2022-2023學年廣東省廣州市執(zhí)信中學高二下學期5月月考數(shù)學試題 一、單選題1．設復數(shù)滿足，則復平面內與對應的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則可得，即可得到答案.【詳解】因為，所以，所以復平面內與對應的點位于第一象限，故選：A2．在 中，，，． 是 邊上的動點，則 的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】假設，根據(jù)向量的加法、減法運算，用表示分別出，結合數(shù)量積公式以及函數(shù)單調性，可得結果.【詳解】設，所以又，可知所以化簡可得又，，所以則即，又在遞增所以故故選：A3．已知，離散型隨機變量的分布列如下表，若，則（    ）02PmnA． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分和分類討論，再結合概率之和為0求出，根據(jù)離散型隨機變量的期望公式求解即可.【詳解】若，即時，則，不符合；若，即時，，符合，則，則.故選：C4．對于兩個平面和兩條直線，下列命題中真命題是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行垂直的位置關系判斷．【詳解】A中可能在內，A錯；B中也可能在內，B錯；與可能平行，C錯；，則或，若，則由得，若，則內有直線，而易知，從而，D正確．故選D．【點睛】本題考查線面平行與垂直的關系，在說明一個命題是錯誤時可舉一反例．說明命題是正確時必須證明．5．如圖，某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有（    ）種.  A．40 B．80 C．120 D．160【答案】C【分析】將此類問題看成涂色問題，根據(jù)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理討論.【詳解】根據(jù)圖示，區(qū)域3和6、區(qū)域3和5、區(qū)域2和5、區(qū)域2和4、區(qū)域4和6不相鄰，可以栽種相同顏色的花.因為要栽種4種不同顏色的花，所以分為5類：第一類：區(qū)域3和6同色且區(qū)域2和4同色：種；第二類：區(qū)域3和6同色且區(qū)域2和5同色：種；第三類：區(qū)域3和5同色且區(qū)域2和4同色：種；第四類：區(qū)域4和6同色且區(qū)域2和5同色：種；第五類：區(qū)域4和6同色且區(qū)域3和5同色：種；所以，共有種.故選：C6．函數(shù)在區(qū)間上是單調的，若的最大值為，則的值為（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】由題意知，函數(shù)的最小正周期，利用輔助角公式，得，再由，得解.【詳解】，因為函數(shù)在區(qū)間上是單調的，且的最大值為，所以最小正周期，所以，即.故選：B.7．已知是定義在上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為且當時，，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】構造新函數(shù)，利用導數(shù)確定的單調性，從而可得時的正負，利用奇函數(shù)性質得出時的正負，然后分類討論解不等式．【詳解】設，則，所以在上遞增，又，所以時，，此時，所以，時，，此時，，所以，所以時，，因為是奇函數(shù)，所以時，，由得或，所以或．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數(shù)解不等式，關鍵是構造新函數(shù)，利用導數(shù)確定單調性后，得出的解．8．已知正方體的棱長為，以為球心，半徑為2的球與底面的交線的長度為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意算出平面截球所得小圓的半徑，運用公式求解弧長即可.【詳解】因為正方體的棱長為，球以為球心，半徑為2，  所以底面截得的圓的半徑為，所以交線的長度為.故選：C 二、多選題9．某質量指標的測量結果服從正態(tài)分布，則在一次測量中（    ）A．該質量指標大于80的概率為0.5B．越大，該質量指標落在的概率越大C．該質量指標小于60與大于100的概率相等D．該質量指標落在與落在的概率相等【答案】AC【分析】利用正態(tài)分布曲線的特點及性質逐項分析即得.【詳解】∵某質量指標的測量結果服從正態(tài)分布，∴該質量指標的測量結果的概率分布關于80對稱，且方差越小分布越集中，對于A，該質量指標大于80的概率為0.5，故A正確；對于B，越大，該質量指標落在的概率越小，故B錯誤；對于C，該質量指標小于60與大于100的概率相等，故C正確；對于D，由于概率分布關于80對稱，故該質量指標落在的概率大于落在的概率，故D錯誤.故選：AC.10．已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，則（    ）A．