廣東省深圳市2021年中考數(shù)學真題試卷一、選擇題（每題3分，共30分）（共10題；共30分）1.如圖是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，和“建”字所在面相對的面上的字是（    ）   A. 跟                                B. 百                                C. 走                                D. 年2. 的相反數(shù)（    ）            A. 2021                       B.                        C. －2021                       D. 3.不等式 的解集在數(shù)軸上表示為（    ）            A.                           B. 
C.                        D. 4.《你好，李煥英》的票房數(shù)據(jù)是：109，133，120，118，124，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（    ）            A. 124                             B. 120                             C. 118                             D. 1095.下列運算中，正確的是（    ）            A.              B.              C.              D.   6.計算 的值為（    ）            A.                          B. 0                         C.                          D.   7.《九章算術(shù)》中有問題：1畝好田是300元，7畝壞田是500元，一人買了好田壞田一共是100畝，花費了10000元，問他買了多少畝好田和壞田？設(shè)好田買了x畝，壞田買了y畝，根據(jù)題意列方程組得（    ）            A.                        B.   
C.                        D.   8.如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即 米，在點E處看點D的仰角為64°，則 的長用三角函數(shù)表示為（    ）   A.               B.               C.               D.   9.二次函數(shù) 的圖象與一次函數(shù) 在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（    ）            A.                         B. 
C.                            D. 10.在矩形 中， ，點E是 邊的中點，連接 ，延長 至點F  ， 使得 ，過點F作 ，分別交 、 于N、G兩點，連接 、 、 ，下列正確的是（    ）   ① ；   ② ；   ③ ；   ④ ．A. 4                                  B. 3                                  C. 2                                  D. 1二、填空題（每題3分，共15分）（共5題；共15分）11.因式分解：  ________．    12.已知方程 的一個根是1，則m的值為________．    13.如圖，已知 ， 是角平分線且 ，作 的垂直平分線交 于點F  ， 作 ，則 周長為________．   14.如圖，已知反比例函數(shù)過A  ， B兩點，A點坐標 ，直線 經(jīng)過原點，將線段 繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段 ，則C點坐標為________．   15.如圖，在 中，D  ， E分別為 ， 上的點，將 沿 折疊，得到 ，連接 ， ， ，若 ， ， ，則 的長為________.    三、解答題（共55分）（共7題；共53分）16.先化簡再求值： ，其中 ．    17.如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位．   （1）過直線m作四邊形 的對稱圖形；    （2）求四邊形 的面積．    18.隨機調(diào)查某城市30天空氣質(zhì)量指數(shù)（ ），繪制成如下扇形統(tǒng)計圖． 空氣質(zhì)量等級空氣質(zhì)量指數(shù)（ ）頻數(shù)優(yōu)m良15中9差n（1） ________，  ________；    （2）求良的占比；    （3）求差的圓心角；    （4）折線圖是一個月內(nèi)的空氣污染指數(shù)統(tǒng)計，然后根據(jù)這個一個月內(nèi)的統(tǒng)計進行估測一年的空氣污染指數(shù)為中的天數(shù)，從折線圖可以得到空氣污染指數(shù)為中的有9天． 根據(jù)折線統(tǒng)計圖，一個月（30天）中有________天AQI為中，估測該城市一年（以365天計）中大約有________天 為中．19.如圖， 為 的弦，D  ， C為 的三等分點， ．   （1）求證： ；    （2）若 ， ，求 的長．    20.某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價x（萬元）與銷售量y（件）的關(guān)系如下表所示：  x（萬元）10121416y（件）40302010（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；    （2）當銷售單價為多少時，有最大利潤，最大利潤為多少？    21.探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、 倍、k倍．    （1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？________（填“存在”或“不存在”）．    （2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？  同學們有以下思路：①設(shè)新矩形長和寬為x、y  ， 則依題意 ， ，聯(lián)立 得 ，再探究根的情況：根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的 倍；②如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明 ： ， ： ，那么， a ． 是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？b ． 請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的 ，若存在，用圖像表達；c ． 請直接寫出當結(jié)論成立時k的取值范圍：．22.在正方形 中，等腰直角 ， ，連接 ，H為 中點，連接 、 、 ，發(fā)現(xiàn) 和 為定值.   （1）①   ▲  ；  ②   ▲  .③小明為了證明①②，連接 交 于O  ， 連接 ，證明了 和 的關(guān)系，請你按他的思路證明①②.（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2， ， （ ）  求① ________（用k的代數(shù)式表示）② ________（用k、 的代數(shù)式表示）
答案解析部分一、選擇題（每題3分，共30分）1.【答案】 B   【考點】幾何體的展開圖    【解析】【解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“建”與“百”是相對面，“黨”與“年”是相對面，“跟”與“走”是相對面， 故答案為：B. 【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點進行解答，即可得出答案.2.【答案】 B   【考點】相反數(shù)及有理數(shù)的相反數(shù)    【解析】【解答】解：-的相反數(shù)是. 故答案為：B. 
