?2023年高考診斷性測試
數(shù)學(xué)
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】求得，進(jìn)而可得.
【詳解】，
，
.
故選：A．
2. 已知集合，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再利用集合間的包含關(guān)系列出不等式組，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：由，，解得，
所以，
集合，
因?yàn)?，所以，解得?br /> 故選：C．
3. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由，可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4. 過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B到y(tǒng)軸的距離之和為，則p的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程消去y，根據(jù)題意結(jié)合利用韋達(dá)定理可求p.
【詳解】設(shè)，
由題意可得：直線的斜率，拋物線的焦點(diǎn)，
故直線的方程為，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，
可知異號，
由題意可得：，
解得.
故選：B.
5. 新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號新能源汽車的耗電量（單位：kW·h/100km）情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號新能源汽車的耗電量，若，則樣本中耗電量不小于的汽車大約有（ ）
A. 180輛 B. 360輛 C. 600輛 D. 840輛
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求得的值，再由樣本容量求得頻數(shù)，即可得到答案.
【詳解】因?yàn)?，且?br /> 所以，
所以樣本中耗電量不小于的汽車大約（輛）.
故選：A.
6. 由點(diǎn)射出的兩條光線與分別相切于點(diǎn)，，稱兩射線，上切點(diǎn)右側(cè)部分的射線和優(yōu)弧右側(cè)所夾的平面區(qū)域?yàn)榈摹氨趁妗保籼幱诘摹氨趁妗?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，進(jìn)而可得切線方程，利用新定義可求的最值，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】解：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，

，，
直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
處于的“背面”，
與相切時(shí)取最小值，由，解得或，
結(jié)合圖形可得的最小值為，
同理與相切時(shí)可得的最大值為，
．
故選：D．
7. 已知等邊的邊長為，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，，垂足為，當(dāng)時(shí)，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，由求出，得到為的重心，為的中點(diǎn)，再利用平面向量基本定理求解即可．
【詳解】解：設(shè)，則，，

，
，或（舍去），
為的重心，，為的中點(diǎn)，
，
故選：B．
8. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有解之和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，，使，可得，，分類討論k為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求出k的值，再代入求解即可.
【詳解】解：，，使，則，
可得，，
若k為奇數(shù)，則，所以，
，則，
解得，或，
當(dāng)時(shí)，，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，，
若k為偶數(shù)，則，所以，
，則，
解得，或，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，，
因此，所有解之和為：，
故選：C.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 近年來，我國人口老齡化持續(xù)加劇，為改善人口結(jié)構(gòu)，保障國民經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展，國家出臺了一系列政策，如2016年起實(shí)施全面兩孩生育政策，2021年起實(shí)施三孩生育政策等．根據(jù)下方的統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論正確的是（ ）
2010至2022年我國新生兒數(shù)量折線圖

