2022-2023學(xué)年山西省大同市渾源中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?/span>，，所以.故選：C.2．設(shè)函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得a的范圍，再運(yùn)用集合的包含關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3．已知若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究分段函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖形，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；作出在上的圖象，如圖：由圖可知要使有3個(gè)不同的實(shí)根，則.故選：D.4．已知平面向量，滿足，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律求投影向量即可.【詳解】由知：，可得，所以在上的投影向量為.故選：A5．在中，點(diǎn)O滿足，過點(diǎn)O的直線分別交射線AB，AC于點(diǎn)M，N，且，，則的最小值為（    ）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】利用共線定理的推論可得，然后妙用“1”可得.【詳解】由題可知，，因?yàn)?/span>，，所以，，又，所以，所以，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：A  6．三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角是指由有公共端點(diǎn)且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角余弦定理告訴我們，若，，，平面與平面所成夾角為，則.現(xiàn)已知三棱錐，，，，，，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，作，平面，則，先表示出，接著用條件表示成，要使三棱錐的體積最大，則最大，利用基本不等式得出時(shí)，其體積最大，然后補(bǔ)全三棱錐成棱柱，根據(jù)棱柱外接球半徑即可求解.【詳解】由題知，，，，平面與平面所成夾角為，作，平面，則，  由題意得，，，，，，所以，要使三棱錐的體積最大，則最大，在中，由余弦定理得，，整理得，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，，，因?yàn)?/span>，解得，所以，，即，，，所以補(bǔ)全三棱錐成棱柱，如下圖，  則四邊形是菱形，點(diǎn)為其外接球的球心，即中點(diǎn)，所以，，，所以外接球半徑為，即三棱錐外接球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】三棱錐外接球表面積問題，從以下幾個(gè)角度分析：（1）面面角的定義以及辨析；（2）求解最值時(shí)，基本不等式的利用；（3）幾何體割補(bǔ)法的應(yīng)用；（4）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.7．已知函數(shù)在處取得極大值10，則的值為（    ）A． B．或2 C．2 D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意得到，代入數(shù)據(jù)解得答案，再驗(yàn)證排除即可.【詳解】，則，根據(jù)題意：，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故處取得極小值，舍去；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故處取得極大值，滿足.故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)極值求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，多解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.8．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．【答案】A【分析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時(shí)事半功倍，信手拈來．9．若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求時(shí)函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值，得時(shí)，，求出m的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，，因?yàn)?/span>的最小值為，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.①若，在上單調(diào)遞減，，，得； ②若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去.綜上.故選：B.10．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是橢圓C上任意一點(diǎn)，且的取值范圍為．當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為m，外接圓半徑為n，則mn的最大值為（    ）．A． B． C． D．1【答案】C【分析】由的取值范圍為可求出，由正弦定理可得，再由焦點(diǎn)三角形的等面積法可得，所以，求出即可得出答案.【詳解】，，所以，所以，解得：，設(shè)，由正弦定理可得：，，可得：，又因?yàn)?/span>，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為A，所以，所以，所以，又因?yàn)楫?dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，，，所以，故當(dāng)時(shí)，mn取得最大值為.故選：C.11．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由結(jié)合二項(xiàng)分布概率公式以及方差公式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，即，解得，即，所以.故選D.12．三位同學(xué)獲得本年度數(shù)學(xué)競賽前三名，老師告知他們?nèi)缦滦畔ⅲ?/span>①甲是第三名；②乙不是第一名；③丙不是第三名，并告知他們以上3條信息有且只有1條是正確信息，則該三位同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績從高到低的排序?yàn)椋?/span>   ）A．甲、乙、丙 B．丙、乙、甲C．乙、丙、甲 D．乙、甲、丙【答案】A【分析】利用反證法，邏輯推理處矛盾.【詳解】若①正確，②③不正確，即甲是第三名，乙是第一名，丙是第三名，則甲丙都是第三名，矛盾；若②正確，①③不正確，即甲不是第三名，乙不是第一名，丙是第三名，則甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名；若③正確，①②不正確，即甲不是第三名，乙是第一名，丙不是第三名，此時(shí)沒有人是第三名，不符合題意.綜上，甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名.故選：A. 二、填空題13．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組觀測數(shù)據(jù)如下表所示，若據(jù)此利用最小二乘估計(jì)得到回歸方程，則       .34562.544.5 【答案】3【分析】根據(jù)題意計(jì)算樣本中心點(diǎn)，代入回歸方程即可得到答案.【詳解】解：，，所以樣本中心點(diǎn)為：.因?yàn)榛貧w方程，樣本中心點(diǎn)在回歸方程上，所以，解得：.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸方程上求參數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．有窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則的最小值是         .