2023屆江西省贛州市高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

這是一份2023屆江西省贛州市高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析，共20頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023屆江西省贛州市高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知全集，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解分式不等式得集合，再根據(jù)補集的定義求解即可．【詳解】依題意可得集合，全集，所以．故選：B．2．已知為虛數(shù)單位，若，則實數(shù)的值為（    ）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡等式左側(cè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，所以，可得.故選：D3．在平面直角坐標(biāo)系中，角，均以坐標(biāo)原點為頂點，軸的正半軸為始邊．若點在角的終邊上，點在角的終邊上，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角函數(shù)的定義求出，，，，再利用兩角和與差的余弦公式即可求解．【詳解】由點在角的終邊上，則，，又點在角的終邊上，則，，所以．故選：B．4．某公司對2022年的營收額進行了統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖.在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約2156萬元.則下列說法錯誤的是（    ）A．該公司2022年營收總額約為30800萬元B．該公司在華南地區(qū)的營收額比河南省營收額的3倍還多C．該公司在華東地區(qū)的營收額比西南地區(qū)、東北地區(qū)及湖北省的營收額之和還多D．該公司在湖南省的營收額在華中地區(qū)的營收額的占比約為35.6%【答案】D【分析】根據(jù)題意給的數(shù)據(jù)，結(jié)合選項依次計算即可求解.【詳解】A：湖南省的營收額約為2156萬元，占比7.00%，所以2022年營收額約為萬元，故A正確；B：華南地區(qū)的營收額占比為19.34%，河南省的營收額占比為6.19%，有，所以華南地區(qū)的營收額比河南省的3倍還多，故B正確；C：華東地區(qū)的營收額占比為35.17%，西南地區(qū)的營收額占比為13.41%，東北地區(qū)的營收額占比為11.60%，湖北的營收額占比為7.29%，有13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%，故C正確；D：湖南的營收額占比為7.00%，華中地區(qū)的營收額占比為20.48%，有，故D錯誤.故選：D.5．已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當(dāng)的周長最小時，（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義可以得出=，當(dāng)三點共線時最小.【詳解】由雙曲線得到,,，左焦點，設(shè)右焦點.當(dāng)的周長最小時，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.===.故選：C.6．已知，則（    ）A．40 B．8 C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)二項式展開式可得、，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，所以，所以.故選：D.7．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列等差中項的應(yīng)用可得、，利用余弦定理化簡計算即可求解.【詳解】由，得，由成等差數(shù)列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.故選：C.8．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】因為，所以.故選：D9．若函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由題意畫出函數(shù)的圖象，由方程，得或，再數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】由，則可作出函數(shù)的圖象如下：由方程，得或，所以方程的實根個數(shù)為3．故選：A．10．德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當(dāng)在何處時，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)的外接圓與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數(shù)的值可以為（    ）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)米勒定理，當(dāng)最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點；再根據(jù)圓的性質(zhì)得到為等邊三角形，從而求出的值.【詳解】根據(jù)米勒定理，當(dāng)最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點.設(shè)的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.因為為，所以，即為等邊三角形，所以，即或，解得或.故選：C.11．已知橢圓的左、右焦點分別為，．橢圓在第一象限存在點，使得，直線與軸交于點，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和橢圓定義可得到，和，的關(guān)系式，再根據(jù)，可得到關(guān)于，的齊次式，進而可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意得，又由橢圓定義得，記，則，，則，所以，故，則，則，即（負(fù)值已舍）．故選：B．12．在棱長為6的正方體中，，分別為，的中點，則三棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，三棱錐與三棱柱外接球相同.