?2023學(xué)年第一學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題
高三年級數(shù)學(xué)
考生須知：
1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)；
3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；
4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．
選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡集合B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算得解.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以.
故選：B
2. 已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)化簡，即可得解.
【詳解】，
，
故在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.
故選：D
3. 在中，，若，，則＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】
.
故選：A

4. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有意義，
所以，解得，
此時(shí)二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸，
在上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意，
所以的取值范圍為.
故選：D
5. 拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)．若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義求得，根據(jù)，列出方程求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
①如圖（1）所示，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
則，所以，
把代入拋物線，可得，即點(diǎn)或，
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在軸上方，即，
由，可得，即
因?yàn)榍?，即，解得?br /> 所以，所以.
②如圖圖（2）所示，過分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
則，所以，
把代入拋物線，可得，即點(diǎn)或，
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在軸下方，即，
由，可得，即
因?yàn)榍遥?，解得?br /> 所以，所以.
綜上可得，
故選：A.

6. 某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（ ）
A. 124 B. 246 C. 114 D. 108
【答案】C
【解析】
【分析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計(jì)算.
【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲乙兩人安排到不同學(xué)校，有種，
不妨設(shè)甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，
利用間接法計(jì)算，有種不同安排方法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同安排方法.
故選：C
7. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像直接確定A，設(shè)結(jié)合，確定，利用點(diǎn)的坐標(biāo)確定的表達(dá)式，然后代入求值即得答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象可知,
設(shè)，由可得，
令，即，
結(jié)合圖像可得，
則，即，
將代入，即有，
故，
則，
故選：D
8. 已知四面體中，，，，直線與所成的角為，且二面角為銳二面角．當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理及均值不等式判定當(dāng)?shù)酌鏋榈妊切螘r(shí)面積最大，再確定當(dāng)垂直底面時(shí)，高最大，利用外接球的性質(zhì)確定球心，在中求出半徑.
【詳解】如圖，

因，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)底面△BCD面積最大，，
將AD沿平移至，則點(diǎn)A與到底面BCD的距離相同，且，
為使四面體ABCD高最大，則直線在底面BCD的射影為直線BC，此時(shí)面BCD，設(shè)點(diǎn)A在底面BCD的投影為，可知四邊形BCDB'為菱形，且的外心為，此時(shí)滿足二面角為銳二面角，故四面體ABCD的外接球的球心在直線上，因?yàn)椋?，，所以在中，，解得?br /> 此時(shí)外接球的表面積為，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所給條件確定四面體何時(shí)體積最大是本題解題的第一個(gè)關(guān)鍵，分別利用余弦定理、均值不等式、三角形面積公式求出底面面積最大時(shí)需滿足條件，再確定何時(shí)高最大，據(jù)此確定四面體，第二個(gè)關(guān)鍵是確定外接球球心位置，利用方程求球的半徑.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的或不選的得0分．
9. 下列命題成立的是（ ）
A. 已知，若，則
B. 若一組樣本數(shù)據(jù)的對應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為
C. 樣本數(shù)據(jù)64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位數(shù)為78
D. 對分類變量與的獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量來說，值越小，判斷“與有關(guān)系”的把握性越大
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷A，由回歸方程的系數(shù)的意義判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷C，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)：由正態(tài)分布可知，圖象關(guān)于對稱，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；
B選項(xiàng)：由題意知就是回歸方程，即為負(fù)相關(guān)，所以，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)都在回歸方程上，即相關(guān)性系數(shù)為，故B正確；
C選項(xiàng)：共由10個(gè)數(shù)，故，所以第45百分位數(shù)是由小到大排列的第5位，即78，故C正確；
D選項(xiàng)：對分類變量X與Y的獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量來說，值越小,判斷“X與Y有關(guān)系”的把握性越小，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為
B. 若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面的周長為
C. 若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線
D. 若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則到棱的最小距離為
【答案】BCD
【解析】
【分析】化折線為直線，即可判斷A，取的中點(diǎn)，連接、、、，即可證明四邊形即為平面截正方體所得截面，從而求出截面周長，即可判斷B，根據(jù)線面垂直判斷C，利用空間向量法判斷D.
【詳解】對于A：如圖將平面展開與平面處于一個(gè)平面，連接與交于點(diǎn)，
此時(shí)取得最小值，即，故A錯(cuò)誤；

對于B：如圖取的中點(diǎn)，連接、、、，
因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以且，
又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以，所以四邊形即為平面截正方體所得截面，
又，，，
所以截面周長為，故B正確；

對于C：如圖，，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br /> 平面，平面，
又，所以在直線上，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線，故C正確；