A. 2010至2022年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)高于1400萬
B. 2010至2022年每年新生兒數(shù)量的第一四分位數(shù)低于1400萬
C. 2015至2022年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降的變化趨勢
D. 2010至2016年每年新生兒數(shù)量方差大于2016至2022年每年新生兒數(shù)量的方差
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)折線圖逐項(xiàng)進(jìn)行分析驗(yàn)證即可求解.
【詳解】對于A，由折線圖可知：2010至2022年每年新生兒數(shù)量13個(gè)數(shù)據(jù)中有2010至2018年的數(shù)量（9個(gè)）均高于1500萬，3個(gè)數(shù)據(jù)低于1400萬，根據(jù)數(shù)據(jù)之間的差距可得 2010至2022年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)高于1400萬，故選項(xiàng)A正確；
對于B，由圖可知共有13個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)?，所以第一四分位?shù)是按照從小到大排列的數(shù)據(jù)的第4個(gè)數(shù)據(jù)，由折線圖可知，第4個(gè)數(shù)據(jù)為2019年新生兒的數(shù)量，其值大于1400萬，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于C，由折線圖可知2015至2022年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降的變化趨勢，故選項(xiàng)C正確；
對于D，由折線圖可知：2010至2016年每年新生兒數(shù)量的波動比2016至2022年每年新生兒數(shù)量的波動小，所以2010至2016年每年新生兒數(shù)量的方差小于2016至2022年每年新生兒數(shù)量的方差，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：AC.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A. 的最小正周期為
B. 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?br /> C. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得函數(shù)的圖象
D. 將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根據(jù)中，，的幾何意義，求得的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，逐一分析選項(xiàng)即可．
【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；
由，知，
因?yàn)椋?，所以，，即，?br /> 又，所以，所以，
對于B，當(dāng)時(shí)，，所以，
所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，故C正確；
對于D，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確．
故選：ACD．
11. 已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的平行線交于點(diǎn)，交的另一條漸近線于點(diǎn)，則（ ）
A. 向量在上的投影向量為
B. 若為直角三角形，則為等軸雙曲線
C. 若，則的離心率為
D. 若，則的漸近線方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由題意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|，可判斷A，由已知可得漸近線的傾斜角為，可判斷B，設(shè)，解得，可得，可判斷C，設(shè),可得，代入雙曲線方程，化簡可求漸近線方程，判斷D.
【詳解】對于A，由題意可得△OQF是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,
Q在OF上的投影為OF的中點(diǎn)，在上的投影向量為，故A正確；
對于B，若△OQF為直角三角形，可得漸近線的傾斜角為，，，
為等軸雙曲線，故B正確；
對于C，若，設(shè)，則解得或(舍去)，設(shè)漸近線的傾斜角為，可得，，，
，，，，故C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)直線的方程為，與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則，設(shè)，，
，在雙曲線上，，，，
的漸近線方程為，即，故D正確.
故選：ABD
12. 已知，，若直線與、圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知可得，，依據(jù)每個(gè)選項(xiàng)條件逐項(xiàng)計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性．
【詳解】由題意得，，
，，，
對于A：，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
，故A正確；
，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
，故B正確；
由，，，，
，故C錯(cuò)誤；
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋瑒t，所以，
，，，故D正確．
故選：ABD．
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．
【答案】－60
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
因?yàn)榈拇螖?shù)為，所以令，
二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
令，
所以項(xiàng)的系數(shù)為，
故答案為：
14. 某企業(yè)的一批產(chǎn)品由一等品零件、二等品零件混裝而成，每包產(chǎn)品均含有10個(gè)零件．小張到該企業(yè)采購，利用如下方法進(jìn)行抽檢：從該企業(yè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1包產(chǎn)品，再從該包產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的零件都是一等品，則決定采購該企業(yè)產(chǎn)品；否則，拒絕采購．假設(shè)該企業(yè)這批產(chǎn)品中，每包產(chǎn)品均含1個(gè)或2個(gè)二等品零件，其中含2個(gè)二等品零件的包數(shù)占，則小張決定采購該企業(yè)產(chǎn)品的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分析可得含1個(gè)二等品零件的包數(shù)占，進(jìn)而由對立事件和互斥事件的概率公式計(jì)算可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，該企業(yè)這批產(chǎn)品中，含2個(gè)二等品零件的包數(shù)占，則含1個(gè)二等品零件的包數(shù)占，
在含1個(gè)二等品零件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的4個(gè)零件都是一等品，其概率，
在含2個(gè)二等品零件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的4個(gè)零件都是一等品，其概率，
則小張決定采購該企業(yè)產(chǎn)品的概率；
故答案為：．
15. 過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，進(jìn)而由切點(diǎn)的位置得出，從而得出切線方程.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，.
則切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，
所以，即
又，所以，
令，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以方程只有唯一解為.
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.
故答案為：
16. 在三棱錐中，兩兩垂直，，為棱 上一點(diǎn)，于點(diǎn)，則面積的最大值為______；此時(shí)，三棱錐 的外接球表面積為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】設(shè)，求得，結(jié)合，求得，進(jìn)而求得和，根據(jù)，求得面積的最大值，再根據(jù)正方體的性質(zhì)求得三棱錐的外接球的半徑為，進(jìn)而求得外接球的表面積.
【詳解】設(shè)，且，
因?yàn)閮蓛纱怪?，所以?br /> 所以，可得，
因?yàn)榍?，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以，所以?br /> 因?yàn)榍遥云矫妫?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以，所以?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，
則，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：；.