確定球心位置，利用正弦定理，余弦定理，勾股定理，求出球的半徑，再利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，分別為棱，的中點，則三棱錐與三棱柱外接球相同.在中，，由余弦定理，所以；設(shè)外接圓半徑為，在中，由正弦定理故外接圓半徑，設(shè)三棱柱外接球半徑為，由勾股定理，   則三棱錐外接球的表面積.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是：把三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為三棱柱的外接球，利用底面外接圓的半徑和三棱柱的高，可得外接球的半徑，從而得到外接球的面積. 二、填空題13．已知向量，.若，則實數(shù)的值為______.【答案】【分析】根據(jù)兩個向量垂直的坐標(biāo)公式計算求解即可.【詳解】因為，,所以，又因為,所以，所以.故答案為: .14．若實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為______.【答案】##【分析】畫出可行域，根據(jù)的幾何意義即可求解.【詳解】畫出的可行域，如圖，因為的幾何意義為過點、的直線的斜率.當(dāng)該直線與曲線相切時,取得最大值，設(shè)切點，則該直線的斜率為，又，所以，解得，得，所以.故答案為：.15．已知函數(shù).若存在，使不等式成立，則整數(shù)的值可以為______.（寫出一個即可）.【答案】(答案不唯一)【分析】先應(yīng)用二倍角公式及輔助角公式化簡求出的最值,再結(jié)合存在不等式成立,求出整數(shù)的值即可.【詳解】因為，化簡得，因為,所以,即得,即，若存在，使不等式成立，則，所以,所以與中的任選一個即可.故答案為：.16．已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖象關(guān)于直線對稱，且，有四個結(jié)論①；②4為的周期；③的圖象關(guān)于對稱；④，正確的是______（填寫題號）．【答案】①②③④【分析】結(jié)合和判斷①；根據(jù)和得到，從而可判斷②；根據(jù)的圖象關(guān)于直線對稱，和得到，從而可判斷③；結(jié)合②有，從而可判斷④．【詳解】由，且，，得，，故①正確；由，得，即，又，得，則，所以，故4是的周期，故②正確；由的圖象關(guān)于直線對稱，即，又，可得，則，即，又，得，所以的圖象關(guān)于對稱，且，故③正確；結(jié)合②有，得，故④正確．故答案為：①②③④．【點睛】本題綜合考查函數(shù)的對稱性和周期性，綜合性較強，解答時要注意能否根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)進行相應(yīng)的代換，推出函數(shù)的周期，解答的關(guān)鍵是明確如何說明函數(shù)具有對稱性和周期性等． 三、解答題17．已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用項與和的關(guān)系使用公式求解通項公式；（2）利用裂項相消法求和.【詳解】（1）由…①當(dāng)時，;當(dāng)時，有…②①-②得：，即;不符合上式，故.（2）由（1）知故當(dāng)時，；當(dāng)時，，；因為符合上式，故.18．近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進展.某城市推出了兩套方案，并分別在，兩個大型居民小區(qū)內(nèi)試行．方案一：進行廣泛的宣傳活動，通過設(shè)立宣傳點、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設(shè)備進行自動登錄、自動稱重、自動積分等一系列操作．建立垃圾分類激勵機制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動居民積極主動地參與垃圾分類．經(jīng)過一段時間試行之后，在這兩個小區(qū)內(nèi)各隨機抽取了100名居民進行問卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)請通過頻率分布直方圖分別估計兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點值作代表）；(2)以樣本頻率估計概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案.現(xiàn)從小區(qū)內(nèi)隨機抽取5個人，用表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)方案一的平均得分為，方案二的平均得分為；方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為 【分析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)，再進行比較即可；（2）由題意可得滿足二項分布，然后進行求解分布列和期望即可．【詳解】（1）設(shè)小區(qū)方案一的滿意度平均分為，則設(shè)小區(qū)方案二的滿意度平均分為，則∵，∴方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎．（2）由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為，低于70分的頻率為，現(xiàn)從小區(qū)內(nèi)隨機抽取5個人，的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，則，，，∴的分布列為012345 期望．19．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點，且．(1)證明：；(2)若為等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見詳解(2) 【分析】（1）連接，利用線面垂直證明異面直線垂直；（2）根據(jù)為等邊三角形，可得的值，過作的平行線軸，結(jié)合（1）知軸，，兩兩垂直，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量和，利用向量的夾角公式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，為的中點，∴，又平面平面，平面平面，平面，故平面，∵平面，∴，又∵，且，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）由為等邊三角形，，得，如圖，過作的平行線軸，結(jié)合（1）知軸，，兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，設(shè)為平面的一個法向量，則，得，取，得，則，因為為的中點，所以 ，又，所以，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，20．