一、填空題（本大題共有12題，滿分36分，每題3分）考生應在答題紙的相應位直接填寫結(jié)果．
1. 已知集合，且，則實數(shù)a的值為__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系列式計算即得.
【詳解】由題意可得：，解得.
故答案為：1.
2. 已知角的終邊經(jīng)過點，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．
【詳解】設坐標原點，
由題意可得：，
故.
故答案為：.
3. 函數(shù)的定義域為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求該對數(shù)型函數(shù)的定義域即可.
【詳解】要使該函數(shù)有意義，則需，解得：
函數(shù)的定義域為
故答案為：
4. 將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的定義與運算求解.
【詳解】由題意可得：.
故答案為：.
5. 已知角是第四象限角，且，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角關(guān)系運算求解，注意符號看象限.
【詳解】∵角是第四象限角，且，則，
∴.
故答案為：.
6. 已知函數(shù)，（且）是偶函數(shù)，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的對稱性分析運算.
【詳解】由題意可得：函數(shù)的對稱軸為y軸，且定義域關(guān)于原點對稱，
則，解得，
故.
故答案為：.
7. 已知，用m表示為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先根據(jù)指對互化可得，再結(jié)合對數(shù)運算求解.
詳解】∵，則，
∴.
故答案為：.
8. 設、為正數(shù)，且，則的最小值為_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】
基本不等式中“1的代換”求最值.
【詳解】因為、為正數(shù)，且，
所以,
當且僅當a=b=1時取等號
即的最小值為4.
故答案為：4
【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正、二定、三相等”
(1) “一正”就是各項必須為正數(shù)；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．如果等號成立的條件滿足不了，說明函數(shù)在對應區(qū)間單調(diào)，可以利用單調(diào)性求最值或值域．
9. 已知常數(shù)且，無論a取何值，函數(shù)的圖像恒過一個定點，則此定點為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，只需令即可求出的圖像恒過的定點的坐標.
【詳解】因為的圖像必過，即，
當，即時，，
從而圖像必過定點.
故答案為：.
10. 已知集合有且僅有兩個子集，則實數(shù)__________.
【答案】1或
【解析】
【分析】結(jié)合已知條件，求出的解的個數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，并結(jié)合一元二次方程的根的個數(shù)與判別式之間的關(guān)系求解即可.
【詳解】若A恰有兩個子集，所以關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解，
①當時，，滿足題意；
②當時，，所以，
綜上所述，或.
故答案為：1或.
11. 設，，若函數(shù)在定義域上滿足：①是非奇非偶函數(shù)；②既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；③有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】對①：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得；對②：分類討論可得二次項系數(shù)小于零，且對稱軸為，求出a的取值范圍；對③：結(jié)合②中所求的范圍驗證即可.
【詳解】對①：∵ ，即，
故不是奇函數(shù)；
若是偶函數(shù)，則，
可得，即；
故若是非奇非偶函數(shù)，則；
對③：若在上有最大值，則有：
當時，則在上單調(diào)遞減，無最值，不合題意；
當時，則為二次函數(shù)且對稱軸為，
由題意可得，解得，
故若在上有最大值，則；
對②：若，則開口向下，且對稱軸為，
故在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
12. 已知，集合，，若存在正數(shù)，對任意，都有，則的所有可能的取值組成的集合為________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意按照，，分類討論，利用集合的包含關(guān)系即可列出不等式組，解出即得解．
【詳解】，則只需考慮下列三種情況：
（1）當時，，，
又，則，
，所以或或，
①當時，，即，而易知，，所以這樣的不存在；
②當時，，即，顯然這樣的不存在；
③當時，
，可得：，，解得；
（2）當時，即當時，與（1）同理，解得，不合題意，舍去；
（3）當時，即當時，只有，
所以可得：， ，解得.
綜上所述：或.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用集合與元素的關(guān)系求解參數(shù)的取值問題，關(guān)鍵在于能夠通過的不同取值范圍，得到與所處的范圍，從而能夠利用集合的上下限得到關(guān)于的等量關(guān)系，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程；難點在于能夠準確地對的范圍進行分類，對于學生的分析和歸納能力有較高的要求.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分，每題3分）每題有且只有一個正確選項．考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．
13. 若非零實數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. -a>-bC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質(zhì)判斷B，C；舉例說明判斷A，D作答.
【詳解】非零實數(shù)a，b滿足a>b，
對于A，取，滿足a>b，而，A不一定成立；
對于B，因a>b，則-ab，則，C成立；
對于D，取，滿足a>b，而，D不一定成立.
故選：C
14. 設，則“”是“”的（ ）．
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先求得絕對值不等式的解集，然后根據(jù)充分必要條件的知識得出正確選項.
【詳解】由得： ，此為小范圍，后者為大范圍，所以充分非必要條件.
故選：A.