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)，即可得出答案.3.【答案】 D   【考點】解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集    【解析】【解答】解：x-1＞2，
∴x＞3，
在數(shù)軸上表示為 ：故答案為：D. 
【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來，即可得出答案.4.【答案】 B   【考點】中位數(shù)    【解析】【解答】解：從小到大排列：109，118，120，124，133，
∴ 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是120. 故答案為：B. 
【分析】中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，據(jù)此即可得出答案.5.【答案】 A   【考點】同底數(shù)冪的除法，單項式乘單項式，合并同類項法則及應(yīng)用，冪的乘方    【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3  ， 故A正確；
B、（a2）3=a6  ， 故B錯誤；
C、a2和a3不是同類項，不能合并，故C錯誤；
D、a6÷a2=a4  ， 故D錯誤. 故答案為：A. 
【分析】根據(jù)單項式乘以單項式的法則、冪的乘方法則、合并同類項法則、同底數(shù)冪的除法法則，逐項進行判斷，即可得出答案.6.【答案】 C   【考點】特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的絕對值    【解析】【解答】解：. 故答案為：C. 
【分析】把代入，再根據(jù)絕對值的意義進行計算，即可得出答案.7.【答案】 B   【考點】二元一次方程組的其他應(yīng)用    【解析】【解答】解： 設(shè)一畝好田為x元，一畝壞田為y元，
根據(jù)題意得：. 故答案為：B. 
【分析】設(shè)一畝好田為x元，一畝壞田為y元，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程組即可.8.【答案】 C   【考點】三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定，銳角三角函數(shù)的定義    【解析】【解答】解：∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠EDF=∠DEC-∠F=64°-32°=32°=∠F，
∴DE=EF=15，
在Rt△DCE中，  ，
∴CD=. 故答案為：C. 
【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠EDF=32°=∠F，得出DE=EF=15，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出  ， 即可得出答案.9.【答案】 A   【考點】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用    【解析】【解答】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+1的對稱軸為直線x=-  ， 一次函數(shù)y=2ax+b與x軸的交點坐標為（-  ， 0），
∴拋物線的對稱軸與直線的交點為（-  ， 0），
故A符合題意.
故答案為：A.

【分析】求出拋物線的對稱軸為直線x=-  ， 直線與x軸的交點坐標為（-  ， 0），得出拋物線的對稱軸與直線的交點為（-  ， 0），逐項進行判斷，即可得出答案.10.【答案】 B   【考點】三角形全等的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義    【解析】【解答】 故答案為：① ，①正確；②∵ ， ，∴ ，∵ ， ， ，∴ （ ），∴ ，∴ ，∵ ， ， ，∴ （ ），∴ ，故②正確；③∵ ， ，∴ ，∵在 和 中： ， ，∴ （ ），∴ ，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，故③錯誤；④由上述可知： ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，故④正確．故選B．【分析】①先證出∠GFB=∠EDC，得出  ， 即可判斷①正確；
②先證出△DEC≌△FEM，得出EM=EC，從而得出DM=FC，進而證出△DMN≌△FCN，得出MN=NC，即可判斷②正確；
③先證出MC∥GE，得出  ， 再求出EF，CF的長，得出  ， 即可判斷③錯誤；
④先求出BF的長，根據(jù)  ， 求出GB的長，利用  ， 即可判斷④正確.二、填空題（每題3分，共15分）11.【答案】 7（a+2）（a-2）   【考點】提公因式法與公式法的綜合運用    【解析】【解答】解：7a2-28=7（a2-4）=7（a+2）（a-2）.