對于D：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，
所以，，
所以到棱的距離，
所以當(dāng)時(shí)，故D正確；

故選：BCD
11. 設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（ ）
A. B. 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
C. 的周期為4 D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及圖象平移判斷A，利用軸對稱及中心對稱的性質(zhì)判斷B，根據(jù)函數(shù)既是軸對稱又是中心對稱得出函數(shù)周期判斷C，利用周期及對稱的性質(zhì)判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，故關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故，故A 正確；
B選項(xiàng)，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故 ，取導(dǎo)數(shù)則 ，即 ，所以關(guān)于軸對稱，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，因?yàn)椋剩?br /> ，，故，令，得，故，故，
關(guān)于軸對稱，又關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故周期為4，則，故的周期為4，故C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，關(guān)于軸對稱，所以，因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)中心對稱，周期為4，所以，故，
所以，而的值不確定，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)對稱的判定與性質(zhì)，快速轉(zhuǎn)化，進(jìn)而判斷函數(shù)的對稱性是解決AB選項(xiàng)的關(guān)鍵，利用周期的性質(zhì)及判定確定CD的方法是常用技巧.
12. 已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則下列敘述中正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，且，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)列方程求解判斷A，化簡所給條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)確定B，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)最值得到不等式，再由不等式求解判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為不等式求解判斷D.
【詳解】對于A選項(xiàng)，， 即，
解得或，故A錯(cuò)誤；
對于B選項(xiàng)，，
若時(shí)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故無解，不成立，若時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，由零點(diǎn)存在性定理知有解，故， 故B正確；
對于C選項(xiàng)，構(gòu)造， 則，時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，解得或，故C錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，所以，因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最值，轉(zhuǎn)化為不等式，利用不等式證明或求解是解決此題的關(guān)鍵所在.
非選擇題部分
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．
13. 已知函數(shù)，則的解集為________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類討論分別計(jì)算，再取并集即可；
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以解得?br /> 當(dāng)時(shí)，時(shí)，因?yàn)?，所以，解?br /> 綜上可得不等式的解集為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分段函數(shù)不等式的解法，考查分類討論思想，屬于中檔題.
14. 若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為__．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知設(shè)圓方程為，代入，能求出圓的方程，再代入點(diǎn)到直線的距離公式即可．
【詳解】由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為，則半徑為，．
即圓的方程為，再把點(diǎn)代入，得或1，
∴圓的方程為或，對應(yīng)圓心為或；
由點(diǎn)線距離公式，圓心到直線的距離或；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
15. 已知是橢圓的左焦點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式化簡，利用均值不等式求解.
【詳解】如圖，


由橢圓方程可知，，
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，，
聯(lián)立，得：，
，
弦長，
，


，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以 的最小值為；
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，.
綜上，的最小值為.
故答案為：
16. 已知不等式對恒成立，則當(dāng)取最大值時(shí)，__________．
【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)，結(jié)合、的性質(zhì)及不等式恒成立得，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值得且，根據(jù)不等式恒成立得，應(yīng)用基本不等式求最大值并確定取值條件，此時(shí)有恒成立即可求參數(shù)值.
【詳解】由，且，
若，則在趨向于0時(shí)，函數(shù)值趨向，而趨向于，
此時(shí)在上不能恒成立，
所以，
令且，則，
令且，則，
所以時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，
則，且時(shí)，趨向正無窮時(shí)趨向正無窮，
故，使，即，
所以時(shí)，即，時(shí)，即，
所以上遞減，上遞增，則，
要使對恒成立，只需恒成立，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合已知參數(shù)比值取最大值，此時(shí)，
則，故，即.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先確定，再構(gòu)造研究最小值，根據(jù)不等式恒成立有，結(jié)合等號(hào)成立條件求參數(shù)m的值.
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，角所對的邊為．若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)降冪公式及輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
（2）先求出角，再根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【小問1詳解】

，
令，得，
所以的增區(qū)間為；
【小問2詳解】
由，得，
由，得，
所以，所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
則，
因?yàn)椋裕?br /> 所以.
18. 已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，，為等邊三角形．

（1）求證：平面平面；
（2）是否存在一點(diǎn)，滿足，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可證得平面平面；
（2） 法一，先確定出直線與平面所成的角，再求得的值即可求得的值；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)題給條件列出關(guān)于的方程即可求得的值.
【小問1詳解】
等腰梯形中，，則，
則，所以，．又，
由，得到，
又，平面，
因此平面，又因?yàn)槠矫妫?br /> 故平面平面
【小問2詳解】
方法一：由（1）知平面，面，則面面．
作于點(diǎn)，則有面．
則即為直線與面所成角，
在直角三角形中，由，，得到
由，可得，又，所以存在．
方法二：過點(diǎn)作平面于，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

