1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù) (形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).
1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作 或 .
(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的 ，相應(yīng)的切線方程為 .
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝ ；
[cf(x)]′＝ .
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝ ，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
1.區(qū)分在點處的切線與過點處的切線(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(　　)(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(　　)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)(4)(cs 2x) ′＝－2sin 2x.(　　)
1.若函數(shù)f(x)＝3x＋sin 2x，則
因為函數(shù)f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3xln 3＋2cs 2x.
又∵f(1)＝e＋1，∴切點為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
3.已知函數(shù)f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝ .
由題意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
對于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正確；對于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正確；
對于D，(2x＋cs x)′＝(2x)′＋(cs x)′＝2xln 2－sin x，故D正確.
(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，則f′(2)等于A.1　　　B.－9　　　C.－6　　　D.4
因為f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.
f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cs(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cs(2x＋3)，故A正確；f(x)＝e－2x＋1，則f′(x)＝－2e－2x＋1，故B錯誤；
f(x)＝xln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正確.
命題點1　求切線方程例2　(1)(2023·大同模擬)已知函數(shù)f(x)＝2e2ln x＋x2，則曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為A.4ex－y＋e2＝0 B.4ex－y－e2＝0C.4ex＋y＋e2＝0 D.4ex＋y－e2＝0
所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.
(2)過坐標(biāo)原點作曲線y＝ln x的切線，則切點的縱坐標(biāo)為
設(shè)切點為P(x0，ln x0)(x0>0)，切線為l，
所以切點為P(e,1)，縱坐標(biāo)為1.
命題點2　求參數(shù)的值(范圍)例3　(1)若直線y1＝ax＋a與曲線y2＝ln x＋2相切，則a等于A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1
(2)(2022·新高考全國Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是 .
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因為y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.
設(shè)切點為A(x0，(x0＋a) )，O為坐標(biāo)原點，
因為曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a0，所以a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
(1)處理與切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.(2)注意區(qū)分“在點P處的切線”與“過點P的切線”.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2023·張家口模擬)已知函數(shù)f(x)＝ －2x＋ln x，則函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為A.2x＋y－2＝0 B.2x－y－1＝0C.2x＋y－1＝0 D.2x－y＋1＝0
所以f′(1)＝－2，又f(1)＝－1，故函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－1)，化簡得2x＋y－1＝0.
例4　(1)若存在過點(0，－2)的直線與曲線y＝x3和曲線y＝x2－x＋a都相切，則實數(shù)a的值是 .
設(shè)切線為l，l與曲線y＝x3和曲線y＝x2－x＋a的切點分別為P(m，m3)，Q(n，n2－n＋a)，令f(x)＝x3，則f′(x)＝3x2，f′(m)＝3m2，則切線l的方程為y－m3＝3m2(x－m)，又點(0，－2)在切線l上，則－2－m3＝3m2(0－m)，解得m＝1，則切線l的方程為y＝3x－2.
令h(x)＝x2－x＋a，則h′(x)＝2x－1，h′(n)＝2n－1，則有2n－1＝3，即n＝2，則切點Q(2，2＋a)，令H(0，－2)，
(2)(2022·?？谀M)已知存在a>0，使得兩曲線f(x)＝aln x與g(x)＝x2－3x－b存在相同的切線，且切線的斜率為1，則b的最大值為 .
令g′(x)＝2x－3＝1，得x＝2，∴切點為(2，－2－b).代入切線方程y－aln a＝x－a，可得－2－b－aln a＝2－a，則b＝a－aln a－4，令h(x)＝x－xln x－4，x>0，則h′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，當(dāng)01時，h′(x)0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，則切線的斜率為k＝f′(a)＝－4a，
因為兩函數(shù)的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，
又由g(1)＝－1，即公共點的坐標(biāo)為(1，－1)，將點(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
(2)(2022·邢臺市四校聯(lián)考)若直線l與函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝ln x的圖象分別相切于點A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，則x1x2－x1＋x2等于A.－2 B.－1C.1 D.2
由f(x)＝ex，g(x)＝ln x，
曲線y＝f(x)在點A處的切線方程為y＝ x＋ (1－x1)，
所以 (1－x1)＝－1＋ln x2，
1.(2023·廣州模擬)曲線y＝x3＋1在點(－1，a)處的切線方程為A.y＝3x＋3 B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1 D.y＝－3x－3
因為f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又當(dāng)x＝－1時，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在點(－1，a)處的切線方程為y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.
2.記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x).若f(x)＝exsin 2x，則f′(0)等于A.2　　　B.1　　　C.0　　　D.－1
因為f(x)＝exsin 2x，則f′(x)＝ex(sin 2x＋2cs 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cs 0)＝2.
3.(2022·廣西三市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程為y＝ ＋2，那么f(1)＋f′(1)等于A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
4.已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－e)，且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的斜率為A.－2　　　B.2　　　C.－e　　　D.e
設(shè)切點坐標(biāo)為(t，tln t)，∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直線l的斜率為f′(t)＝ln t＋1，∴直線l的方程為y－tln t＝(ln t＋1)(x－t)，將點(0，－e)的坐標(biāo)代入直線l的方程得－e－tln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直線l的斜率為f′(e)＝2.
因為直線y＝2x－1的斜率等于2，
6.(多選)定義方程f(x)＝f′(x)的實數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新不動點”，則下列函數(shù)中只有一個“新不動點”的是A.g(x)＝x·2xB.g(x)＝－ex－2xC.g(x)＝ln xD.g(x)＝sin x＋2cs x
對于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，
∴g(x)只有一個“新不動點”，故A正確；對于B，g′(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，∴g(x)只有一個“新不動點”，故B正確；
∴g(x)只有一個“新不動點”，故C正確；對于D，g′(x)＝cs x－2sin x，由sin x＋2cs x＝cs x－2sin x，得3sin x＝－cs x，
∴g(x)有無數(shù)個“新不動點”，故D錯誤.
7.寫出一個同時具有性質(zhì)：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0的函數(shù)f(x)＝ 　　　　　　 .
ln x(答案不唯一)
若函數(shù)f(x)＝ln x，則f(x1x2)＝ln(x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f(x1)＋f(x2)，滿足①；
8.(2023·龍巖質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝x3＋ln x在點(1，f(1))處的切線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 .
所以f(1)＝1，f′(1)＝3＋1＝4，所以函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線l：y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.(1)求f′(e)及f(e)的值；
∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
(2)求f(x)在點(e2，f(e2))處的切線方程.
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
10.(2022·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲線y＝f(x)在點(x1，f(x1))處的切線也是曲線y＝g(x)的切線.(1)若x1＝－1，求a；
當(dāng)x1＝－1時，f(－1)＝0，所以切點坐標(biāo)為(－1,0).由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切線斜率k＝f′(－1)＝2，所以切線方程為y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.將y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.
由切線與曲線y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.
(2)求a的取值范圍.
令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.
則h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1).
當(dāng)x變化時，h′(x)，h(x)的變化如表所示，
當(dāng)x＝1時，h(x)取得極小值h(1)＝－4，易知當(dāng)x→－∞時，h(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時，h(x)→＋∞，所以函數(shù)h(x)的值域為[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故實數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞).
11.若過點P(a,0)與曲線y＝xex相切的直線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是A.a≥0 B.a2或a0或a0，解得a>0或a

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