2022-2023學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是      .【答案】【分析】根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由于，所以，故答案為：2．若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為           ．【答案】【分析】由充分條件定義直接求解即可.【詳解】“”是“”的充分條件，，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是      .【答案】/【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】為開口向下的二次函數(shù)，且對稱軸為，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：4．若一元二次不等式的解集是，則的值是     .【答案】【分析】由題得，計算即得解.【詳解】一元二次不等式的解集是,則和是一元二次方程的實數(shù)根,∴, 解得.故答案為：5．已知，則的最小值為      .【答案】5【分析】求兩個正數(shù)和的最小值，湊它們的積為定值即可用基本不等式求解.【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故答案為：56．若不等式對一切恒成立，則的最小值為        ．【答案】－4【分析】通過分離常量，將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求最值，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】∵當(dāng)時，恒成立，∴恒成立，又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號．∴，∴，故a的最小值為－4.故答案為：.7．定義在R上的函數(shù)滿足，且時，，則      .【答案】/【分析】根據(jù)題意化簡得到，得出的一個周期為4，再由，利用指數(shù)冪與對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】由，可得，所以是周期為4的函數(shù)，因為，可得，所以.故答案為：.8．已知函數(shù)，則不等式的解集是      .【答案】【分析】變形可得，作函數(shù)，的圖象，觀察圖象可得不等式的解集.【詳解】，，作出函數(shù)，的圖象如下，  由圖可知，滿足不等式的的取值范圍為，所以，不等式的解集是.故答案為：.9．珠穆朗瑪峰高達(dá)8848.86米，但即使你擁有良好的視力，你也無法在上?？吹剿粋€觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，才能在底面上看到它呢？為了能夠通過幾何方法解決這個問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個問題情境，在此過程中，有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個球體；③太陽光線沿直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線．你認(rèn)為最不重要的一個假設(shè)是          ．【答案】①【分析】由數(shù)學(xué)建模時，假設(shè)針對問題的主要因素，忽略次要因素的原則，即可得出答案．【詳解】數(shù)學(xué)建模時，針對問題的主要因素，忽略次要因素，這里我們需要測量觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，主要關(guān)注的應(yīng)該是珠穆拉瑪峰的高度，此時，珠穆朗瑪峰的形狀對于測量結(jié)果影響很小，故假設(shè)①最不重要，故答案為：①．10．若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的最小值為      .【答案】【分析】設(shè)出，，求出，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求出，求出實數(shù)的最小值【詳解】設(shè)，則為冪函數(shù)，定義域為，且為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，，則為單調(diào)遞增的一次函數(shù)，則不等式變?yōu)?/span>，若，則，若，則，即,，,，作出，的圖象，實線部分即為,，要使,，只需最小值大于等于1，由圖可知：，故只需即可，即，故的最小值為，故答案為：11．已知函數(shù)，令，若函數(shù)的圖象在各個象限均有分布，則實數(shù)的取值范圍為      .【答案】【分析】根據(jù)的正負(fù)情況，將問題轉(zhuǎn)化為在和上各有一個實數(shù)根，利用二次函數(shù)根的分布即可求解.【詳解】的定義域為，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，要使的圖象在各個象限均有分布，則需要在和上均有正有負(fù)，所以在和上各有一個實數(shù)根，則,即，解得，故答案為：12．已知函數(shù)，若存在直線，使不等式對恒成立，則稱與構(gòu)成了一個“函數(shù)通道”.若與構(gòu)成了一個“函數(shù)通道”，則實數(shù)的最大值為      .【答案】【分析】根據(jù)“函數(shù)通道”的定義可將問題轉(zhuǎn)化為求解，利用導(dǎo)數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可求解.【詳解】由題意可知存在直線，使得對任意，顯然，所以對任意，記，則，由于，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，故當(dāng)取極大值也是最大值，，為開口向上且對稱軸為，故當(dāng)時取最小值，所以，由于，故當(dāng)時，此時取到最小值，故的最大值為，故答案為： 二、單選題13．二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的，即441個點，根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼，一共有種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉個二維碼，那么大約可以用（    ）（，）A．萬年 B．117萬年 C．萬年 D．205萬年【答案】A【分析】直接作商，然后利用取對數(shù)法進(jìn)行化簡求解即可．【詳解】萬年用掉個二維碼，大約能用萬年，設(shè)，則，即萬年．故選：A14．在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得次測量分別得到，，…，共個數(shù)據(jù).我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”應(yīng)該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小.由此規(guī)定，從這些數(shù)據(jù)得出的“最佳近似值”應(yīng)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】看成關(guān)于的二次函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意得：由于所以是關(guān)于的二次函數(shù)，因此當(dāng)即時，取得最小值.故選：A.15．對于函數(shù)，設(shè)：對任意的，均有，：對任意的，均有，：函數(shù)為偶函數(shù)，則（    ）.A．、中僅是的充分條件 B．、中僅是的充分條件C．、均是的充分條件 D．、均不是的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義推理判斷作答.【詳解】對于 : 對任意的, 均有，則，因此為偶函數(shù)，對于 ：對任意的，均有，則，因此是偶函數(shù)，所以、均是的充分條件，ABD錯誤，C正確.故選：C.【點睛】易錯點睛：正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：（1）定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；（2）或是定義域上的恒等式．16．