其中
得到，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
由，得，
不妨設(shè)，則，，則，
又，

則，
解之得（舍去）或，所以
19. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前的項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，兩式相減化簡可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式，
（2）由（1）得，然后分別利用分組求和，錯(cuò)位相減法求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加即可.
【小問1詳解】
由，得，兩式相減得．
令數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

【小問2詳解】
由題意可得，
,
①，
則②，
①②得：,
∴,

20. 某科研所研究表明，絕大部分抗抑郁抗焦慮的藥物都有一個(gè)奇特的功效，就是刺激人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，所以又叫“快樂藥”．其實(shí)科學(xué)、合理、適量的有氧運(yùn)動(dòng)就會(huì)增加人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，從而緩解抑郁、焦慮的情緒．人體多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是，定義運(yùn)動(dòng)后多巴胺含量超過稱明顯有效運(yùn)動(dòng)，否則是不明顯有效運(yùn)動(dòng)．樹人中學(xué)為了了解學(xué)生明顯有效運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對運(yùn)動(dòng)后的60名學(xué)生進(jìn)行檢測，其中女生與男生的人數(shù)之比為1∶2，女生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占，男生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占．

女生
男生
合計(jì)
明顯有效運(yùn)動(dòng)



不明顯有效運(yùn)動(dòng)



合計(jì)




（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)完成上表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否判斷明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說明理由；
（2）若從樹人中學(xué)所有學(xué)生中抽取11人，用樣本的頻率估計(jì)概率，預(yù)測11人中不明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)最有可能是多少？
附：，其中．
參考數(shù)據(jù)：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）表格見解析，認(rèn)為明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別存在差異，理由見解析
（2）人數(shù)最有可能是3或4
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計(jì)算，與臨界值對比即可得出結(jié)論；
（2）由題意，問題可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率公式列出不等式組求解.
【小問1詳解】
因?yàn)閷?0名學(xué)生明顯有效運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)的調(diào)查，其中女生與男生的人數(shù)之比為，女生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占，男生中明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占，得到下面的列聯(lián)表：

女生
男生
合計(jì)
明顯有效運(yùn)動(dòng)
10
30
40
不明顯有效運(yùn)動(dòng)
10
10
20
合計(jì)
20
40
60
給定假設(shè)：明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別沒有關(guān)系．
由于，
則根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有充分的證據(jù)推斷假設(shè)不成立，因此認(rèn)為明顯有效運(yùn)動(dòng)與性別存在差異．
【小問2詳解】
由樣本數(shù)據(jù)可知，不明顯有效運(yùn)動(dòng)的頻率為，用樣本的頻率估計(jì)概率，所以不明顯有效運(yùn)動(dòng)的概率為，
設(shè)11人不明顯有效運(yùn)動(dòng)人數(shù)為，則
所以
假設(shè)11人中不明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)最有可能是，
則，
解得，，
故或.
所以11人中不明顯有效運(yùn)動(dòng)的人數(shù)最有可能是3或4．
21. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【答案】（1）
（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給條件，列出方程組，求出即可得解；
（2）設(shè)出直線方程及M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出截距建立方程，再由解方程得或，即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)，
由可得，又，
，
又焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為，解得：．
所以雙曲線的方程：.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，如圖，

由得，
，
，直線，則直線在軸上的截距為，
直線，則直線在軸上的截距為，
由題得：，又，
所以．
所以，則，
，
，
，化簡得：或．
若，直線過頂點(diǎn)，舍去．．
則直線的方程為，
所以直線過定點(diǎn)．
22. 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)研究大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解；
（2）要證不等式可轉(zhuǎn)化為，換元后分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求出不等式右邊的最小值即可得解.
【小問1詳解】
由于，
由題知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．
令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，，故的圖象如圖所示，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．
故有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【小問2詳解】
由于
若設(shè)，則上式即為
由（1）可得，兩式相除得，即，
由得
所以，令，
則在恒成立，由于，
令，則，，
顯然在遞增，
又有，所以存在使得，
且易得在遞減，遞增，又有，
所以存在使得，且易得在遞減，遞增，
又，則時(shí)，時(shí)，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，
所以的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：不等式恒成立進(jìn)行恒等轉(zhuǎn)化，換元后在進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)為是解題的第一個(gè)關(guān)鍵，再換元后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，也是解題的難點(diǎn).

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