一、填空題（本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分）
1.設(shè)全集U＝R，若A＝{x|1}，則?UA＝_____．
【答案】{x|0≤x≤1}
【解析】
【分析】
先解得不等式,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可
【詳解】全集U＝R,若A＝{x|1},
所以,整理得,解得x＞1或x＜0,
所以?UA＝{x|0≤x≤1}
故答案為：{x|0≤x≤1}
【點(diǎn)睛】本題考查解分式不等式,考查補(bǔ)集的定義
2.某校三個(gè)年級(jí)中，高一年級(jí)有學(xué)生400人，高二年級(jí)有學(xué)生360人，高三年級(jí)有學(xué)生340人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高一年級(jí)學(xué)生中抽出20人，則從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為_(kāi)_______.
【答案】17
【解析】
分析】
由于分層抽樣是按比例抽取，若設(shè)高三年級(jí)的學(xué)生抽取了 人，則有，求出的值即可
【詳解】解：設(shè)高三年級(jí)的學(xué)生抽取了 人，則由題意得
，解得
故答案為：17
【點(diǎn)睛】此題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.
3.過(guò)點(diǎn)且到原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】
若設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所求的直線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)，先求出直線(xiàn)的斜率，則可得所求直線(xiàn)的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可求得直線(xiàn)方程.
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則過(guò)點(diǎn)且到原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程為與垂直的直線(xiàn)，
因?yàn)?，所以所求直線(xiàn)的斜率為，
所以所求的直線(xiàn)方程為，即
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.
4.設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)，則公比的取值范圍是________
【答案】
【解析】
【分析】
利用無(wú)窮等比數(shù)列極值的運(yùn)算法則、化簡(jiǎn)，即可求解，得到答案．
【詳解】因?yàn)?，又且?br>解得．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)窮等比數(shù)列的極限，以及數(shù)列極限運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5.滿(mǎn)足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值是_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
作出可行域，再作目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)，平移該直線(xiàn)可得最優(yōu)解．
【詳解】作出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分), 易知在點(diǎn)(-2，0)上取得最大值，此時(shí)，
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域．本題可行域不是直接用二元一次方程組給出，而是由絕對(duì)值不等式給出，因此要由絕對(duì)值定義轉(zhuǎn)化得到．
6.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足且復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，則復(fù)數(shù)滿(mǎn)足的條件是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓的定義可知，，從而得到復(fù)數(shù)滿(mǎn)足的條件是復(fù)數(shù)在以為圓心，4為半徑的圓的內(nèi)部.
【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)滿(mǎn)足且復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，
所以，
根據(jù)復(fù)數(shù)差的幾何意義可知表示復(fù)數(shù)到的距離小于4，即復(fù)數(shù)滿(mǎn)足的條件是復(fù)數(shù)在以為圓心，4 為半徑的圓的內(nèi)部，如圖所示
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了橢圓的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.
7.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于_____________.
【答案】４．
【解析】
試題分析：函數(shù)的圖象與的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以它們四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)也分別成對(duì)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，每對(duì)和為2，所以總和為4．
考點(diǎn)：函數(shù)圖像與性質(zhì)
8.函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為.則_____.
【答案】
【解析】
【分析】
可將原函數(shù)化為，可設(shè)，可判斷為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)與最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【詳解】因?yàn)?
設(shè)，
所以 ；
則是奇函數(shù)，
所以在區(qū)間上的最大值為，即，
在區(qū)間上的最小值為，即，
∵是奇函數(shù)，
∴， 則 .
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，利用奇函數(shù)最值性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．
9.已知，若數(shù)列、、、是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則的最大值為_(kāi)___.
【答案】
【解析】
【分析】
先由展開(kāi)式通項(xiàng)求得，根據(jù)可得最大，由此求得的最大值.
【詳解】，
展開(kāi)式通項(xiàng)為，，
由于數(shù)列、、、是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，
，即，解得，
因此，的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查項(xiàng)的系數(shù)最大值的求法，屬于中檔題．
10.設(shè)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，將用表示，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于函數(shù)的最值.
【詳解】，令，
則
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)間的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)換底公式，注意基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
11.在正方體中，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和的中心，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中，且，則點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn)________.
【答案】（或C或邊上的任意一點(diǎn)）
【解析】
【分析】
因?yàn)辄c(diǎn)P滿(mǎn)足，其中，且，所以點(diǎn)三點(diǎn)共面，只需要找到平面與正方體表面的交線(xiàn)即可.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P滿(mǎn)足，其中，且，
所以點(diǎn)三點(diǎn)共面，
因?yàn)辄c(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和的中心，
所以,
連接，則,所以即為經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面與正方體的截面，
故點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn)（或C或邊上的任意一點(diǎn)）
故答案為：（或C或邊上的任意一點(diǎn)）
【點(diǎn)睛】此題考查空間向量基本定理及推論，同時(shí)考查了學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.
