2022-2023學(xué)年北京市順義區(qū)第一中學(xué)高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：A.2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性判斷即可.【詳解】解：對于A：為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：定義域為，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D：定義域為，且，故為偶函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D3．設(shè)，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，再由指數(shù)的運算得到，即可判斷.【詳解】由以及，可得.故選：D.4．在的展開式中，常數(shù)項為（    ）A． B．120 C． D．160【答案】C【解析】寫出二項式展開式的通項公式求出常數(shù)項.【詳解】展開式的通項 ，令 常數(shù)項故選：C．【點睛】本題考查二項定理. 二項展開式問題的常見類型及解法:(1)求展開式中的特定項或其系數(shù)．可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可．(2)已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)．可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù)．5．從中任取個不同的數(shù)，事件“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.【點睛】本小題主要考查條件概型的計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．在無窮等差數(shù)列中，公差為d，則“存在，使得”是“（）”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】用定義法進行判斷.【詳解】充分性：若，，此時，而，滿足，即存在，使得，但是不成立.故充分性不成立；必要性：若，則，此時.故必要性滿足.故選：B7．中國的技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫作信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從提升至，則的增長率約為（，）（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給公式、及對數(shù)的運算法則代入計算可得結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，故的增長率約為.故選：C.8．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則（    ）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，進而求得，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】解：由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，可得，又由，可得，所以，可得，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，且，因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，又由，可得，即，，所以，所以 .故選：B.9．已知函數(shù)，若圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)，將問題化為在上有實數(shù)根，即與的圖象在有交點，利用導(dǎo)數(shù)研究在的值域，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍.【詳解】關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，即，若函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則與在上有交點，所以方程在上有實數(shù)根，即在上有實數(shù)根，即與的圖象在有交點，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.  故選：D.10．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，則函數(shù)至少有一個零點；②存在實數(shù)，，使得函數(shù)無零點；③若，則不存在實數(shù)，使得函數(shù)有三個零點；④對任意實數(shù)，總存在實數(shù)使得函數(shù)有兩個零點.其中所有正確結(jié)論的序號是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】在同一坐標(biāo)系中作出的圖像，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】①當(dāng)時，，令，得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖像，如圖所示：由圖像及直線過定點（0，3）知函數(shù)至少有一個零點，故正確；②當(dāng)時，作出的圖像，由圖像知，函數(shù)無零點；③當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系中作出的圖像，如圖所示：由圖像知：函數(shù)有三個零點，故錯誤；④當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，由圖像知：對任意實數(shù)，總存在實數(shù)使得函數(shù)有兩個零點，故正確.故正確為：①②④故選:B. 二、填空題11．不等式的解集是          .【答案】 【分析】進行移項通分，變形成一元二次不等式求解.【詳解】.解得或.故答案為： 12．等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，若，則公比           ．【答案】【分析】由等差中項的性質(zhì)以及等比數(shù)列的通項列方程即可求解.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，可得，因為，所以，解得：，故答案為：.13．計算：          .【答案】/【分析】化簡式子，即可得出式子的值.【詳解】由題意，，故答案為：.14．已知正數(shù)，滿足，若恒成立，寫出一個滿足條件的值            .【答案】(答案不唯一，大于等于均可)【分析】由基本不等式求出即可得出答案.【詳解】正數(shù)，，若恒成立，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以.故答案為：(答案不唯一，大于等于均可).15．在數(shù)列中，對任意的都有，且，給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列可能為常數(shù)列；②對于任意的，都有；③若，則數(shù)列為遞增數(shù)列；④若，則當(dāng)時，.其中所有正確結(jié)論的序號為      .【答案】①③④【分析】對數(shù)列遞推關(guān)系變形得到，得到與同號，當(dāng)時，，②錯誤；當(dāng)時，推導(dǎo)出此時為常數(shù)列，①正確；作差法結(jié)合時，，求出數(shù)列為遞增數(shù)列，③正確；由與同號，得到當(dāng)，有，結(jié)合作差法得到為遞減數(shù)列，④正確.【詳解】因為，所以，因為任意的都有，所以，所以與同號，當(dāng)，則時，都有，②錯誤；當(dāng)時，，所以，同理得：，此時為常數(shù)列，①正確；，由②知：若，則，所以，則數(shù)列為遞增數(shù)列，③正確；由與同號，當(dāng)，則時，都有，且此時，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，綜上：若，則當(dāng)時，，④正確.故答案為：①③④【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決關(guān)鍵是將遞推式變形為，從而結(jié)合的取值判斷得的取值范圍，從而得解. 三、解答題16．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，滿足，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等比中項以及等差數(shù)列基本量的計算可求解公差，進而可求通項.（2）根據(jù)分組求和以及等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1），，成等比數(shù)列，故，化簡得：因為，所以，因此（2），因此17．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時①寫出函數(shù)圖象的對稱軸方程，頂點坐標(biāo)；②求解不等式.