：（1）若a＝4，則A（3，2），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函數(shù)解析式為：y＝；
（2）①∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（a﹣1，2）B（﹣2，b）也在反比例函數(shù)圖象上，
∴2（a﹣1）＝﹣2b，
∴b＝1﹣a，
∵﹣2＜b≤﹣1，即﹣2＜1﹣a≤﹣1，
解得：2≤a＜3．
②∵b＝1﹣a，
∴a＝1﹣b
∵B在第二象限，b＞0，
∴b﹣1＞﹣1，
∴﹣a＝b﹣1＞﹣1，
∴2b﹣a＞﹣1．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)關(guān)系式．
24．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（不與點B，C重合），連結(jié)AE．點D關(guān)于直線AE的對稱點為P，連結(jié)PA，PB，PD，PD交AE于點F，延長PB交AE的延長線于點H．
（1）依題意補全圖形，并判斷AP與AB是否相等．
（2）求∠AHB的度數(shù)．
（3）求證：BH+PH＝AH．

【分析】（1）按要求補全圖形，由AE垂直平分PD，得AP＝AD，由四邊形ABCD是正方形，得AB＝AD，所以AP＝AB；
（2）延長PA到點L，由AP＝AB，AP＝AD，得∠APB＝∠ABP，∠APD＝∠ADP，則∠LAB＝2∠APB，∠LAD＝2∠APD，所以∠APB＝∠LAB，∠APD＝∠LAD，則∠HPD＝∠APB﹣∠APD＝（∠LAB﹣∠LAD）＝∠BAD＝45°，所以∠AHB＝90°﹣∠HPD＝45°；
（3）連結(jié)并延長HD，作AK⊥AH交HD的延長線于點K，由AE垂直平分PD，點H在直線AE上，得DH＝PH，所以∠AHK＝∠AHB＝45°，則∠K＝∠AHK＝45°，所以AK＝AH，HK＝＝AH，再證明△DAK≌△BAH，得DK＝BH，則BH+PH＝DK+DH＝HK＝AH．
【解答】（1）解：如圖1，連結(jié)PA，PB，PD，PD交AE于點F，延長BP、AE交于點H，
AP＝AB，理由如下：
∵點P與點D關(guān)于直線EF對稱，
∴AE垂直平分PD，
∴AP＝AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴AP＝AB．
（2）解：如圖1，延長PA到點L，
∵AP＝AB，AP＝AD，
∴∠APB＝∠ABP，∠APD＝∠ADP，
∴∠LAB＝∠APB+∠ABP＝2∠APB，∠LAD＝∠APD+∠ADP＝2∠APD，
∴∠APB＝∠LAB，∠APD＝∠LAD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠HPD＝∠APB﹣∠APD＝（∠LAB﹣∠LAD）＝∠BAD＝45°，
∵∠PFH＝90°，
∴∠AHB＝90°﹣∠HPD＝45°，
∴∠AHB的度數(shù)是45°．
（3）證明：如圖2，連結(jié)并延長HD，作AK⊥AH交HD的延長線于點K，
∵AE垂直平分PD，點H在直線AE上，
∴DH＝PH，
∴∠AHK＝∠AHB＝45°，
∵∠HAK＝90°，
∴∠K＝∠AHK＝45°，
∴AK＝AH，
∴HK＝＝＝AH，
∵∠HAK＝∠BAD＝90°，
∴∠DAK＝∠BAH＝90°﹣∠DAH，
在△DAK和△BAH中，
，
∴△DAK≌△BAH（SAS），
∴DK＝BH，
∴BH+PH＝DK+DH＝HK，
∴BH+PH＝AH．


【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、勾股定得、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．