【分析】先提公因式7，再根據(jù)平方差公式分解因式，即可得出答案.12.【答案】 2   【考點】二元一次方程的解    【解析】【解答】將 代入得： ，解得
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義把x=1代入方程，得出關(guān)于m的 一元一次方程，解方程求出m的值 ，即可得出答案.13.【答案】    【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，角平分線的定義    【解析】【解答】 （垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等） ∴  ∵ ， 是角平分線∴  ∵  ∴ ，  ∴  
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出DF=AF，根據(jù)角平分線的定義得出∠DAE=30°，從而求出DE和AE的長，再利用△DEF的周長=DE+DF+EF=AE+DE，即可得出答案.14.【答案】 （4，-7）   【考點】坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，三角形全等的判定（AAS）    【解析】【解答】設(shè) ： ，反比例：   將點A代入可得： ； 聯(lián)立可得：  過點B作y軸的平行線l過點A  ， 點C作l的垂線，分別交于D  ， E兩點則  利用“一線三垂直”易證   ，  ∴ ． 
【分析】利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式，求出點B的坐標，過點B作y軸的平行線l，過點A、點C作l的垂線，垂足分別為D，E兩點，求出點D的坐標，再證出△ABD≌△BEC，得出BE和CE的長，即可求出點C的坐標.15.【答案】    【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)    【解析】【解答】解法1：如圖，延長 ，交 于點G  ，  由折疊，可知 ，∵ ，∴ ，延長 ， ，交于點M  ， ∵ ，且 ，∴四邊形 為平行四邊形，∴ ，又易證 ，∴ ，∵ ，∴ ．解法2：如圖，延長 ，交 于點G  ， 由折疊，可知 ，∵ ，∴ ，∴ ，延長 ， ，交于點M  ， ∵ ，∴ ， ，∴ ，∵ ， ，∴ ， ，∴ ．解法3：由題意易證點D為 的中點，如圖，取 的中點M  ， 連接 ，∴ ， ，∵ ， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，且 ，∴ ．解法4：由折疊，易證 ，∴ ，∴ ，過點F作 ，交 延長線于點M  ， ∴四邊形 為平行四邊形，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵四邊形 為平行四邊形，∴ ， ，∴ ，∴ ．解法5：如圖過點B作 ，交 于點M  ， ∴四邊形 為平行四邊形，且 ，由折疊，可知 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵四邊形 為平行四邊形，∴ ， ，∵ ，∴ ．解法6：延長 至點M  ， 使得 ，連接 ，易證 ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴  
【分析】解法1：延長ED，交CF于點G，先證出四邊形BFEM為平行四邊形，得出BM=10，再證出AE=AM，利用AM=BM-AB，即可求出AE的長；
解法2：根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定得出EM=EF=10，AM=AB=4  ， 再利用AE=EM-AM，即可求出AE的長；
解法3 ：取AC的中點M，連接DM，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)得出∠MED=∠MDE，得出EM=MD=2  ， 從而求出AM的長，利用AE=AM-EM，即可求出AE的長； 解法4：先證出四邊形AMFE為平行四邊形，得出AM=EF=EC=10，AE=MF=MB，利用MB=AM-AB ， 即可求出AE的長；
解法5：過點B作BM∥AC，交EF于點M，先證出四邊形ABME為平行四邊形，得出AE=MB=MF，EM=AB=4  ， 利用MF=EF-EM=EC-EM， 即可求出AE的長； 解法6：延長ED至點M，使得DM=ED ，連接BM，根據(jù)等角對等邊證出BN=BM=10，AE=AN ,利用AN=BN-AB，即可求出AE的長.三、解答題（共55分）16.【答案】 解：原式        當 時，原式 【考點】分式的混合運算，利用分式運算化簡求值    【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再把x的值代入進行計算，即可得出答案.17.【答案】 （1）解：如圖所示：
（2）解：    【考點】三角形的面積，作圖﹣軸對稱    【解析】【解答】（2）S四邊形ABCD=S△ACB+S△ACD=.
【分析】（1） 分別作出點A、B、C、D關(guān)于直線m的對稱點A′、B′、C′、D′，順次連接各點即可；
（2）利用S四邊形ABCD=S△ACB+S△ACD=  ， 即可得出答案.   18.【答案】 （1）4；2
（2）  ，
∴ 良的占比為50%；
（3）  ，
∴ 差的圓心角為24°；
（4）9；100   【考點】用樣本估計總體，頻數(shù)（率）分布表，扇形統(tǒng)計圖    【解析】【解答】解：（1）∵m+15+9+n=30，
∴m+n=6，
∵m，n為整數(shù)，m＞n，
∴m=5，n=1或m=4，n=2，
∵m：n=2：1，
∴m=4，n=2，
故答案為：4；2；
（4） ∵空氣污染指數(shù)為中的有9天，
∴≈109（天），
∴ 估測該城市一年（以365天計）中大約有109天.
【分析】（1）根據(jù)題意得出m+n=6，結(jié)合扇形統(tǒng)計圖中優(yōu)與差的占比得出m=4，n=2；
（2）利用良的占比=  ， 即可得出答案；
（3）利用差的圓心角=差的占比×360°，即可得出答案；
（4）根據(jù)頻數(shù)分布表得出空氣污染指數(shù)為中的有9天，求出中的占比，再乘以365，即可得出答案.   19.【答案】 （1）證明：連接 ，∵A、D、C、B四點共圓  ∴  又  ∴  又  ∴  ∴ ，又  ∴四邊形 為平行四邊形∴
（2）解：∵ ，∴    又∵ ，∴  又∵ ，即  ∴ ，∴ 【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)    【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCE，根據(jù)圓周角定理得出∠BAD=∠ABC，從而得出∠ABC=∠BCE，證出AB∥CD，從而證出四邊形ACEB是平行四邊形，即可得出∠BAC=∠E；
（2）根據(jù)等弧所對的弦相等得出CD=BD=3，   20.【答案】 （1）解：
（2）解：    【考點】一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題    【解析】【解答】解：（1） 設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
當x=10時，y=40，當x=12時，y=30，
∴  ，
解得  ，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-5x+90；
（2）設(shè)利潤為w萬元，
∴w=（x-8）（-5x+90）=-5x2+130x-720=-5（x-13）2+125，
∴當x=13時，w有最大值，最大值為125，
∴當銷售單價為13元時，有最大利潤，最大利潤為125萬元.