(2)若，求函數(shù)最小值的解析式.【答案】(1)①對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為；②或.(2) 【分析】（1）①當(dāng)時，將函數(shù)的解析式表示為頂點式，可得出函數(shù)圖象的對稱軸方程與頂點坐標(biāo)；②利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集；（2）對實數(shù)的取值進行分類討論，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出在的不同取值下的表達式.【詳解】（1）解：當(dāng)時，.①函數(shù)圖象的對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為；②由可得，解得或.所以，不等式的解集為或.（2）解：因為二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線.①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；③當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.綜上所述，.18．某學(xué)校有初中部和高中部兩個學(xué)部，其中初中部有1800名學(xué)生.為了解全校學(xué)生兩個月以來的課外閱讀時間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學(xué)生進行問卷調(diào)查，將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時間（單位：小時）各分為5組：，，，，，得到初中生組的頻率分布直方圖和高中生組的頻數(shù)分布表.分組區(qū)間頻數(shù)21014122高中生組  (1)求高中部的學(xué)生人數(shù)并估計全校學(xué)生中課外閱讀時間在小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)；(2)從課外閱讀時間不足10個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，記為3人中初中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若用樣本的頻率代替概率，用表示高中閱讀時間，“”表示閱讀時間在情況，“”閱讀區(qū)間在的閱讀情況.相應(yīng)地，用表示初中組相應(yīng)閱讀時間段的情況，直接寫出方差，大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)高中部的學(xué)生人數(shù)為人，估計全校學(xué)生中課外閱讀時間在小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)為人；(2)的分布列見解析，；(3) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，結(jié)合分層抽樣的定義進行求解即可；（2）根據(jù)古典型概率公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式進行求解即可；（3）根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的定義即可得出答案.【詳解】（1）100名學(xué)生中高中生有人，初中生有人，設(shè)高中部的學(xué)生人數(shù)為，則有，設(shè)100名學(xué)生中初中生在小時內(nèi)的人數(shù)為，則有，100名學(xué)生中高中生在小時內(nèi)的人數(shù)為人，因此全校學(xué)生中課外閱讀時間在小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)估計為：；（2）課外閱讀時間不足10個小時的樣本中，初中學(xué)生人數(shù)為人，高中學(xué)生人數(shù)為人，所以，因此有，，，所以的分布列如下：的數(shù)學(xué)期望為；（3），理由如下：，則，，則，，，則，，則，，則.19．已知函數(shù)，在點處的切線方程是.(1)求，的值；(2)設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】(1)(2)見解析 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2），求函數(shù)的零點個數(shù)即與圖象的交點個數(shù)，對求導(dǎo)，求出的單調(diào)性和極值，畫出的圖象，結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】（1）因為，所以，又因為在點處的切線斜率為，又，求得：.（2）由（1）知，，令，則，求函數(shù)的零點個數(shù)即與圖象的交點個數(shù)，，，令，解得：；令，解得：或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，的圖象如下：  當(dāng)或，與圖象有1個交點，當(dāng)或，與圖象有2個交點，當(dāng)，與圖象有3個交點.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上有最小值，求的取值范圍；(3)如果存在，使得當(dāng)時，恒有成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值情況作答.（3）變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討恒成立的k的范圍作答.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得：，則，而，所以曲線在點處的切線方程為.（2），，函數(shù)，求導(dǎo)得：，顯然恒有，則當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意；當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)在上有最小值，的取值范圍是.（3），因為存在，使得當(dāng)時，恒有成立，則有存在，使得當(dāng)時，，令，即有，恒成立，求導(dǎo)得，令，，因此函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，成立，從而，當(dāng)時，，，則存在，使得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，不符合題意，所以的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.21．若數(shù)列中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為“數(shù)列”．(1)分別判斷數(shù)列1，2，3，4，與數(shù)列2，6，8，12是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列的通項公式為，判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由；(3)已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證為“數(shù)列”．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析； 【分析】（1）根據(jù)題中定義判斷（2）假設(shè)存在三項成等比數(shù)列后列方程，判斷是否有解（3）假設(shè)存在三項成等比數(shù)列后列方程，找出一組解【詳解】（1）數(shù)列1，2，3，4，是“數(shù)列”，數(shù)列2，6，8，12不是“數(shù)列”．因為數(shù)列1，2，3，4，中“”構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列1，2，3，4，是“數(shù)列”；因為數(shù)列2，6，8，12中“”，“”，“”，“”均不能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列2，6，8，12不是“數(shù)列”；（2）不是“數(shù)列”．假設(shè)是“數(shù)列”，因為是單調(diào)遞增數(shù)列，即中存在的 （）三項成等比數(shù)列，也就是，即，，兩邊時除以得，等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)．所以數(shù)列中不存在三項按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列．綜上可得不是“數(shù)列”．（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，假設(shè)存在三項使得，成立，即，展開得，當(dāng)既是與的等比中項，又是與的等差中項時，原命題成立；所以中存在成等比數(shù)列．所以，數(shù)列為“數(shù)列”． 

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