
均值與方差的綜合例1在某地舉辦的射擊比賽中,規(guī)定每位射手射擊10次,每次一發(fā),記分的規(guī)則為:擊中目標(biāo)一次得3分,未擊中目標(biāo)得0分,凡參賽者一律另加2分.已知射手小李擊中目標(biāo)的概率為0.9,求小李在比賽中得分的均值與方差.解:設(shè)擊中次數(shù)為X,比賽得分為Y,則Y=3X+2.由題意知X~B(10,0.9),所以E(X)=10×0.9=9,D(X)=10×0.9×(1-0.9)=0.9.E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2=29,D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=8.1.所以小李在比賽中得分的均值為29,方差為8.1.
反思感悟 通過審題,明確判斷出隨機(jī)變量X(擊中次數(shù))服從二項(xiàng)分布是解決這個題的關(guān)鍵,然后利用二項(xiàng)分布的均值和方差的計算公式即可求出E(X),D(X).
變式訓(xùn)練1某運(yùn)動員投籃命中率P=0.6.(1)求1次投籃命中次數(shù)ξ的均值與方差;(2)求重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)η的均值與方差.解:(1)投籃1次只有兩種結(jié)果,投籃命中ξ=1,不中ξ=0,服從兩點(diǎn)分布,其分布列為
則E(ξ)=1×0.6=0.6,D(ξ)=(1-0.6)×0.6=0.24.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)η服從二項(xiàng)分布,即η~B(5,0.6).由二項(xiàng)分布均值與方差的計算公式知,E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2.
離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型例2設(shè)袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍(lán)球得3分.(1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取一個球,記下顏色后放回,再取一個球(每球取到的機(jī)會均等),記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列.(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個球,記隨機(jī)變量η為
(2)由題意知η的分布列為
反思感悟 離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差.可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.(3)由已知條件,作出對兩種方案的判斷.可依據(jù)均值、方差的意義,對實(shí)際問題作出判斷.
變式訓(xùn)練2為迎接2022年北京冬奧會,推廣滑雪運(yùn)動,某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時間不超過1小時免費(fèi),超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動,設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為 ;1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為 ;兩人滑雪時間都不會超過3小時.(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列與均值E(ξ),方差D(ξ).
均值與方差在決策中的應(yīng)用例3計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:
若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺發(fā)電機(jī)年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺發(fā)電機(jī)年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺?
(2)記水電站年總利潤為Y(單位:萬元).①安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000.②安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意,當(dāng)40
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這是一份人教版新課標(biāo)A必修32.3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系課時作業(yè),共6頁。試卷主要包含了5,506,③將數(shù)據(jù)分組,eq \f,5,502等內(nèi)容,歡迎下載使用。
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