已知拋物線為其焦點，點在上，且（為坐標(biāo)原點）.(1)求拋物線的方程；(2)若是上異于點的兩個動點，當(dāng)時，過點作于，問平面內(nèi)是否存在一個定點，使得為定值？若存在，請求出定點及該定值：若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，定值4，定點 【分析】（1）由點在拋物線上及三角形面積列方程求出參數(shù)p，即可得方程；（2）法一：設(shè)，，利用求得，討論與軸是否垂直，求直線所過的定點；法二：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線及韋達定理、得；最后結(jié)合確定的軌跡，即可確定定點和定值；【詳解】（1）因為點在上，則，而，所以，，所以，故該拋物線的方程為.（2）法一：設(shè)，不妨設(shè)，，則，解得，①當(dāng)與軸不垂直時，，此時直線的方程為：，整理得，則的方程為：，則直線恒過定點由，即，故在以為直徑的圓上，該圓方程為，即當(dāng)為該圓心時，為定值；②當(dāng)軸時，，此時，而，故；當(dāng)時，也滿足，綜上，平面內(nèi)存在一個定點，使得為定值4法二：設(shè)直線的方程為聯(lián)立，且，由韋達定理得：，由，即，解得，即，直線恒過定點，由，即，故在以為直徑的圓上，該圓方程為，即定點為該圓心時，為定值；【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，根據(jù)求縱坐標(biāo)乘積，并確定直線過的定點坐標(biāo)，最后利用判斷的軌跡，即可得結(jié)論.21．已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)函數(shù)，，記的極小值為，求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得，分類討論a的取值情況，結(jié)合零點的定義即可求解；（2）設(shè)有的零點為（），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值為，由，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）法一：由得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴，①當(dāng)時，，函數(shù)無零點②當(dāng)時，，函數(shù)有一個零點③當(dāng)時，，又，故當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點法二：方程等于解方程，記，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴.①當(dāng)時，函數(shù)，即無零點，②當(dāng)時，函數(shù)即有一個零點，③當(dāng)時，由，，故當(dāng)時，函數(shù)，即有兩個零點；（2）法一：由，得：，由（1）知：當(dāng)時，有兩個零點（不妨設(shè)），同時也是的兩個零點，且函數(shù)與單調(diào)性完全相同∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴的極小值為，又滿足，即，代入上式得，又，∴，對于二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，在上，.法二：由，記，結(jié)合顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，故存在唯一，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，，故存在兩個零點（不妨設(shè)），下同法一22．在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），曲線，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)曲線的極坐標(biāo)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知是曲線上的兩個動點（異于原點），且，若曲線與直線有且僅有一個公共點，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先求曲線的直角坐標(biāo)方程，再由寫成極坐標(biāo)方程；由寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)曲線與直線有且僅有一個公共點，得出是直角三角形斜邊上的高，根據(jù)等面積法轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】（1）由曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.又由，得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.由曲線，得，即，所以曲線的普通方程為.（2）由題意，設(shè)，則，又曲線與直線有且僅有一個公共點，故為點到直線的距離，由曲線的極坐標(biāo)方程，得，所以，，所以，即，所以；又，所以，即所求實數(shù)的值為.23．已知函數(shù).(1)，解不等式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）分類討論求解絕對值不等式的解集；（2）法一：根據(jù)絕對值三角不等式求證不等式；法二：由絕對值對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最小值范圍，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，所以，不等式等價于或或，解得或或，所以原不等式的解集為.（2）法一：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.法二：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上，結(jié)合各分段上一次函數(shù)的性質(zhì)知：在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以.