浙江省A9協(xié)作體2025屆高三8月暑假返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2.答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方.
3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.
第Ⅰ卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合B，根據(jù)集合的交集運算，即得答案.
【詳解】解，得，
所以，
所以，
故選：A.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)求出共軛復(fù)數(shù)，再求模即可.
【詳解】因為，所以，
，
所以，，故C正確.
故選：C.
3. 已知平面向量，若，則（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得，從而解出的值.
【詳解】因為，所以，，
則，所以，
故選：D.
4. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用和差公式展開求得，在把和差公式展開代入即可求解.
【詳解】因為，
所以，則，
故選：B
5. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減列不等式，由此來求得的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，則，即.
故選：A
6. 方程在的根的個數(shù)為（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出和圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解．
【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出和圖象，
因為，，，，
所以與圖象在區(qū)間上有三個不同的交點，即方程有三個不同的根，
故選：B．

7. 一圓柱放置于底面直徑和高都是2的圓錐內(nèi)，其底面放在圓錐底面上，則圓柱體積最大為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，利用圓錐與圓柱的特征及體積公式表示圓柱體積，再求導(dǎo)判定其最值即可.
【詳解】
如圖，作出其軸截面，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，
由，則，所以，
因為，令，則，
易知時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，
所以.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，且若，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】運用分段函數(shù)求值方法，注意分清在哪一段，進(jìn)行討論即可.
【詳解】由逆推得，
；
；
；
；
；
.
所以，.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對分別記0分、2分、4分或0分、3分，有選錯的得0分.
9. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則以下選項正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用期望與方差的性質(zhì)結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計算一一判定選項即可.
【詳解】A選項：，故A正確；
B選項：，故B錯誤；
C選項：由正態(tài)分布密度曲線知其關(guān)于對稱，
利用對稱性知，故C正確；
D選項：因為，
所以，，故D錯誤.
故選：AC
10. 三次函數(shù)敘述正確的是（）
A. 函數(shù)可能只有一個極值點
B. 當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
C. 當(dāng)時，過點的切線可能有一條或者兩條
D. 當(dāng)時，在點處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個交點
【答案】BD
【解析】
【分析】求導(dǎo)，令，利用結(jié)合二次函數(shù)的圖象可判斷A；利用是奇函數(shù)，可判斷B；設(shè)切點x1,fx1，切線方程為，結(jié)合已知可得，求解可判斷C；在點x0,fx0處的切線為，與曲線方程聯(lián)立方程求解可判斷D.
【詳解】對于A選項：，令，
即，
當(dāng)時，方程有兩個不同根，有兩個極值點；
當(dāng)時，無個極值點，故A錯誤；
對于B選項：，又是奇函數(shù)，關(guān)于點對稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；
對于C選項：設(shè)切點x1,fx1，則切線方程，
因為過點x0,fx0，所以，
即，
整理得，所以，或，由于，
則兩根相等，即只有一個切點，即只有一條切線，故C錯誤；
對于D選項：在點x0,fx0處的切線為，
與曲線聯(lián)立方程組化簡得，，
所以，或，由于，則方程組有兩個不同解，
即有兩個不同交點，故D正確.
故選：BD.
11. 數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數(shù)學(xué)表達(dá)式：，克里斯蒂娜用極坐標(biāo)知識畫出了該曲線圖象“心形線”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關(guān)系式和可將信中表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點，則（）
A.
B. 曲線經(jīng)過點
C. 當(dāng)點在曲線上時，
D. 當(dāng)點在曲線上時，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題目所給已知條件進(jìn)行化簡，得到，然后根據(jù)曲線圖象所過點、曲線方程、導(dǎo)數(shù)與極值、換元法以及判別式（或者三角恒等變換）的方法對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】因為，所以，
利用關(guān)系式得，…（*）
A選項：因曲線圖象過點，所以此時，
代入（*）得，所以，故A正確；
B選項：因為，所以（*）化為，
所以直角坐標(biāo)系下的曲線方程為，
代入點滿足，故B正確；
C選項：，設(shè)，
則，令，得或，
時，，所以，
時，，
則有極值，由對稱性，所以，故C錯誤；
D選項：方法1：由兩邊平方整理得:
，令，
則（*），由判別式，得.
令，由于方程（*）在有解，
（1）當(dāng)對稱軸，即或時，
由得，所以；
（2）當(dāng)對稱軸，即時，
由，得，所以，
綜上，.故D正確.
方法2：，
所以.故D正確.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：求解參數(shù)的取值范圍，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解，也可以利用換元法來進(jìn)行求解.其中換元法可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后結(jié)合判別式來求解，也可以考慮利用三角換元，利用三角恒等變換的知識來求解.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.
12. 雙曲線的離心率為__________．
【答案】
【解析】
【詳解】∵雙曲線的方程為
∴，
∴
∴
故答案為
13. 曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實數(shù)______.
【答案】
【解析】
【分析】求出在處的切線方程，設(shè)出的切點聯(lián)立方程組可解得.
【詳解】對于，易知，切線斜率為，切點為0,1；
則曲線在處的切線為，
顯然，設(shè)切點，
由，解得.
故答案為：2
14. 嵊（shèng）州是歷史文化名城，早在秦朝已設(shè)郡縣，古稱剡（shàn）縣，贍縣、嵊縣，古往今來無數(shù)文人墨客都醉心于嵊州的山水風(fēng)景之中，李白曾夢到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有詩曰：剡溪蘊秀異，欲罷不能忘，其中萬年小黃山，千年唐詩路，百年越劇是三張重要歷史文化名片，現(xiàn)有甲、乙兩人到達(dá)高鐵嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬年小黃山、千年唐詩路之謝靈運垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個景點，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是和，則甲、乙打卡不相同景點的概率為______.
【答案】
【解析】
【分析】求出甲乙打卡相同景點的概率，根據(jù)對立事件的概率計算，即可得答案.
【詳解】甲乙打卡相同景點的概率為，
所以甲、乙打卡不相同景點的概率為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)該寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.
15. 在中，角所對的邊分別為，且，.
（1）證明：；
（2）若，求邊上中線的長.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）運用正弦定理邊角互化，再用余弦定理可解.
（2）運用余弦定理，結(jié)合邊角互化可解.
【小問1詳解】
證明：因為，由正弦定理得，，所以，
因為，由余弦定理，，
代入得，，化簡得，
所以，即證；
【小問2詳解】
因為，所以，所以，，
在中，由余弦定理，
故.
16. 已知三棱錐平面，為的中點，為延長線上一點.

