www.ks5u.com七寶中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試卷一.填空題1.已知集合，，則________【答案】【解析】【分析】利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由集合，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解集合中的元素特征，屬于基礎(chǔ)題.2.若直線方程的一個法向量為，則此直線的傾斜角為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意首先求出直線的一個方向向量，然后再求出直線的斜率，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線的一個方向向量為 由直線方程的一個法向量為，所以，令，則 所以直線的一個方向向量為，，設(shè)直線的傾斜角為，由，所以直線的傾斜角為：.故答案：【點(diǎn)睛】本題考查了直線的法向量、方向向量、直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】解：由，得，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.4.已知、、是任意實(shí)數(shù)，能夠說明“若，則”是假命題的一個有序整數(shù)組可以是________【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行賦值驗(yàn)算即可求解【詳解】根據(jù)題意，要說明其為假命題，可以令，，，此時(shí)滿足，但不成立，故原命題為假命題.故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查命題及其關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)（，是虛數(shù)單位）的圖象與直線有且僅有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)________【答案】【解析】【分析】先通過復(fù)數(shù)模的求法得到函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】函數(shù)，∴函數(shù)圖象為雙曲線的一支，如圖所示：又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與有且僅有一個交點(diǎn)，則.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的模的幾何意義以及函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6.直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)，將四邊形ABCD繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的體積為____【答案】【解析】【分析】四邊形是矩形，邊在直線上，旋轉(zhuǎn)一周后得一圓柱，是圓柱的高，是底面半徑，由此可計(jì)算體積。【詳解】由題意四邊形是矩形，邊在直線上，旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為圓柱，是圓柱的高，是底面半徑，。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積，考查圓柱的定義。屬于基礎(chǔ)題。7.在中，，，為的中點(diǎn)，則___________.【答案】；【解析】【分析】計(jì)算，然后將用表示，最后利用數(shù)量積公式可得結(jié)果.【詳解】由，，所以又為的中點(diǎn)，所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，給出已知的線段與相應(yīng)的夾角，通?？梢允褂孟蛄康姆椒ǎ瑢缀螁栴}代數(shù)化，便于計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.8.通過手機(jī)驗(yàn)證碼登錄哈嘍單車App，驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成，如某人收到的驗(yàn)證碼滿足，則稱該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼，某人收到一個驗(yàn)證碼，那么是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為________【答案】【解析】【分析】利用概率定義進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，，∴、、從中3~9選，只要選出3個數(shù)，讓其按照從小到大的順序排，分別對應(yīng)即可，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查概率的定義，屬于簡單題9.已知函數(shù)（）的反函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，則________【答案】2【解析】【分析】由，得到函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，再由函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性以及平移變換，得到在上單調(diào)遞增，再由函數(shù)與反函數(shù)具有相同的奇偶性求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以函數(shù)（）在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)與反函數(shù)有相同的單調(diào)性，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，則也為奇函數(shù)，.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與反函數(shù)的性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.10.歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），則數(shù)列前2020項(xiàng)的乘積為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，，然后可得，，然后，利用等差數(shù)列求和公式求解即可【詳解】，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)的乘積運(yùn)算以及等差數(shù)列的求和，屬于簡單題11.用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，若正數(shù)滿足，則的最大值為________【答案】【解析】【分析】對進(jìn)行分類討論，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出在區(qū)間和的最大值，再解不等式即可得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，.所以，舍去；②當(dāng)時(shí)，，，，所以，，即：，得到；③當(dāng)時(shí)，，，或，因?yàn)?/span>，所以，即：，，所以；④當(dāng)時(shí)，，，不滿足，舍去；綜上所述：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的最值問題，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于難題.12.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，則下列命題：①是等差數(shù)列；②是遞增數(shù)列；③設(shè)函數(shù)，則存在某個區(qū)間，使得在上有唯一零點(diǎn)；則其中正確的命題序號為________【答案】②③【解析】【分析】對于①，將已知遞推關(guān)系式變形可證得數(shù)列為等比數(shù)列；對于②，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，可驗(yàn)證出，知數(shù)列遞增；對于③，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可得到結(jié)論.【詳解】對于①，由得：，又，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，①錯誤；對于②，由①知：，，，是遞增數(shù)列，②正確；對于③，由②知：，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，，即，由零點(diǎn)存在定理知③正確；綜上所述：正確的命題序號為②③.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應(yīng)用問題，涉及到利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等比數(shù)列、根據(jù)遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項(xiàng)公式和確定數(shù)列增減性、零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用等知識；解題關(guān)鍵是能夠熟練掌握數(shù)列增減性和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.二.選擇題13.設(shè)、分別是直線、的方向向量，則“∥”是“∥”的（    ）A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件C. 充要條件 D. 