2022-2023學年山東省日照市嵐山區(qū)第一中學高二下學期5月月考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，且，則的值可能為（    ）A． B． C．0 D．1【答案】C【解析】化簡集合得范圍，結(jié)合判斷四個選項即可.【詳解】集合，四個選項中，只有，故選：C．【點睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題2．已知，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】或或；；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.4．函數(shù)的圖像如圖所示，則的解析式可以為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，根據(jù)圖像從奇偶性，定義域等去逐個分析判斷即可【詳解】選項B，是奇函數(shù)，所以不正確；選項C，當時，，所以不正確；選項D，定義域為，所以不正確；故選：A．5．對數(shù)的發(fā)明并非來源于指數(shù)，而是源于數(shù)學家對簡化大數(shù)運算的有效工具的追求.其關(guān)鍵是利用對應(yīng)關(guān)系：.觀察下表：…131415…272829……81921638432768…134217728268435456536870912…已知299792.468是光在真空中的速度，3153600是一年的總秒數(shù)(假設(shè)一年365天)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算，則一定落在區(qū)間（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對數(shù)運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【詳解】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，，，，即故選：C．6．設(shè)a=0.9，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，再由單調(diào)性可比較大小.【詳解】令，因為所以，當時，，單調(diào)遞減，所以，即，；令，因為所以，當時，，單調(diào)遞增，所以，即，，即.綜上，.故選：B7．已知函數(shù)，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和兩種情況分別解不等式即可【詳解】當時，即時，，即，所以，即，所以無解．當，即，所以，，，又，所以．故選B．8．已知函數(shù)（其中），，且函數(shù)的兩個極值點為.設(shè)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而比較的大小關(guān)系，然后根據(jù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，，因為函數(shù)的兩個極值點為，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．所以.又因為，所以是減函數(shù)，所以.故選：B. 二、多選題9．已知正數(shù)，滿足，則（    ）A．有最大值 B．有最小值8C．有最小值4 D．有最小值【答案】ACD【分析】A由即可確定最大值；B利用基本不等式“1”的代換有即可求最小值；C將代入，利用基本不等式即可求最小值；D將代入，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】A：，則當且僅當，時取等號，正確；B：，當且僅當時取等號，錯誤；C：，當且僅當時取等號，正確；D：，故最小值為，正確.故選：ACD10．已知函數(shù)，則（    ）A．為奇函數(shù) B．為減函數(shù)C．有且只有一個零點 D．的值域為【答案】ACD【分析】化簡函數(shù)解析式，分析函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域，零點即可求解.【詳解】，，故為奇函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，，，，，，即函數(shù)值域為令，即，解得，故函數(shù)有且只有一個零點0．綜上可知，ACD正確，B錯誤．故選：ACD11．數(shù)列滿足，，，定義函數(shù)是數(shù)列的特征函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．當時，數(shù)列單調(diào)遞增B．當時，C．當時，D．當方程有唯一解時，存在，對任意，都有【答案】BC【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項；推導出數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可判斷B選項；利用數(shù)學歸納法可判斷C選項；取，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可判斷D選項.【詳解】對于A，當時，，故數(shù)列單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，當時，，則，故數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，則，所以，，故B正確；對于C，當時，則，因為，則，故，根據(jù)數(shù)列迭代遞推，不完全歸納可猜想成立，證明如下：（1）當時，；（2）假設(shè)當時，，則當時，，，則.綜上，故C正確；對于D，取，則有唯一的解，則，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，所以，，當時，，D錯.故選：BC.【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法：（1）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當出現(xiàn)時，用累加法求解；（4）當出現(xiàn)時，用累乘法求解.12．已知函數(shù)在處取得極值，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．C．函數(shù)的圖像與直線只有一個公共點D．對任意的【答案】ACD【分析】由函數(shù)在處取得極值，求得，即可判斷A；欲證，只需證，求得即可判斷B；欲證與只有一個交點，只需證只有一個根，結(jié)合B項結(jié)論，即可判斷C；由時，，即，結(jié)合對數(shù)運算，即可判斷D.【詳解】對于A，因為函數(shù)在處取得極值，所以，，解得，故A正確.即對于B，因為真數(shù)，所以所以，欲證，只需證因為，定義域為所以，令，解得所以當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，故B錯誤對于C，欲證與只有一個交點，只需證只有一個根，即證只有一個根，即只有一個根，由上述可得在遞減，在遞增，所以，故C正確對于D，由上述得恒成立，即恒成立，所以當時，，即因為所以且所以，即證，故D正確故選:ACD. 三、填空題13．已知等比數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，則___________．【答案】10【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【詳解】因為等比數(shù)列中，，所以，因為，則由等差數(shù)列的性質(zhì)得．故答案為：10．14．已知奇函數(shù)，則______.【答案】7【分析】結(jié)合分段函數(shù)以及函數(shù)的奇偶性，求出時，的解析式即可求出結(jié)果.【詳解】當時，，，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以.