為等比數(shù)列 B．為等比數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．不為等比數(shù)列【答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，驗證各選項中的數(shù)列是否正確.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q，當時，，不是等比數(shù)列，故A錯誤；因為，故是公比為的等比數(shù)列，故B正確；，故是公比為的等比數(shù)列，故C正確；若為等比數(shù)列，則有，即，化簡得，不合題意，所以不為等比數(shù)列，故D正確.故選：BCD11．已知拋物線的準線為，點在拋物線上，以為圓心的圓與相切于點，點與拋物線的焦點不重合，且，，則（    ）A．圓的半徑是4B．圓與直線相切C．拋物線上的點到點的距離的最小值為4D．拋物線上的點到點，的距離之和的最小值為4【答案】AC【分析】由拋物線的定義，得，又，，易得是等邊三角形，結合圖像得到，即可求解；求得的坐標，則判斷出A和B選項；對于C選項，設，利用兩點間的距離公式得到，結合二次函數(shù)的圖象性質，得到的最小值；設交于點，通過拋物線的定義結合三點共線得，，當且僅當、、三點共線時取得最小值，即可判斷D選項.【詳解】由拋物線的定義，得，，準線以為圓心的圓與相切于點，所以，即軸，又，所以；因為，所以是等邊三角形，即；設點在第一象限，作的中點，連接，，，則，即，解得：，則拋物線的方程為：，則=3，對于A選項，有，故A選項正確；對于B選項，，所以，易得圓與直線不相切，故B選項錯誤；對于C選項，設拋物線上的點，則化簡，得，當且僅當時等號成立，故C選項正確；對于D選項，設過點作準線的垂線交于點，由拋物線的定義，知，則，當且僅當、、三點共線時取得最小值，所以，故D選項錯誤；故選：AC.12．一個籠子里關著10只貓，其中有4只黑貓?6只白貓，把籠子打開一個小口，使得每次只能鉆出1只貓，貓爭先恐后地往外鉆，如果10只貓都鉆出了籠子，事件表示“第只出籠的貓是黑貓”，，則（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】10只貓先后出籠的順序為，第只出籠的貓是黑貓，即可先從4只黑貓中選出已知，而其余9個位置的貓們可任意排列，即可得到，對A，事件表示“第1，2只出籠的貓都是黑貓”，即可求解判斷；對B，事件表示“第1只或第2只出籠的貓是黑貓”，則根據(jù)即可求解判斷；對C，D，結合條件概率公式即可求解判斷.【詳解】由題， ，事件表示“第1，2只出籠的貓都是黑貓”，則，故A錯誤；事件表示“第1只或第2只出籠的貓是黑貓”，則，故B正確；則，故C正確；事件表示“第2，10只出籠的貓是黑貓”，則，則，故D正確，故選：BCD 三、填空題13．展開式中的常數(shù)項為          .【答案】【分析】利用二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，求得參數(shù)r的值，即可求得答案.【詳解】由題意的展開式的通項為 ，令，故展開式中的常數(shù)項為，故答案為：6014．函數(shù)的極大值為          .【答案】0【分析】先求導求解函數(shù)單調性，再結合極值定義求解即可.【詳解】函數(shù)的導數(shù)，令，則或，所以在單調增，在單調遞減，所以的極大值為.故答案為：015．已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為          ．【答案】【詳解】試題分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，則由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|設點（x0，y0）由焦點半徑公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,則a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由橢圓的幾何性質知：x0＞-a則>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故橢圓的離心率：e∈(-1，1)，故答案為(-1，1)．【解析】本題主要考查了橢圓的定義，性質及焦點三角形的應用，特別是離心率應是橢圓考查的一個亮點，多數(shù)是用a，b，c轉化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．點評：解決該試題的關鍵是能通過橢圓的定義以及焦點三角形的性質得到a,b,c的關系式的轉換，進而得到離心率的范圍． 16．試寫出一個定義域為R，且滿足如下三個條件的函數(shù)的解析式          .①是偶函數(shù)；②，；③在區(qū)間上恰有2個零點.