高三階段性考試數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2. 請將各題答案填寫在答題卡上.3. 本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可化簡集合A，后化簡集合B，后由交集定義可得答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因函數(shù)，均R上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增，又，則，故.因，則.故選：A2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A.  B.  C. 5 D. 17【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．詳解】∵，∴， ∴.故選：C.3. 函數(shù)，則（    ）A. －2 B. －1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，從里到外計算即可.【詳解】由，得，則.故選：D4. 的展開式中含項的系數(shù)是（    ）A. －112 B. 112 C. －28 D. 28【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到二項式的通項公式，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，其通項公式為，令，可得，所以含項的系數(shù)是故選:B5. 已知非零向量與滿足||＝2||，且|2|=，則向量與的夾角是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，對|2|=平方，結(jié)合||＝2||，求出向量、的夾角的余弦值，即得、的夾角．【詳解】因為|2|=，所以，即，所以，因為||＝2||，所以，所以與的夾角為故選B.【點睛】本題考查了利用平面向量的數(shù)量積求向量的模長與夾角的問題，是基礎(chǔ)題目．6. 在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F分別是棱，，的中點，則異面直線BE與DF所成角的余弦值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】取等邊△ABC的AC邊的中點O，以O為原點建立空間直角坐標(biāo)系，運用異面直線所成角的計算公式即可得結(jié)果.【詳解】取等邊△ABC的AC邊的中點O，連接OB，則，過O作的平行線，則以O為原點，分別以OB、OC、Oz為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)等邊△ABC的邊長為2，則，，，，∴，，∴.所以異面直線BE與DF所成角的余弦值為.7. 某校舉行校園歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則（    ）A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8【答案】D【解析】【分析】先由平均數(shù)和方差分別得到和的值，再整體代入計算的值即可.【詳解】因為平均數(shù)為，所以.因為方差為所以，所以，又因為，所以，所以，所以.故選：D.8. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在其定義域內(nèi)存在，使得，則稱為“有源”函數(shù).已知是“有源”函數(shù)，則a的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“有源”函數(shù)概念，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)值域即可得到參數(shù)a的范圍【詳解】∵，∴，由是“有源”函數(shù)定義知，存在，使得，即有解，記，所以a的取值范圍是就是函數(shù)的值域，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，所以，所以，即a的取值范圍是.故選：A9. 已知函數(shù)，則（    ）A. 的最小正周期是B. 在上單調(diào)遞增C. 的圖象關(guān)于點對稱D. 在上的值域是【答案】B【解析】【分析】利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式可化簡得到，利用正弦型函數(shù)最小正周期、單調(diào)性、對稱中心和值域的求法依次判斷各個選項即可.【詳解】；對于A，的最小正周期，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，B正確；對于C，令，解得：，此時，的圖象關(guān)于點對稱，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，則，在上的值域為，D錯誤.故選：B.10. 如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求用5種顏色任意涂色的方法總數(shù)，再求恰好用完4種顏色涂色的方法總數(shù)，最后按照古典概型求概率即可.【詳解】若按要求用5種顏色任意涂色：先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選擇.則共有種方法.若恰只用其中4種顏色涂色：先在5種顏色中任選4種顏色，有種選擇.先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇.再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊有2種選擇，為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇；若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1種選擇.則共有種方法，故恰用4種顏色的概率是.故選：C.11. 已知拋物線C：的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是（    ）A. 32 B. 64 C. 128 D. 256【答案】C【解析】【分析】兩條直線的斜率都存在且不為0，因此先設(shè)一條直線斜率為，寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出相交弦長，同理再得另一弦長，相乘除以2即得四邊形面積，再由基本不等式求得最小值．【詳解】由題意拋物線的焦點為，顯然斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，設(shè)，由，得則，即，設(shè)直線的方程為，設(shè)由，得則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：C．12. 在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，且，則的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理邊化角可得，由△ABC為銳角三角形可得，運用降次公式及輔助角公式將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)在上的值域.【詳解】∵，即：，，∴，∴由正弦定理得：，即：，∴，∴或，解得：或（舍），又∵△ABC為銳角三角形，則，∴，解得：，∴，又∵，∴，∴，∴，即的取值范圍.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13. 已知雙曲線C：的離心率是2，實軸長為2，則雙曲線C的焦距是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出即可得解.【詳解】因為雙曲線C：的離心率是2，實軸長為2，所以，所以，所以雙曲線C的焦距是.故答案為：.14. 已知，則______.【答案】【解析】【分析】首先將化簡為，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可得到答案.【詳解】.故答案為：.15. 已知是定義在上的增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，則關(guān)于x的不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】觀察結(jié)合原不等式，以及函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造新函數(shù)，為上的增函數(shù)和奇函數(shù)，再利用其奇函數(shù)和增函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，令，則為奇函數(shù).又是在上的增函數(shù)，所以也是在上的增函數(shù).此時原不等式等價于，因為為奇函數(shù)，所以，又因為是在上的增函數(shù)，所以有，解得.