初中數(shù)學(xué)湘教版九年級(jí)上冊(cè)3.2 平行線分線段成比例精練

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?專題11 比例性質(zhì)、黃金分割、平行線分線段成比例壓軸題六種模型全攻略
【考點(diǎn)導(dǎo)航】
【典型例題】 1
【考點(diǎn)一 比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】 1
【考點(diǎn)二 利用黃金分割求線段的長(zhǎng)】 3
【考點(diǎn)三 與黃金分割有關(guān)的證明】 4
【考點(diǎn)四 由平行判斷成比例的線段】 8
【考點(diǎn)五 由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】 11
【考點(diǎn)六 構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】 13
【過關(guān)檢測(cè)】 17

【典型例題】
【考點(diǎn)一 比例的性質(zhì)之等比性質(zhì)】
例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若，求的值．
【答案】6或
【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出m的值即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
根據(jù)比例的等比性可得：
；
當(dāng)時(shí)，可得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對(duì)式子用等比性時(shí)一定要注意根據(jù)分母是否為0進(jìn)行分類討論．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校校考期末）若，則 .
【答案】3
【分析】根據(jù)比例設(shè)，則，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
設(shè)，則，，
．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，掌握比的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知（，，均不為0），則式子的值是 ．
【答案】1
【分析】設(shè)，則，，，然后把，，代入代數(shù)式中進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．
【詳解】解：設(shè)，則，，，
所以．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┮阎蟮闹担?br /> 【答案】8或
【分析】觀察 與 發(fā) 現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出 的值解出，因此設(shè) 通過變換化為 那么可能是 或 對(duì)這兩種情況分別討論；
【詳解】設(shè)
則


即
所以或
當(dāng)時(shí)，則
同理
所以
當(dāng)時(shí)，

所以
故答案為 8 或 -1
【點(diǎn)睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)做到這步已經(jīng)成功了一半，因而同學(xué)們?cè)诮忸}中一定要仔細(xì)觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系


【考點(diǎn)二 利用黃金分割求線段的長(zhǎng)】
例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書的長(zhǎng)為14cm，則它的寬為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)黃金比例求解即可．
【詳解】解：∵一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書的長(zhǎng)為，
∴它的寬，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤艟€段的長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，則最短的線段的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】較長(zhǎng)的線段的長(zhǎng)為cm，則較短的線段長(zhǎng)是．根據(jù)黃金分割的定義即可列方程求解．
【詳解】解：較長(zhǎng)的線段的長(zhǎng)為cm，則較短的線段長(zhǎng)是．
則，
解得或（舍去）．
較短的線段長(zhǎng)是
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關(guān)鍵．
2．（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語中學(xué)校考開學(xué)考試）鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，是的黃金分割點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為4cm，則的長(zhǎng)為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵P是AB的黃金分割點(diǎn)，，
∴；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵．


【考點(diǎn)三 與黃金分割有關(guān)的證明】
例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）中，D是上一點(diǎn)，若，則稱為的黃金分割線．

(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點(diǎn)；
(2)若，求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先由等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，可得，，又因?yàn)?，等量代換得出，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即可證明D是的黃金分割點(diǎn)；
（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．
【詳解】（1）證明：∵，，
又∵，
∴，
∴D是的黃金分割點(diǎn)；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)P，連接，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，以AF為邊作正方形，點(diǎn)M在上．

(1)求的長(zhǎng)；
(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？
【答案】(1)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為；
(2)點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)，理由見解析
【分析】（1）要求AM的長(zhǎng)，只需求得AF的長(zhǎng)，又，
，則；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．
【詳解】（1）在中，，由勾股定理知∶
，
∴，
；
故的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為；
（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．
∵，
∴點(diǎn)M是的黃金分割點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段的長(zhǎng)，然后求得線段和之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．
2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長(zhǎng)、短兩條線段AP、PB，若短段與長(zhǎng)段的長(zhǎng)度之比等于長(zhǎng)段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即（此時(shí)線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．

任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
（2）若BD＝1，則BC的長(zhǎng)為 ．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）在直角三角形△ABD中設(shè)則 ，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結(jié)論；
（2）若BD＝1，則 ，把AB代入到即可求出AC，進(jìn)而可求出BC．
【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，
∴△ABD是直角三角形，
∵BD＝AB，
∴設(shè)則 ，
∴ ，
∵DE＝DB，AC＝AE，
∴ ，
∴
∴，
∴ ，
故C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
（2）若BD＝1，則 ，
由（1）知，
∴，
∴ ，
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．