四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，，成等差數(shù)列以及求出首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可；
（2）由（1）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中化簡，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.
小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，成等差?shù)列，
所以，
即，
解得或，
因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，
所以，
所以，
由，
得，
解得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
則，
所以，
兩式相減可得，
整理可得．
18. 在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求證：；
（2）若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，由正弦定理?br /> 又，所以
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
又在上單調(diào)遞增，所以，即；
【小問2詳解】
由（1）可知，，所以在中，，
由正弦定理得：，所以，
所以．
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，解得，
所以，即面積的取值范圍為．
19. 黃河鯉是我國華北地區(qū)的主要淡水養(yǎng)殖品種之一，其鱗片金黃、體形梭長，尤以色澤鮮麗、肉質(zhì)細(xì)嫩、氣味清香而著稱．為研究黃河鯉早期生長發(fā)育的規(guī)律，豐富黃河鯉早期養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，某院校研究小組以當(dāng)?shù)啬乘a(chǎn)養(yǎng)殖基地的黃河鯉仔魚為研究對象，從出卵開始持續(xù)觀察20天，試驗(yàn)期間，每天固定時(shí)段從試驗(yàn)水體中隨機(jī)取出同批次9尾黃河鯉仔魚測量體長，取其均值作為第天的觀測值（單位：），其中，．根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料，該組數(shù)據(jù)可以用Logistic曲線擬合模型或Logistic非線性回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中a，b，u為參數(shù)．基于這兩個(gè)模型，繪制得到如下的散點(diǎn)圖和殘差圖：

（1）你認(rèn)為哪個(gè)模型的擬合效果更好？分別結(jié)合散點(diǎn)圖和殘差圖進(jìn)行說明：
（2）假定，且黃河鯉仔魚的體長與天數(shù)具有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系．現(xiàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，得到如下統(tǒng)計(jì)量的值：，，，，，，其中，，根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及給定數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測第22天時(shí)仔魚的體長（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）．
附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；參考數(shù)據(jù)：．
【答案】（1）擬合效果更好，答案見解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合兩個(gè)模型的特征進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合題中所給的公式和數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
Logistic非線性回歸模型擬合效果更好．
從散點(diǎn)圖看，散點(diǎn)更均勻地分布在該模型擬合曲線附近；
從殘差圖看，該模型下的殘差更均勻地集中在以殘差為0的直線為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)．
【小問2詳解】
將轉(zhuǎn)化為，
則，所以，
所以．
所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．
當(dāng)時(shí)，體長．
20. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為等邊三角形．

（1）求證：；
（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，依題意可得、，即可得到平面，從而得證；
（2）取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【小問1詳解】
證明：取中點(diǎn)，連接，，，
因?yàn)闉榱庑吻遥?br /> 所以為等邊三角形，故．
又在等邊三角形中，，，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以；
【小問2詳解】
由，，可得就是二面角的平面角，所以，
在中，，所以為邊長為的等邊三角形，
由（1）可知，面底面，取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以，，所在的方向?yàn)?，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
中，，，可得，，，，
故，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，
令，則，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則有，
故直線與平面所成角的正弦值為.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓弦長公式、對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)，由題意，
因?yàn)?，所以?
即，兩邊平方并整理得．
故點(diǎn)的軌跡的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消并整理得，，顯然，
設(shè)，，則，，
又，可得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段中垂線的方程為，
令，可得，
對于直線，令，可得，
所以
又，
所以，
令，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，故．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22. 已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；
②，其中且．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求得，由0為的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，進(jìn)而求解；
（2）①當(dāng)時(shí)，由，可得單調(diào)遞減，由，可得，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，結(jié)合其導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合，和零點(diǎn)存在性定理，可知存在，使得，進(jìn)而得到單調(diào)性，結(jié)合得到在上單調(diào)遞增；結(jié)合，，存在，得到函數(shù)的單調(diào)性，可得而在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，可得在單減，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，最后綜合即可得證.
②由（1）中在單增，所以，有，可得.令，利用放縮法可得，再結(jié)合，分別利用累加發(fā)可得，，即可求證.
【小問1詳解】
由，
則，
因?yàn)?為的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以，所以．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br /> 所以，，在上單調(diào)遞增；.
綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以0為的一個(gè)極值點(diǎn)，故.
【小問2詳解】
①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，
所以對，有，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減．
又因?yàn)椋?br /> 所以，，在上單調(diào)遞增；
因?yàn)?，?br /> 所以存在，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
此時(shí)在上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
所以在單減，
又，，
由零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
綜上所述，在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．
②因?yàn)?，由?）中在上單調(diào)性分析，
知，所以在單增，
所以對，有，
即，所以．
令，則，
所以，
設(shè)，，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，
即，，
所以 ，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（2）②，關(guān)鍵在于先證明，令，利用放縮法可得，再結(jié)合累加法即可得證.

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