既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：若，則一定有，但可能推出和重合，∴“”是“”的充分非必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.14.某學(xué)校有2500名學(xué)生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高二抽取樣本本數(shù)分別為、，且直線與以為圓心的圓交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣的概念，先求出與，然后求出直線方程，然后，根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系求出圓心到直線的距離，進(jìn)而求解即可.【詳解】∵高一：高二：高三為，該直線方程為，即，圓心到直線的距離，又，該圓的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的概念，屬于基礎(chǔ)題15.函數(shù)的圖像按向量平移后所得圖像的函數(shù)解析式為，當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，向量可以等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù)到的路線，進(jìn)而確定向量.【詳解】∵，∴將函數(shù)向左平移個單位，再向上平移2個單位可得到為奇函數(shù)，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象平移，三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減，注意向量的平移的方向，屬于基礎(chǔ)題.16.已知為拋物線焦點(diǎn)，、、為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則存在橫坐標(biāo)的點(diǎn)、、有（    ）A. 0個 B. 2個 C. 有限個，但多于2個 D. 無限多個【答案】A【解析】【分析】首先判斷出為的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可得，結(jié)合基本不等式可得出，結(jié)合拋物線的定義化簡得出，同理得出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，先證，由知，為的重心，又，，，，，，，同理，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)為三角形的重心，屬于中檔題.三.解答題17.如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成的角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過線面垂直判定定理證明平面，進(jìn)而得到；（2）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，通過已知條件得出四邊形為正方形，得出即為所求角，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意易得：，又平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，∴（2）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，，又∵，底面是正方形，∴，由題意易得為直角三角形，∴，由棱柱的性質(zhì)以及平面，可得四邊形為正方形，∴，由（1）得，,∴面，∴即為所求角，且大小為，即直線與平面所成的角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過線面垂直得出線線垂直，直線與平面所成角的求法，屬于中檔題.18.設(shè)、、分別是△內(nèi)角、、所對的邊，.（1）求角的大?。?/span>（2）若，且△的面積為，求△的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角差余弦公式化簡可得，即可得到角A的大?。?/span>（2）根據(jù)面積結(jié)合（1）可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形周長.【詳解】（1）由題意可得：∴（2）由又∴，∴周長為.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三角形已知關(guān)系求解三角形內(nèi)角，根據(jù)面積關(guān)系和余弦定理化簡求周長，需要熟練掌握余弦定理和面積公式.19.受疫情影響，某電器廠生產(chǎn)的空調(diào)滯銷，經(jīng)研究決定，在已有線下門店銷售的基礎(chǔ)上，成立線上營銷團(tuán)隊(duì)，大力發(fā)展“網(wǎng)紅”經(jīng)濟(jì)，當(dāng)線下銷售人數(shù)為（人）時(shí)，每天線下銷售空調(diào)可達(dá)（百臺），當(dāng)線上銷售人數(shù)為（人）（）時(shí)，每天線上銷量達(dá)到（百臺）.（1）解不等式：，并解釋其實(shí)際意義；（2）若該工廠大有銷售人員（）人，按市場需求，安排人員進(jìn)行線上或線下銷售，問該工廠每天銷售空調(diào)總臺數(shù)的最大值是多少百臺？【答案】（1）不等式的解集為，實(shí)際意義見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】（1）分別討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，解不等式即可得解；（2）結(jié)合題中分段函數(shù)，分段求解最值取得的條件即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為；當(dāng)時(shí)，不等式為；綜上，不等式解集為，實(shí)際意義為在相同的銷售人數(shù)下，當(dāng)銷售人數(shù)在10到40之間時(shí)，線上銷售的會比線下銷售效果好（2）設(shè)安排線上銷售人，則線下銷售安排人；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，每天的銷售總臺數(shù)為，∴當(dāng)時(shí)，最大值在時(shí)取到，為（百臺）當(dāng)時(shí)，最大值在時(shí)取到，為（百臺）當(dāng)時(shí)，若，則最大值在時(shí)取到，為（百臺）若，每天的銷售總臺數(shù)為，則最大值在時(shí)取到，為（百臺）.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型及其應(yīng)用，涉及分段函數(shù)最值處理方法，需要熟練掌握分類討論方法求解.20.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，且橢圓上一點(diǎn)，滿足，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于點(diǎn)、，且.（1）求橢圓的方程；（2）若，且，求的值；（3）當(dāng)△面積取得最大值，且點(diǎn)在橢圓上時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）3（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義焦點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算基本量即可得解；（2）根據(jù)已知條件結(jié)合弦長公式求得m，得出三點(diǎn)坐標(biāo)，利用線段長度公式得解；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出三角形面積，根據(jù)基本不等式求最值，即可得到此時(shí)的值.【詳解】（1）由題意可得，∴橢圓方程為（2）由題意得，此時(shí)直線方程為，將其代入橢圓方程整理可得，其中設(shè)，則∴，由橢圓具有對稱性，∴不妨取，則，∴（3）將直線方程代入橢圓方程整理可得，其中，設(shè)，則，∴原點(diǎn)到直線的距離，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又代入橢圓方程可得，其中，，∴整理得再將代入，整理得，，整理得，.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求解弦長和面積關(guān)系，綜合性較強(qiáng).21.已知數(shù)列滿足：對任意，若，則，且，設(shè)，集合中元素的最小值記為；集合，集合中元素最小值記為.（1）對于數(shù)列：，求，；（2）求證：；（3）求的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）416【解析】【分析】(1)根據(jù)題目，直接代入求解即可.(2)利用反正法進(jìn)行證明即可.(3)欲使盡可能大，則任意連續(xù)三項(xiàng)和要盡量整體控制大，然后，分類討論即可進(jìn)行求解【詳解】（1）（2）若，記則，同樣操作這三組數(shù)據(jù)得到，這與，矛盾，則，構(gòu)造數(shù)列：（3）欲使盡可能大，則任意連續(xù)三項(xiàng)和要盡量整體控制大，如果放在數(shù)列中前后各有2個數(shù)，則這里對應(yīng)含有項(xiàng)的3個連續(xù)和，這3個和值顯然均大于，同理也去控制項(xiàng)有，這3個和值顯然均大于，如果我們保證這6項(xiàng)不重疊，則8個和，就先處理了6個，剩下2個要使得最小值最大，就有如圖排列這種排列：，則考慮其中，這一組的和記可以很快得到記，若，則這8個數(shù)字都要大于等于448，至多各對應(yīng)3個數(shù)字，對應(yīng)一個數(shù)字，那么這樣最多只有7個數(shù)字大于等于448，矛盾構(gòu)造數(shù)列：，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查反證法的運(yùn)用，要用到類比推理和歸納推理的數(shù)學(xué)思想，屬于難題

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