15. 設集合均為非空集合.（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的運算關(guān)系依次判斷各選項即可得出結(jié)果.
【詳解】對于A,，，當時，結(jié)論不成立，則A錯誤；
對于B ，當時，結(jié)論不成立，，則B錯誤；
對于C,因為，，所以，又，所以，則,則C正確;
對于D， ，當時，結(jié)論不成立,則D錯誤;
故選:C.
16. 已知，若關(guān)于x的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)方程，等價于 且，將問題轉(zhuǎn)化為的圖象夾在直線和之間的部分有且僅有兩個整數(shù)解求解.
【詳解】解：要使方程，
當且僅當 且，
即方程等價于 且，
即，
所以方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，
即的圖象夾在直線和之間的部分有且僅有兩個整數(shù)解，
函數(shù)的圖象如圖所示：
因為，
所以要使的整數(shù)解有且僅有兩個解，
則其中一個整數(shù)解為0和-1，
即 ，解得，
故選：A
三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置出必要的步驟．
17. 已知集合，．
（1）求集合B；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分式不等式求解集合B；
（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系運算求解.
【小問1詳解】
∵，則，解得或，
故或.
【小問2詳解】
若，則或，即或，
故實數(shù)a的取值范圍為.
18. 已知．
（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程有兩個實根，求的最小值．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意集合二次函數(shù)的判別式運算求解；
（2）利用韋達定理整理可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【小問1詳解】
由題意可得：，解得或，
故實數(shù)a的取值范圍為.
【小問2詳解】
由，可得，
則，
∵的對稱軸為，
注意到，則當時，取到最小值0，
即的最小值為0.
19. 某城市2023年1月1日的空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱AQI））與時間x（單位：小時）的關(guān)系滿足下圖連續(xù)曲線，并測得當天AQI的最大值為103．當時，曲線是二次函數(shù)圖像的部分；當時，曲線是函數(shù)圖像的一部分．根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的值大于或等于100時，空氣就屬于污染狀態(tài)．
（1）求當時，函數(shù)的表達式；
（2）該城市2023年1月1日這一天哪個時間段的空氣屬于污染狀態(tài)？并說明理由．
【答案】（1）
（2），理由見詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖象結(jié)合二次函數(shù)運算求解；
（2）由（1）可得，分類討論解不等式即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
當時，有圖像可得：二次函數(shù)開口向下，頂點坐標為，且過，
可設，
代入點可得，解得，
故當時，.
【小問2詳解】
由（1）可得：，
當時，令，解得；
當時，令，解得；
綜上所述：當時，空氣屬于污染狀態(tài).
20. 已知．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的大致圖像．
【答案】（1）偶函數(shù)；
（2）單調(diào)遞增； （3）詳見解析.
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷；
（3）根據(jù)函數(shù)的定義域，單調(diào)性和奇偶性畫出.
【小問1詳解】
解：因為函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，
又因為，
所以是偶函數(shù)；
【小問2詳解】
任取，且，
則，
，
因為，
所以，，
又因為，所以，
所以，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
【小問3詳解】
由（2）同理可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由（1）知是偶函數(shù)，則在和上單調(diào)遞減，
所以其圖象如圖所示：
21. 已知函數(shù)的定義域為D，區(qū)間，若存在非零實數(shù)t使得任意都有，且，則稱為M上的增長函數(shù)．
（1）已知，判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的增長函數(shù)，并說明理由；
（2）已知，設，且函數(shù)是區(qū)間上的增長函數(shù)，求實數(shù)n的取值范圍；
（3）如果函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，且函數(shù)為R上的增長函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）是，理由見詳解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析運算；
（2）根據(jù)題意整理可得對恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合一次函數(shù)分析運算；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，先取特值，可求得，再證明當時，對任意，均有.
【小問1詳解】
數(shù)為區(qū)間上的增長函數(shù)，理由如下：
由題意可知：在上單調(diào)遞增，
對，則，可得，
故函數(shù)為區(qū)間上的增長函數(shù).
【小問2詳解】
若函數(shù)是區(qū)間上的增長函數(shù)，
可得對，則，即，
可得對恒成立，
則，解得，
故實數(shù)n的取值范圍為.
【小問3詳解】
由題意可得：，
∵函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，
當時，則，
故，
可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
注意到，
故當時，，當時，，
若函數(shù)為R上的增長函數(shù)，則對，均有，
取，即，故，則，即，
若，即時，則有：
①當時，則，且在上單調(diào)遞增，
故；
②當時，則，且，
∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
且在上單調(diào)遞增，則，
故；
③當時，則，
可得，
注意到上單調(diào)遞增，
故；
④當時，則，
注意到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得；
⑤當時，則，且在上單調(diào)遞增，
可得；
綜上所述：當時，對，均有.
故實數(shù)a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛： 根據(jù)的單調(diào)性，取特值，先求出實數(shù)a的取值范圍，再證明其充分性.

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