所以.故答案為：715．函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為______.【答案】【分析】先求出原函數(shù)的導數(shù)，再分段討論恒成立時的a值范圍即可得解.【詳解】，因函數(shù)在上為增函數(shù)，則恒成立，即，時，，而在上遞增，即，當且僅當時取“=”，于是有，時，，而在上遞增，即，當且僅當時取“=”，于是有，綜上得.故答案為：16．對于函數(shù)，若存在，使，則點與點均稱為函數(shù)的“準奇點”．已知函數(shù)，若函數(shù)存在5個“準奇點”，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】由題意可得：，所以是函數(shù)的一個“準奇點”，其余還有兩對，函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象恰好與有兩個交點，即有兩個正根，即有兩個正根，構(gòu)造函數(shù)求導判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】因為，所以是函數(shù)的一個“準奇點”．若函數(shù)存在5個“準奇點”，原點是一個，其余還有兩對，即函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象恰好與有兩個交點，而函數(shù)關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，即有兩個正根，即有兩個正根，令，，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，當無窮大時，無窮大，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為： 四、解答題17．設(shè)不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求集合；（2）條件：，條件：，是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解一元二次不等式即可求解.（2）解一元二次不等式求出，根據(jù)充分條件可得，再由集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】解：（1）因為，即，所以.（2）因為不等式，所以，得，所以.因為：，：，是的充分條件，所以.因為，所以且，所以實數(shù)的取值范圍是18．數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）求出，再得到，即可證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）由（1）知，，得到，即得解.【詳解】解：（1）因為，當時，，，，所以，當時，，所以，即，數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，，而，所以當時，，所以數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由（1）知，，因為，所以.數(shù)列的前項和19．已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)，函數(shù)只有一個零點，求實數(shù) 的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用函數(shù)為偶函數(shù)推出的值，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程只有一個根，利用換元法進行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】（1）由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，則對恒成立，解得.（2）由只有一個零點，所以方程有且只有一個實根，即方程有且只有一個實根，即方程有且只有一個實根，令，則方程有且只有一個正根，①當時，，不合題意；②當時，因為0不是方程的根，所以方程的兩根異號或有兩相等正根，由，解得或，當，則不合題意，舍去；當，則，符合題意，若方程有兩根異號，則，所以，綜上，的取值范圍是.20．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，已知，，，.（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，列方程組解得后可得通項公式；（2）求出，當時，，，時，和式用錯位相減法求解．【詳解】解：（1）因為是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0．設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，解得，，故，.（2）數(shù)列滿足；當時，；當時，令則，兩式相減得，，整理得，所以，綜上，.21．如圖，某廣場內(nèi)有一半徑為米的圓形區(qū)域，圓心為，其內(nèi)接矩形的內(nèi)部區(qū)域為居民的健身活動場所，已知米，為擴大居民的健身活動場所，打算對該圓形區(qū)域內(nèi)部進行改造，方案如下：過圓心作直徑，使得，在劣弧上取一點，過點作圓的內(nèi)接矩形，使，把這兩個矩形所包括的內(nèi)部區(qū)域均作為居民的健身活動場所，其余部分進行綠化，設(shè).（1）記改造后的居民健身活動場所比原來增加的用地面積為（單位：平方米），求的表達式（不需要注明的范圍）；（2）當取最大值時，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)與相交于點，與相交于點，求出，，即得解；（2）利用導數(shù)求函數(shù)取最大值時的值得解.【詳解】解：（1）設(shè)與相交于點，與相交于點，依題得，，，，則，由得，，所以，即.（2），，令，得或（不合題意，舍去），由得，設(shè)，則，則，①當時，，單調(diào)遞增；②當時，，單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值．22．已知函數(shù).（1）若在點處的切線方程為，求的最小值；（2）若，為函數(shù)圖像上不同的兩點，直線與軸相交于正半軸，求證：.【答案】（1）0；（2）證明見解析.【分析】（1）先利用導數(shù)的幾何意義求切線，得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求其最小值即可；（2）先設(shè)，利用直線的方程得到，構(gòu)造函數(shù)，并研究其單調(diào)性，判斷時不符合題意，再驗證時結(jié)論成立，時等價于證明，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性證得，即證結(jié)論.【詳解】解：（1）曲線在點處的切線方程為，即，而，即，所以切線為，所以，，.令，，所以時，，時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為0；（2）不妨假設(shè)，直線的斜率為，直線的方程為，即．由題意可知，，即，所以，設(shè)，則，，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，①若，則，這與矛盾，故不符合題意；②若，則，此時滿足題意，有；③若，則，即，要證，即證，即證，而，故只要證明即可．設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以．綜上所述，命題得證．【點睛】方法點睛：證明不等式恒成立時，通常根據(jù)不等式直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的方法，討論研究函數(shù)的單調(diào)性并求最值，即可證得結(jié)論. 

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