【答案】/0.75【分析】利用等差中項(xiàng)易知，再由基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值，注意取值條件.【詳解】由，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立且滿足題設(shè).故答案為：15．如圖，已知雙曲線：與過其焦點(diǎn)的圓相交于，，，四個(gè)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與雙曲線交于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，則雙曲線的離心率為       .  【答案】【分析】根據(jù)雙曲線與圓的對稱性確定關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用直線斜率的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)關(guān)系即可得關(guān)系，從而可得雙曲線離心率.【詳解】由題可知關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以又在雙曲線上，所以，則，所以，即，①∴由，連接，可得可得，②  由①②聯(lián)立，所以離心率.故答案為：.16．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為          ．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線方程求出、、，再由雙曲線的定義求出、，最后由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)殡p曲線，則，，所以，因?yàn)?/span>為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為： 三、解答題17．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為 【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>所以，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；（2）由函數(shù)在處取得極值可知：，即，解得：，此時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以符合題意.綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.18．已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時(shí)，求證：平面平面；(2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（2）作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.【詳解】（1）因，，，則有，即有，又，且，平面，于是得平面，而平面，所以平面平面.（2）在平面內(nèi)，過B作直線垂直于，交直線于E，有，，如圖，則為二面角的平面角，平面，，于是得，中，，則，在中，，，，由余弦定理得，則有，顯然平面平面，在平面內(nèi)過B作，則平面，以B為原點(diǎn)，分別以射線為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得而，設(shè)與平面所成的角為，所以與平面所成的角的正弦值為.19．在數(shù)列中，，.(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即得；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件可得，然后利用裂項(xiàng)相消法即得.【詳解】（1）由已知可得，∴，又，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，因此，，所以.20．根據(jù)交管部門有關(guān)規(guī)定，駕駛電動(dòng)自行車必須佩戴頭盔，保護(hù)自身安全，某市去年上半年對此不斷進(jìn)行安全教育.下表是該市某主干路口去年連續(xù)5個(gè)月監(jiān)控設(shè)備抓拍到的電動(dòng)自行車駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份12345不戴頭盔人數(shù)120100907565(1)請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)與月份之間的回歸直線方程；(2)交管部門統(tǒng)計(jì)連續(xù)5年來通過該路口的電動(dòng)車出事故的100人，分析不戴頭盔行為與事故是否傷亡的關(guān)系，得到下表，能否有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān)？ 不戴頭盔戴頭盔傷亡1510不傷亡2550參考數(shù)據(jù)和公式：， 【答案】(1)；(2)有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān) 【分析】（1）先求得，進(jìn)而求得不戴頭盔人數(shù)與月份之間的回歸直線方程；（2）求得的值并與進(jìn)行大小比較進(jìn)而得到是否有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān).【詳解】（1）由題意知， ， ，  ， 所以，回歸直線方程為（2） 故有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān)21．某公司組織本單位員工參加抽獎(jiǎng)得消費(fèi)優(yōu)惠券活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：每人從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的4個(gè)黃球、4個(gè)紅球的箱子中一次性地隨機(jī)摸出3個(gè)球，若恰有1個(gè)紅球可獲得50元優(yōu)惠券，恰有2個(gè)紅球可獲得100元優(yōu)惠券，3個(gè)都是紅球可獲得200元優(yōu)惠券，其他情況無優(yōu)惠券.小王參加了公司的抽獎(jiǎng)活動(dòng).(1)求小王恰好摸出1個(gè)黃球的概率；(2)設(shè)小王獲得的優(yōu)惠券金額為X，求X的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計(jì)算求解即可；（2）分情況寫出離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望即得.【詳解】（1）記事件：小王恰好摸出1個(gè)黃球，則.（2）由題意，得的可能取值為0，50，100，200，，，，.所以X的分布列為X050100200P所以.22．已知.(1)若，求的極值；(2)若，，，且，其中，，求證：.【答案】(1)極大值為；無極小值(2)證明見解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）易得在單調(diào)遞增，再由，兩邊取對數(shù)得到，則有，又，且，，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明.【詳解】（1）解：由題：，，令，解得，列表如圖:單調(diào)遞增單調(diào)遞減故當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為；無極小值.（2）證明：若，則，結(jié)論成立；若，，令，得，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增.要證，只需證，又，且在單調(diào)遞增，故只需證明，又因?yàn)?/span>，故只需證明，由，，故只需證明：，令，只需證，，在單調(diào)遞增，. 證畢.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問基本思路是利用在單調(diào)遞增，將證，轉(zhuǎn)化為進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證，再結(jié)合，，得到而得證. 

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