【考點(diǎn)四 由平行判斷成比例的線段】
例題：（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（　　）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可．
【詳解】解：A．由，得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．由，得，又由，得，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；
C．由，得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br /> ??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故A正確，不符合題意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，故B正確，不符合題意；
C．∵，
∴，故C正確，不符合題意；
D．∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D錯(cuò)誤，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理．
2．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，下列結(jié)論不正確的是（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．
【詳解】解：，
，，，；
∴選項(xiàng)A、C、D正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．


【考點(diǎn)五 由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】
例題：（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，，如果，，，，那么 ．

【答案】10
【分析】利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．
【詳解】解：，
，
，，，，
，
，
．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┤鐖D，已知直線，如果，，那么線段的長(zhǎng)是 ．
??
【答案】6
【分析】由平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例可知，然后代入求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則 ．

【答案】//
【分析】設(shè)、交于點(diǎn)，結(jié)合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進(jìn)一步可得，易知，可得，即可獲得答案．
【詳解】解：如下圖，設(shè)、交于點(diǎn)，

∵，平分線段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識(shí)，熟練運(yùn)用平行線分線段定理是解題關(guān)鍵．


【考點(diǎn)六 構(gòu)造平行線截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值】
例題：（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)F，若，，則線段的長(zhǎng)為 ．
??
【答案】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn),由平行線分線段成比例定理得，求得，再結(jié)合中點(diǎn)進(jìn)一步可得，從而得到答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)；
則；
而，，
；
為邊的中點(diǎn)，
，
，
故答案為：．
??
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·四川成都·一模）如圖，點(diǎn)D、E是邊 上的點(diǎn)，，連接，交點(diǎn)為F，，那么的值是 ．

【答案】/
【分析】過作，交于，依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得到，，進(jìn)而可得的值．
【詳解】解：如圖所示，過作，交于，

則，即：，，
，即：，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2021春·遼寧沈陽·八年級(jí)東北育才雙語學(xué)校校考期中）如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)，則 .

【答案】
【分析】先過E作，交于G，再作交于H，由平行線分線段成比例定理的推論，再結(jié)合已知條件，可分別求出和的值，相加即可．
【詳解】解：作交于，作交于，如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線分線段成比例定理．






【過關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若（），則（　?。?br /> A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件得到，，代入代數(shù)式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：，
，，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊上，，，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【詳解】A、∵，，
∴四邊形是平行四邊形，，
∴，
∴，不符合題意；
B、∵，
∴，
∴，不符合題意；
C、∵，
∴，
∴，不符合題意；
D、∵，
∴，
∴，
故D錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定三角形的相似和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·山東淄博·校考一模）如圖，在四邊形中，，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接，，若，則的長(zhǎng)度是（????）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，先說明，利用全等三角形的性質(zhì)說明，再利用平行線分線段成比例定理說明是中位線，利用中位線的性質(zhì)得結(jié)論．
【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．
∵，
∴．
在和中
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴是的中位線．
∴．
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的全等，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理、三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“黃金分割”廣泛存在于人們生活實(shí)踐中．在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（????）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.36m
【答案】C
【分析】根據(jù)黃金分割比列方程直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：設(shè)該雕像的下部設(shè)計(jì)高度為xm，由題意得：
，
解得：；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
5．（2023秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，則 ．
【答案】
【分析】設(shè)，，將，代入即可求解．
【詳解】設(shè)，，
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)，．
6．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，abc，若，，則的長(zhǎng)為 ．

【答案】6
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為 ．

【答案】
【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個(gè)無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．
【詳解】解：弦，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，
∴，解方程得，，
點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，
∴，解方程得，，
∴之間的距離為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）作業(yè)本中有一道題：“如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，交于點(diǎn)，求的值”，小明解決時(shí)碰到了困難，哥哥提示他過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．最后小明求解正確，則的值為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)可得，結(jié)合，可得，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)即可得到答案；
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
故答案為；
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例性質(zhì)得到線段比例．
三、解答題
9．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)校考期末）（1）若，求的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）先設(shè)，得到，然后代入計(jì)算即可；
（2）先設(shè)，得到，再根據(jù)求出，最后進(jìn)行比較即可．
【詳解】解：（1）設(shè)，
∴，
∴；
（2）設(shè)，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個(gè)量的比值時(shí)，常用的解法是：設(shè)一個(gè)參數(shù)，把題目中的幾個(gè)量用所設(shè)的參數(shù)表示出來，然后消掉所設(shè)的參數(shù)，即可求得所給代數(shù)式的值．
10．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且
（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長(zhǎng)；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，可得再代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（2）由，可得可得 結(jié)合，從而可得答案.
【詳解】解（1），