12.設(shè)、的定義域都為R，且是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，的周期為2，且，其中.若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知函數(shù)解析式結(jié)合周期性作出圖像，數(shù)形結(jié)合即可.
【詳解】解：作出函數(shù)與的圖像如圖，
由圖可知，函數(shù)與僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根；要使關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則，與的圖像有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
由到直線(xiàn)距離為1，得，解得，
因?yàn)閮牲c(diǎn)連線(xiàn)的斜率，所以
即k的取值范圍為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.
二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分20分，每題5分）
13.在中，內(nèi)角、、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，則“”是“是以、為底角的等腰三角形”的（ ）.
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
化簡(jiǎn)得到或，再判斷充分必要性.
【詳解】，根據(jù)正弦定理得到：
故或，為等腰或者直角三角形.
所以“”是“是以、為底角的等腰三角形”的必要非充分條件
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了必要非充分條件，化簡(jiǎn)得到或是解題的關(guān)鍵，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.
14.已知函數(shù)為上單調(diào)函數(shù)，是它的反函數(shù)，點(diǎn)和點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由給出的已知兩點(diǎn)確定單調(diào)性，再由與的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)一步求解即可
【詳解】由和為上的單調(diào)函數(shù)，可得為上的單調(diào)遞減函數(shù)，
則在定義域內(nèi)也為單調(diào)遞減函數(shù)；
原函數(shù)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則過(guò)
則，解得
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查原函數(shù)與反函數(shù)的性質(zhì)，原函數(shù)若單調(diào)，則原函數(shù)與反函數(shù)單調(diào)性相同，原函數(shù)定義域（值域）與反函數(shù)值域（定義域）相同，屬于中檔題
15.有紅色、黃色小球各兩個(gè)，藍(lán)色小球一個(gè)，所有小球彼此不同，現(xiàn)將五球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法共有( )
A. 24種B. 48種C. 72種D. 120種
【答案】B
【解析】
【分析】
由排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題得，將五個(gè)球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法共有.
【詳解】解：將五個(gè)球排成一行共有種不同的排法，
當(dāng)兩個(gè)紅色球相鄰共有種不同的排法，
當(dāng)兩個(gè)黃色球相鄰共有種不同的排法，
當(dāng)兩個(gè)黃色球、兩個(gè)紅色球分別相鄰共有種不同的排法，
則將五個(gè)球排成一行，顏色相同者不相鄰，不同的排法共有種，
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查了排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.
16.如圖為正方體，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在正方體表面沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周后，再回到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)與平面的距離保持不變，運(yùn)動(dòng)的路程與之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系，則此函數(shù)圖象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由題意，得到點(diǎn)在的邊上沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取線(xiàn)段的中點(diǎn)為，根據(jù)題意確定當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，同理得到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段或的中點(diǎn)時(shí)，也符合上式，根據(jù)變化情況，結(jié)合選項(xiàng)，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可知：點(diǎn)在的邊上沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取線(xiàn)段的中點(diǎn)為，
則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，
，
同理，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段或的中點(diǎn)時(shí)，
計(jì)算得.
符合C選項(xiàng)的圖像特征.
故選C
【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體中的軌跡問(wèn)題，熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型.
三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分76分）解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟
17.如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓的一條直徑，是一條半徑.且，已知該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)面積為的半圓面.
（1）求該圓錐的體積：
（2）求異面直線(xiàn)與所成角的大小.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)運(yùn)用圓錐的體積公式求解；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的夾角公式求解.
【詳解】解：（1）設(shè)該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面圓半徑為，高為，
由題意，∴，
底面圓周長(zhǎng)，∴，
∴，
因此，該圓錐的體積；
（2）如圖所示，取弧的中點(diǎn)，則，
因?yàn)榇怪庇诘酌?，所以、、兩兩垂?br>以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
計(jì)算得，，，，
所以，，
設(shè)與所成角的大小為，
則，
所以，
即異面直線(xiàn)與所成角的大小為.
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積和異面直線(xiàn)所成的角，屬于基礎(chǔ)題.
18.已知函數(shù)（，為常數(shù)且），函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，求的最大值.
【答案】（1）； （2）
【解析】
【分析】
(1)利用降冪公式及兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)得，由正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求出，最后代入周期計(jì)算公式即可得解； (2)由 求出角A，利用余弦定理及均值不等式求出，利用與bc有關(guān)的面積公式求得的面積的最大值.
【詳解】(1)
因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，
，即，又，所以，
，最小正周期為；
(2) 因?yàn)?，所以?br>因，則，所以，，
，代入得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，
所以的面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，涉及降冪公式及兩角和與差的正弦公式，正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查了余弦定理與均值不等式，屬于中檔題.