將函數(shù)，的圖象繞點順時針旋轉(zhuǎn)角（）得到曲線C，若曲線C仍是一個函數(shù)的圖形，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)后的切線傾斜角最多為，故只需求 處的傾斜角即可.【詳解】  函數(shù)，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，可得在處切線的傾斜角為，因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)后的切線傾斜角最多為，也就是說，最大旋轉(zhuǎn)角為，即的最大值為.故選：A. 三、解答題17．已知集合(1)當(dāng)時，求；(2)若______，求實數(shù)的取值范圍.請從①；②；這兩個條件中選擇一個填入②中橫線處，并完成第②問的解答.（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)(2)選擇①的范圍為，，,選擇②，的取值范圍為，． 【分析】（1）先求出兩個集合，再求交集；（2）若選擇①，則，再分集合和兩種情況，列式求解．選擇條件②，根據(jù)子集關(guān)系列不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，．（2）（2）若選擇①，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，或，即或．實數(shù)的取值范圍是，，．若選擇條件②，由得，解得．實數(shù)的取值范圍是，．18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）把代入，將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，然后列出不等式組求解即可得到結(jié)果．（2）利用絕對值三角不等式可得，即可轉(zhuǎn)化為，解出即可．【詳解】（1）當(dāng)時，，不等式，即為.則或或解得或或.故不等式的解集為.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）因為恒成立，所以.所以①或②.由①解得，由②解得.綜上所述，，故實數(shù)的取值范圍是.19．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)f（x）的零點；（2）針對實數(shù)a的不同取值，討論函數(shù)f（x）的奇偶性．【答案】（1）；（2）當(dāng)a＝0時，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)a≠0時，函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．【分析】（1）根據(jù)解析式，求得定義域，當(dāng)時，令，解得∈[﹣1，1]，所以零點為.（2）若f（x）為奇函數(shù)，則必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，由f（﹣1）＝f（1），解得a=0，經(jīng)檢驗符合題意，即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)，則有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，1]，由，得，化簡得，即，則∈[﹣1，1]，所以，函數(shù)f（x）的零點為；（2）函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，1]，若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則必有f（﹣1）+f（1）＝0；代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是無解，所以函數(shù)f（x）不能為奇函數(shù)，若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；又當(dāng)a＝0時，，則；對任意x∈[﹣1，1]都成立，綜上，當(dāng)a＝0時，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)a≠0時，函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．20．已知函數(shù)，設(shè).(1)當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；(2)對任意的，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的下方，求正數(shù)的范圍；(3)設(shè)函數(shù).當(dāng)時，求的最大值.【答案】(1)(2),(3) 【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．（2）求出的解析式，將條件轉(zhuǎn)化為恒成立，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．（3）利用分式函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）由，得，則，得，即不等式的解集為．（2），．對任意的，的圖象總在函數(shù)圖象的下方，則恒成立，即在上恒成立，即，即恒成立，則，即在恒成立，設(shè)，則只需要即可，即，即，得，得，，．即的取值范圍是,．（3）設(shè)函數(shù)，．當(dāng)時，，，由（2）知，，則，令，設(shè)，則，則，．．則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即的最小值為，則的最大值為，則的最大值為．【點睛】結(jié)論點睛：本題主要考查不等式恒成立的應(yīng)用，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算是法則，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．涉及到對數(shù)的運算時，要用好對數(shù)的運算法則：且..,.21．已知函數(shù)，不妨記函數(shù)的零點分別為，其中為正整數(shù)，且.(1)若，寫出的單調(diào)減區(qū)間；(2)若，且，求的值；(3)若，且，求的最大值.【答案】(1)(2)，(3)768 【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解單調(diào)區(qū)間，（2）將問題轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，利用韋達(dá)定理以及判別式即可求解，（3）將問題轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合函數(shù)圖象，利用求根公式以及韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)的對稱軸為，故此時在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)的對稱軸為，故此時在上單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）令，令，則有三個零點，由于，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，因此要使有三個零點，則有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，所以有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，因此，由題意可知，由于有兩個相等的實數(shù)根，所以，  （3）由（2）知要使有四個零點，則有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個不相等的實數(shù)根，故因此且，故，則結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)以及圖象可知：，故只需要即可，所以，由于，所以，平方得且，進(jìn)而可得，故的最大值為768.  【點睛】方法點睛，已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 

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