2022學(xué)年第二學(xué)期高二年級開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 在空間四邊形中，等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選：C2. 直線的一個(gè)方向向量是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個(gè)方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量為，又因?yàn)?/span>與共線，所以的一個(gè)方向向量可以是，故選：A.3. 已知命題：直線與平行，命題，則是的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系可得命題等價(jià)于或，結(jié)合充分不必要條件的判斷即可求解.【詳解】直線與平行，則 ，解得或，所以命題等價(jià)于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．4. 若平面，的法向量分別為，，則（    ）A.  B.  C. ，相交但不垂直 D. 以上均不正確【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角余弦值，即可判斷面面關(guān)系.【詳解】由，而，由所得向量夾角余弦值知：，相交但不垂直.故選：C5. 已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為（    ）A  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，利用向量相等列方程組即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>在基底下的坐標(biāo)為，即，設(shè)，、、，所以，令，解得，，；所以在基底下坐標(biāo)為．故選：B.6. 與直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】解析：設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線問題,一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)問題解決,屬于基礎(chǔ)題.7. 已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量求法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離是.故選：D.8. 已知，滿足，則的最小值為（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于線段的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，且有.根據(jù)幾何意義，結(jié)合圖象，即可得出取最小值時(shí)，點(diǎn)的位置，進(jìn)而得出答案.【詳解】如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對稱點(diǎn)，則.設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)，則，所以，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以，可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.過作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和有最小值.過點(diǎn)作軸，則即為最小值，與線段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置.因?yàn)?/span>，所以的最小值為.故選：B．二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 是空間的一個(gè)基底，與?構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間基底、共面等知識確定正確答案.【詳解】由于，所以、、共面，不能構(gòu)成基底，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于，所以、?共面，不能構(gòu)成基底，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.假設(shè)，則，但此方程組無解，所以、?不共面，可以構(gòu)成基底，A選項(xiàng)正確.假設(shè)，則，但此方程組無解，所以、?不共面，可以構(gòu)成基底，C選項(xiàng)正確.故選：AC10. 已知直線，則下列表述正確的是（    ）A. 當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為B. 當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線恒過點(diǎn)C. 當(dāng)直線與直線平行時(shí)，則兩條直線的距離為1D. 直線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，可求出直線斜率，即可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，將直線方程整理為，由此可得直線所過定點(diǎn)；C選項(xiàng)，由題可得，后由平行直線距離公式可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，分別令，可得直線與軸，x軸交點(diǎn)為，.則圍成三角形面積為，后由基本不等式可判斷選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線方程為，可得直線斜率為1，則傾斜角為，故A正確；B選項(xiàng)，由題可得，則直線過定點(diǎn)，故B正確；C選項(xiàng)，因直線與直線平行，則，則直線方程為：，即.則與直線之間的距離為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，分別令，可得直線與軸，x軸交點(diǎn)為，.又交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸正半軸，則.故圍成三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.即面積最小值為4，故D正確.故選：ABD.11. 在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（    ）A.  B. C. 異面直線與所成角的余弦值為 D. 點(diǎn)到直線的距離是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積、模、異面直線的夾角、點(diǎn)到直線的距離等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.設(shè)異面直線與所成角為，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.到直線距離為，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD12. 對于兩點(diǎn)，，定義一種“距離”：，則（    ）A. 若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則B. 中，若，則C. 在中，D. 在正方形ABCD中，有【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)新定義，，之間的“距離:對選項(xiàng)逐個(gè)分析即可判斷其正誤即可．【詳解】A中，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，則，故A正確；B中，因?yàn)?/span>中，若，取，，則，，，故，，顯然，故B不正確；對于C，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，同理，所以，故C正確;D中，因?yàn)?/span>ABCD為正方形，設(shè)正方形邊長為a，可取，則，，故D正確．故選：ACD.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知向量，，且，則___________.【答案】##-0.5【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】向量，，且，則有，解得.故答案為：14. 已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______【答案】【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量為,，計(jì)算即可求出答案．【詳解】向量，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為,,0,,0,，故答案為：．15. 點(diǎn)到直線的距離的最大值是________．【答案】【解析】【分析】直線恒過點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系可得，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【詳解】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，記，直線為直線，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，∴點(diǎn)到直線距離的最大值為：.故答案為：.  16. 是直線上的第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)C，當(dāng)面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再列出三角形面積的關(guān)系式，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，設(shè)，，則，而，則有，顯然，于是，由點(diǎn)在x軸正半軸上，得，面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以當(dāng)面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：  四?解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，；  （1）用向量，，表示向量；（2）求線段的長度．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理利用向量的加減法法則求解即可，（2）先根據(jù)題意可得，，，然后對平方化簡可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，為中點(diǎn)， ，，，所以；【小問2詳解】因?yàn)槠叫辛骟w中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，所以，，，所以所以，即線段PM長為18. 設(shè)復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且滿足．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)模公式以及復(fù)數(shù)相等的概念，即可求解；（2）將復(fù)數(shù)z代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念即可求解.【小問1詳解】設(shè)，，，解得.【小問2詳解】是方程的一個(gè)根，，即，則19. 如圖，面積為8的平行四邊形ABCD，A為原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C，D在第一象限．  （1）求直線CD的方程；（2）若，求點(diǎn)D橫坐標(biāo)．【答案】（1）    （2）橫坐標(biāo)為或2【解析】【分析】（1）由題意可得，設(shè)直線CD的方程為（），結(jié)合平行四邊形ABCD的面積、求得AB與CD之間的距離，利用平行線的距離公式列方程求參數(shù)m，根據(jù)題設(shè)寫出直線方程；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在直線上、兩點(diǎn)距離公式列方程求坐標(biāo)即可.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形，所以，則．設(shè)直線CD的方程為（），即．因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>ABCD的面積為8，，故AB與CD之間的距離為．由題圖知：直線AB的方程為，于是，解得．由C，D在第一象限知：，所以，故直線CD的方程為．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由，則．所以，解得或，故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或2．20. 在ABC中．a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，（1）求角C：（2）若，求銳角ABC面積的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）對已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，然后化簡可求出角；（2）設(shè)的外接圓半徑為，利用正弦定理將已知等式化簡變形可求得，再利用正弦定理可求得，，然后表示出三角形的面積，利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果．【小問1詳解】及正弦定理得，        ∴，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴．【小問2詳解】設(shè)外接圓的半徑為，由，得，即，則，∴．        的面積．∵，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，即銳角面積的取值范圍是．21. 如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，四邊形為梯形，，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，從而得到，由線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值；由面面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，，，四邊形為平行四邊形，又，，即；為等邊三角形，，又平面平面，平面平面，平面，平面；則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，解得：，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.22. 已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，且求證：①②.【答案】（1）    （2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意去絕對值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)不符合題意即，且進(jìn)而得到，然后根據(jù)題意代入即可證明；②根據(jù)題意和求根公式可得，，然后作差即可證明.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；因此的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】①，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在僅有一個(gè)零點(diǎn)，在沒有零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以在沒有零點(diǎn)，不合題意；因此，所以在僅有一個(gè)零點(diǎn)，在有兩個(gè)零點(diǎn)，，且當(dāng)時(shí)；，∴，∵，∴，∴，∵，∴，綜上：②由題意可知：，，∴，

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