（1）證明：；
（2）當(dāng)二面角余弦值大小為時，求的長.
【答案】（1）證明見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法建立方程，求解參數(shù)即可.
【小問1詳解】
因為平面平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因為面，所以，又因為為的中點，，
所以，因為，平面，
所以平面，因為平面，所以；
【小問2詳解】

如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
取平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，
因為，
由，則，令，解得，
所以，由，
得，解得或，故或.
17. 已知橢圓的上頂點，點在橢圓上，斜率為的直線過點交橢圓于另一點.
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e是時，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓上頂點的坐標(biāo)得到的值，由在橢圓上，代入橢圓方程求出的值；
（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程得到點的橫坐標(biāo)，由弦長公式得到，由點到直線的距離公式得到點到的距離，從而用表示出的面積，由面積為，解出的值.
【小問1詳解】
因為橢圓的上頂點為，所以，
則橢圓方程為，
因為在橢圓上，所以，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立消去并整理得，
由，得，
則，
到直線的距離，
則，
解得或.
18. 設(shè)函數(shù).
（1）求的最大值；
（2）若函數(shù)的極小值點為，證明：；
（3）若恒成立，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求出f′x，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出f′x的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最大值；
（2）由（1）得出f′x在單調(diào)遞增，計算，結(jié)合零點存在定理即可得出存在唯一的，使得，再結(jié)合極小值點定義可判斷為極小值點，從而得證；
（3）不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出Fx最小值,得出恒成立的結(jié)論，再一次構(gòu)造函數(shù)，求出最大值即可得證.
【小問1詳解】
令，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以f′x在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，f′x的最大值為；
【小問2詳解】
由（1）知，f′x在單調(diào)遞增，
又
由函數(shù)零點存在定理可得必然存在唯一的，使得，
且當(dāng)時，f′x0，
所以，函數(shù)的極小值點滿足.
【小問3詳解】
由，得，
設(shè)，，
①當(dāng)時，必然存在使得，故不符合題意；
②當(dāng)時，F(xiàn)x在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
則，即，
所以，
令，則，
所以上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以，，
即
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）小問的關(guān)鍵點是借助第（1）小問的結(jié)論，然后計算出，再結(jié)合零點存在定理即可得證；第（3）小問的關(guān)鍵點是兩次使用了將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而得證.
19. 設(shè)為大于3的正整數(shù)，數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，從中選取項組成一個新數(shù)列，記為，如果對于任意的，均有，那么我們稱數(shù)列為數(shù)列的一個數(shù)列．
（1）若數(shù)列為，寫出所有的數(shù)列；
（2）如果數(shù)列公差為，證明：；
（3）記“從數(shù)列中選取項組成一個新數(shù)列為數(shù)列的數(shù)列”的概率為，證明：．
【答案】（1）2，3，1，4；3，2，4，1
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義求解即可；
（2）由題知，為的最大值或最小值的一個排列，則有為的最大值或最小值的一個排列，分類討論即可證明；
（3）由（2）知，數(shù)列任意元子集必存在2個數(shù)列，則任意取項的排列數(shù)為，而為數(shù)列的數(shù)列的個數(shù)為，所以．
小問1詳解】
由數(shù)列的定義知，的數(shù)列為：2，3，1，4；3，2，4，1．
【小問2詳解】
對于項的數(shù)列一個數(shù)列，
因為對于，均有，
所以，
所以不是所有項中的最大值或最小值，
所以為的最大值或最小值的一個排列，
考慮中去掉后的數(shù)列，
同理若數(shù)列為數(shù)列的一個數(shù)列，
則有為的最大值或最小值的一個排列，
以此類推，當(dāng)時，
①若為最大值，則為最小值，則，
所以，；
②若為最大值，則為最小值，則，
所以，，
綜上，．
小問3詳解】
由（2）知，數(shù)列任意元子集必存在2個數(shù)列，
因此任意取項的排列數(shù)為，而為數(shù)列的數(shù)列的個數(shù)為，
所以，
因為，
所以，，
所以．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的定義，證明第（2）問中，由定義得出所以，且為的最大值或最小值的一個排列是解題關(guān)鍵；證明（3）時，得出數(shù)列任意元子集必存在2個數(shù)列是解題關(guān)鍵．

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