AB＝3，BC＝6，DE＝4，

經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意；
（2），
而DE：EF＝2：3，



【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“兩條直線被一組平行線所截的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵.
11．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．

(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長(zhǎng)為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；
(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度．
【答案】(1)燈桿AB的高度為4米
(2)燈桿AB的高度為米

【分析】（1）利用平行線分線段成比例的推論可知，代入求解即可；
（2）同（1）可得，，先求出BC，進(jìn)而求出AB．
【詳解】（1）解：由題意可知，，，
∴，
由題意，，
∴，即，
解得，
∴燈桿AB的高度為4米；
（2）解：由題意可知，，，，
∵中，，
∴，即，
同理，中，，
∴，即，
∴
解得，
∴，
∴，
∴燈桿AB的高度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．
12．（2023·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題．
角平分線分線段成比例定理：如圖，在中，平分，則．
下面是這個(gè)定理的部分證明過程．

證明：如圖②，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E……
任務(wù)：
(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；
(2)如圖③，在中，是角平分線，，，．求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）過點(diǎn)C作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由，可求證，，，可得，即可求解；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解．
【詳解】（1）過點(diǎn)C作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖②，
∵，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）的結(jié)論，可得，
∵，，，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、角平分線的定義、解分式方程，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．
13．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）材料一：北師大版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第四章，對(duì)“黃金分割比”的定義如下：
“如圖 ，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點(diǎn)D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點(diǎn)D也是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a3為a1，a4的黃金數(shù)，a2為a1，a4的白銀數(shù)．
請(qǐng)根據(jù)以上材料，回答下列問題
（1）如圖 ，若AB＝4，點(diǎn)C和點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　?。?br /> （2）實(shí)數(shù)0＜a＜b＜1，且b為0，1的黃金數(shù)，a為0，1的白銀數(shù)，求b﹣a的值．
（3）實(shí)數(shù)k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，求的值．
【答案】（1）2﹣2，4﹣8；（2）b﹣a＝﹣2；（3）的值是或
【分析】（1）根據(jù)黃金分割的定義分別計(jì)算AC和BD的長(zhǎng)，可得CD的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)黃金數(shù)和白銀數(shù)的定義分別列式，得關(guān)于a和b的一元二次方程，解出代入b﹣a可得結(jié)論；
（3）對(duì)于t＝2|2k|分兩種情況討論：對(duì)于m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，根據(jù)定義列兩個(gè)等式，將t＝2k和t＝﹣2k代入分別解方程可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵AB＝4，點(diǎn)C和點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，
∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，
∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；
故答案為：2﹣2，4﹣8；
（2）∵b為0，1的黃金數(shù)，且實(shí)數(shù)0＜b＜1，
∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），
b2+b﹣1＝0，
b1＝＜0（舍），b2＝＞0，
∵a為0，1的白銀數(shù)，且實(shí)數(shù)0＜a＜1，
∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），
a2﹣3a+1＝0，
a1＝＞1（舍），a2＝＜1，
∴b﹣a＝﹣＝﹣2；
（3）∵m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，實(shí)數(shù)k＜n＜m＜t，
∴
分兩種情況：
i）當(dāng)k≥0時(shí)，t＝2k，
由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），
m2﹣km﹣k2＝0，
m＝k；
由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），
n2﹣5kn+5k2＝0，
n＝k，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＝k，n＝k
∴＝＝＝；
ii）當(dāng)k＜0時(shí)，t＝﹣2k，
由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），
m2﹣5km﹣5k2＝0，
m＝k；
由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），
n2+7kn+k2＝0，
n＝k＞0，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＞0，
∴m＝k，n＝k，
∴???? ＝＝＝；
綜上，的值是或．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解和掌握：黃金分割、黃金數(shù)，白銀數(shù)，分類討論的思想；把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，第三問與方程相結(jié)合解決問題．