【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的表達式即可；
（2）設(shè)利潤為w萬元，根據(jù)利潤=一件的利潤×銷售量，得出二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.  21.【答案】 （1）不存在
（2）解：a存在； ∵ 的判別式 ，方程有兩組正數(shù)解，故存在；從圖像來看， ： ， ： 在第一象限有兩個交點，故存在；b設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意 ， ，聯(lián)立 得 ，因為 ，此方程無解，故這樣的新矩形不存在；從圖像來看， ： ， ： 在第一象限無交點，故不存在；c.  ；設(shè)新矩形長和寬為x和y，則由題意 ， ，聯(lián)立 得 ， ，故 ．【考點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，相似多邊形的性質(zhì)    【解析】【解答】解：（1）不存在，
因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為2時，則面積比必定是4，所以不存在；

【分析】（1）根據(jù)相似圖形的性質(zhì)，面積比是相似比即周長比的平方，即可得出這樣的正方形不存在； （2）a、方法①：根據(jù)一元二次方程根的判別式△＞0，得出方程有兩組正數(shù)解，即可得出這樣的新矩形存在；
方法②：觀察圖象可知，一次函數(shù)y=-x+10與反比例函數(shù)y= 在第一象限有兩個交點，即可得出這樣的新矩形存在；
b、方法①： 設(shè)新矩形長和寬為x、y， 列出方程組，得出一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式△＜0，得出方程無解，即可得出這樣的新矩形不存在；
方法②：觀察圖象可知，一次函數(shù)y=-x+與反比例函數(shù)y= 在第一象限沒有交點，即可得出這樣的新矩形不存在；
c、方法①： 設(shè)新矩形長和寬為x、y， 列出方程組，得出一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式△≥0，求出k的取值范圍，即可得出答案.22.【答案】 （1）解：① ；②45°；③證明：如圖所示：   由正方形性質(zhì)得： ，O為 的中點又∵H為 的中點，則 ，  ∴ 是等腰直角三角形∴  ∴  ∵ ∴ ，又∵ ∴ 又 ∴ ，又∵ ∴ ∴ ， ∴
（2）；   【考點】勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義    【解析】【解答】解：（2）①如圖，連接AC，交BD于點O，連接OH，

∵△BCD≌△DAB，
∴BC=AD，CD=AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=BD，OA=OC，
∵H為CE的中點 ，
∴OH∥AE，OH=AE，
∴∠HOC=∠EAC，
∵∠COD=∠BDA+∠DAC，∠BAD=∠EAF，
∴∠HOD=∠HOC+∠COD=∠∠EAC+∠EAF+∠DAC=∠DAF，
∵  ，
∴  ，   ，
∴△DAF∽△DOH，
∴  ，
故答案為：；
②如圖，過點H作HM⊥DF于點M，
∴∠HMD=∠HMF=90°，
∵△DAF∽△DOH，
∴∠HDO=∠ADF，
∴∠HDF=∠HOD+∠ODF=∠ADF+∠ODF=∠BDA=  ，
∴HM=OH·  ， DM=OH·  ，
∵  ，
∴FD=  ，
∵HF2=HM2+MF2=HM2+（DF-DM）2  ，
=（OH·）2+（-OH·）2  ，
=,
∴  ，
故答案為：
【分析】（1）①先證出  ， ∠BOH=∠BAF，從而得出△DAF∽△DOH，即可得出
；
②根據(jù)△DAF∽△DOH，得出∠HBO=∠FBA，利用∠HBF=∠HBO+∠DBF=∠DBA=45°，即可得出答案；
（2）①連接AC，交BD于點O，連接OH，先證出∠HOD=∠DAF，  ， 從而得出△DAF∽△DOH，即可得出；
②過點H作HM⊥DF于點M，先證出∠HDF=  ， 再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出HM=OH·  ， DM=OH·  ， 由  ， 得出FD=  ， 利用勾股定理得出HF2=HM2+（DF-DM）2  ， 代入進行化簡，求出HF2=  ， 即可求出.    

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2021年深圳市中考數(shù)學試題（教師版）

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