19.某工廠(chǎng)在制造產(chǎn)品時(shí)需要用到長(zhǎng)度為698mm的A型和長(zhǎng)度為518mm的B型兩種鋼管，工廠(chǎng)利用長(zhǎng)度為4000mm的鋼管原材料，裁剪成若干A型和B型鋼管。假設(shè)裁剪時(shí)損耗忽略不計(jì)，裁剪后所剩廢料與原材料的百分比稱(chēng)為廢料率.
（1）有兩種裁剪方案的廢料率小于4.5%，請(qǐng)說(shuō)明這兩種方案并計(jì)算它們的廢料率；
（2）工廠(chǎng)現(xiàn)有100根原材料鋼管，一根A型和一根B型鋼管為一套毛胚。按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛胚？最終的廢料率為多少？
【答案】（1）方案一：，廢料率最小為，方案二：，廢料率第二小為；（2）最多可裁剪320套毛胚，最終的廢料率為2.72%
【解析】
【分析】
（1）設(shè)每根原材料可裁剪成根A型鋼管和根B型鋼管，則，得到方案再計(jì)算廢料率得到答案.
（2）設(shè)用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，得到時(shí)，，再計(jì)算廢料率得到答案.
【詳解】（1）設(shè)每根原材料可裁剪成根A型鋼管和根B型鋼管，則，
方案一：，廢料率最小為；
方案二：，廢料率第二小為；
（2）設(shè)用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛胚，
則，
當(dāng)，套，廢料率為
綜上：最多可裁剪320套毛胚，最終的廢料率為2.72% .
【點(diǎn)睛】本題考查了方案問(wèn)題，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和解決問(wèn)題的能力.
20.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2，過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若射線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)（為原點(diǎn)），求面積的最大值.
【答案】(1) ;(2) ;(3)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)橢圓的基本量之間的關(guān)系求解即可.
(2)分直線(xiàn)斜率存在于不存在兩種情況,當(dāng)斜率存在時(shí),聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理與從而找到韋達(dá)定理與的不等式再求解即可.
(3) 的面積為的兩倍,故求得面積最值即可.
【詳解】(1)因?yàn)橛医裹c(diǎn)為,故.又短軸長(zhǎng)為2,故,解得
故橢圓的方程：
(2)當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí), 直線(xiàn),此時(shí),故,此時(shí),
當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn),.聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓
有,此時(shí),.
.
又,即 ,故
又即,
又因?yàn)?故,即,故
有基本不等式,故計(jì)算得
,又,故
綜上
(3) ,
令 ,則
故面積的最大值為
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立方程列出韋達(dá)定理再表示題中所給的信息計(jì)算求解.其中用去建立與韋達(dá)定理之間的關(guān)系,的面積利用兩倍的面積去代換,屬于難題.
21.對(duì)于數(shù)列，若存在，使得對(duì)任意都成立，則稱(chēng)數(shù)列為“折疊數(shù)列”.
（1）若，，判斷數(shù)列，是否是“ 折疊數(shù)列”，如果是，指出m的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若，求所有的實(shí)數(shù)q，使得數(shù)列是3-折疊數(shù)列；
（3）給定常數(shù)，是否存在數(shù)列使得對(duì)所有，都是折疊數(shù)列，且的各項(xiàng)中恰有個(gè)不同的值，證明你的結(jié)論.
【答案】（1）是“折疊數(shù)列”，不是“折疊數(shù)列”，理由見(jiàn)解析；（2）或或；（3）存在，證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）由給的定義進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)題中所給定義，列方程討論q的取值可得出結(jié)果；
（3）只需列舉出例子即可證明，結(jié)合定義，數(shù)列的圖象有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，可聯(lián)想三角函數(shù)求解.
【詳解】解：（1）若數(shù)列為“ 折疊數(shù)列”，則，
所以，
所以，得，
所以為“ 折疊數(shù)列”， ；
若數(shù)列是“ 折疊數(shù)列，則，
所以，得，
所以數(shù)列不是“ 折疊數(shù)列；
（2）要使通項(xiàng)公式為的數(shù)列是3-折疊數(shù)列，只需，
當(dāng)時(shí)， ，顯然成立，
當(dāng)時(shí)，由，得，，（），
所以或，
綜上，或；
（3）對(duì)給定的，都是折疊數(shù)列，故有多條對(duì)稱(chēng)軸，其中都是數(shù)列的對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)，由（）得對(duì)稱(chēng)軸為，且的周期為，
滿(mǎn)足給定常數(shù)，使得對(duì)所有，都是折疊數(shù)列，是周期函數(shù)，周期為，在這個(gè)周期內(nèi)，為對(duì)稱(chēng)軸，故對(duì)應(yīng)函數(shù)值的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值個(gè)數(shù)相等，即時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以各?xiàng)中共有個(gè)不同的值，
綜上，給定常數(shù)，存在數(shù)列，使得對(duì)所有，都是折疊數(shù)列，且的各項(xiàng)中恰有個(gè)不同的值
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列，三角函數(shù)等知識(shí)，用到了分類(lèi)討論思想，函數(shù)思想，屬于難題.

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