即原不等式的解集為.故答案為：.16. 在棱長為3的正方體中，點P在平面上運動，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方形體對角線與平面垂直，找到點關(guān)于平面的對稱點，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得的最小值為，最后通過建系利用坐標(biāo)計算得的長度即可.【詳解】如下圖所示設(shè)與平面交于點，易知，平面，由平面，所以，又，面，所以平面，面，所以，同理可證，由，面，所以平面.因為，所以，又因為,所以.倍長至，則，故點是點關(guān)于平面的對稱點.那么有，.所以.如下圖，以為原點，分別為軸、軸、軸建系，則，，，即.所以，即的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)，可得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項，再根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合構(gòu)造法即可得解；（2）先求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法即可得解.【小問1詳解】因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，當(dāng)時，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為常數(shù)列，且，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，所以.18. 某企業(yè)為鼓勵員工多參加體育鍛煉，舉辦了一場羽毛球比賽，經(jīng)過初賽，該企業(yè)的A，B，C三個部門分別有3，4，4人進入決賽.決賽分兩輪，第一輪為循環(huán)賽，前3名進入第二輪，第二輪為淘汰賽，進入決賽第二輪的選手通過抽簽確定先進行比賽的兩位選手，第三人輪空，先進行比賽的獲勝者和第三人再打一場，此時的獲勝者贏得比賽.假設(shè)進入決賽的選手水平相當(dāng)（即每局比賽每人獲勝的概率都是）.（1）求進入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門的概率；（2）記進入決賽第二輪的選手中來自B部門的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）進入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門分為來自A，B，C三個部門，分別求出其概率，由分類加法計數(shù)原理即可得出答案.（2）求出X的可能取值及每個變量X對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出.【小問1詳解】設(shè)進入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門為事件，則.故進入決賽第二輪的3人中恰有2人來自同一個部門的概率為.【小問2詳解】X的可能取值為，，，，，則X的分布列為：0123所以.19. 已知橢圓C：的離心率是，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點，在y軸上是否存在點P（點不與原點重合），使得直線PA，PB與x軸交點的橫坐標(biāo)之積的絕對值為定值？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）    （2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再分別求出直線PA，PB的方程，從而可得兩直線與軸交點的橫坐標(biāo)，再相乘整理結(jié)合其積為定值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】假設(shè)存在，設(shè)，則，聯(lián)立，消得，則，即，，則直線的方程為，令，則，直線的方程為，令，則，則，則要使直線PA，PB與x軸交點的橫坐標(biāo)之積的絕對值為定值，則，解得，所以存在，且.【點睛】本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了點的存在性問題及定值問題，有一定的難度.20. 如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，，，，E是棱PB的中點.（1）證明：平面ABCD.（2）若，求平面DEF與平面PAB夾角的余弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析；    （2）【解析】【分析】（1）由線線垂直證平面PBC，并依次證、平面PBD、、平面ABCD；（2）由向量法求面面角建立面面角余弦值的函數(shù)，進而討論最大值.【小問1詳解】取CD中點M，連接BD、BM，設(shè)，∴.∵，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴.，E是棱PB的中點，∴.∵，平面PBC，∴平面PBC，又平面PBC，∴.∵平面PBD，∴平面PBD，∵又平面PBD，∴.∵，∴，平面ABCD，∴平面ABCD；【小問2詳解】由（1）得兩兩垂直，則可建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則∵，，即，∴.設(shè)平面DEF的法向量為，，則，令，得，設(shè)平面PAB法向量為，，則，令得，故平面DEF與平面PAB夾角的余弦值為令，則，則當(dāng)，即時，取得最大值，為.故平面DEF與平面PAB夾角的余弦值的最大值為.21. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性.（2）證明：①當(dāng)時，；②，.【答案】（1）答案見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，分類討論的不同取值范圍時的單調(diào)性即可；（2）①展開為，利用換元法簡化不等式，再用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立即可；②利用①中結(jié)論放縮，再求和即可.【小問1詳解】由題可知當(dāng)時，，令，得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，（i）當(dāng)時，零點為，令解得，故在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減（ii）當(dāng)時，，，在單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞減．【小問2詳解】①，令，其中則不等式成立，即函數(shù)在恒小于零由（1）可知，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，因此當(dāng)時，；②由①可知因此解得，.證畢.（二）選考題：共10分.請考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，點，求的值.【答案】（1）；    （2）【解析】【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程通過平方消元得到普通方程；通過極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程關(guān)系得到直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）由題可知點P過直線l，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)與定點位置關(guān)系即可列式計算.【小問1詳解】，得，根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程關(guān)系可知直線l直角坐標(biāo)方程為：.【小問2詳解】由（1）可知點過直線l，故直線l的參數(shù)方程可寫為（t為參數(shù)），代入曲線C的普通方程得，由韋達定理可知：，，所以.[選修4－5：不等式選講]（10分）23. 已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）若，不等式恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)x的不同取值范圍，展開化解函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出的最小值；（2）根據(jù)（1）中解析式簡化不等式，再展開絕對值計算即可.【小問1詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上，由此可知【小問2詳解】由（1）可知解得，當(dāng)時，欲使不等式恒成立，則，解得
 
 

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