【答案】（結果不唯一）【分析】根據(jù)給定的三個條件得出函數(shù)的對稱性，從而找出一個滿足條件的函數(shù)即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以關于對稱；因為，，所以關于對稱；又因為在區(qū)間上恰有2個零點，所以滿足以上三個條件的函數(shù)的一個解析式為.故答案為：（結果不唯一） 四、解答題17．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A為銳角，.(1)求A；(2)若，且邊上的高為，求c.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知結合正、余弦定理進行化簡即可求得,進而求得A；（2）由已知結合三角形面積公式可得a，b，c之間的關系，然后結合余弦定理求得a，進而求得c.【詳解】（1）由，可得，因為，所以，因為，所以.由正弦定理可得，因為，所以，又因為A為銳角，所以.（2）由且，從而，即，，由余弦定理，得，所以.18．已知的前n項和為，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明過程見解析 【分析】（1）用代換，兩式相減后構造常數(shù)列即可求出通項公式；（2）根據(jù)數(shù)列的通項公式得到，再運用裂項相消法和等比數(shù)列求和法求出，通過比較即可證明.【詳解】（1）因為，所以當時，，兩式相減得，，所以，所以所以，所以為常數(shù)列，恒等于，所以，.（2）由（1）知，，所以，因為，所以，所以，原式得證.19．設甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有2個白球，3個紅球，這些球除了顏色之外完全相同.(1)如果從甲盒任取1球放入乙盒，再從乙盒任取1球，求從乙盒取出的球為紅球的概率.(2)某超市進行促銷活動，顧客可以在A，B兩個活動中任選其一參加（甲乙兩盒如初始狀態(tài)）.活動A：每次有放回地從甲盒中隨機取出一個球，重復三次，每取出一個紅球得1張代金券；活動B：每次不放回地從乙盒中隨機取出一個球，直到取到白球為止，每取出一個紅球得1張代金券.所有代金券的面額都是相同的.從預期收益的角度看，哪個活動對顧客更有利？【答案】(1)(2)活動 【分析】（1）根據(jù)題意，直接運用全概率公式進行求解即可；（2）分別計算活動A和活動B的數(shù)學期望，比較兩者大小即可判斷出哪個活動對顧客更有利.【詳解】（1）記“從乙盒任取1球，求從乙盒取出的球為紅球”為事件，“從甲盒任取1球放入乙盒，該球為紅球”為事件，則：從甲盒任取1球放入乙盒，該球為白球；所以.所以從甲盒任取1球放入乙盒，再從乙盒任取1球，求從乙盒取出的球為紅球的概率為.（2）記參加活動獲得張代金券，由題意可知，，則（張）；記參加活動獲得張代金券，的可能取值為0，1,2,3，,，，，所以（張）；因為，所以從預期收益的角度看，活動對顧客更有利20．如圖，四棱錐中，平面，，，，M為棱上一點.  (1)若M為的中點，證明：平面；(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取中點，連接和，通過證明平面和平面，從而證明平面平面，通過面面平行的性質即可證明平面；（2）取中點，作交于，連接，證明出平面，然后以為坐標原點，為正交基底建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）取中點，連接和，因為，，且為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面，因為M，N分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，，所以平面平面，因為平面，所以平面（2）取中點，作交于，連接，因為，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以，以為坐標原點，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標系，  、、、、.所以，.設平面的法向量，又因為平面，所以，取，，，則.又因為，所以.所以直線和平面所成角正弦值為.21．在平面直角坐標系中，焦點在x軸上的雙曲線C過點，且有一條傾斜角為的漸近線.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設點F為雙曲線C的右焦點，點P在C的右支上，點Q滿足，直線交雙曲線C于A，B兩點，若，求點P的坐標.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)條件列出關于的方程，求解即可；（2）根據(jù)雙曲線方程，求得右焦點，設，分直線AB斜率不存在和存在兩種情況，由得，結合韋達定理求出答案．【詳解】（1）設雙曲線C的標準方程為，漸近線方程為，則由題意可得，，且， 解得，則雙曲線C的標準方程為；（2）雙曲線的方程為，所以的右焦點，點Q滿足，則P為OQ的中點，設，則，  若直線AB的斜率不存在，則其方程為，此時，m＝1，Q與F重合，不合題意；若直線AB的斜率存在，設，m≠1，∵，∴，∴，∵點P在雙曲線C上，∴，∴，即，聯(lián)立消去得．所以，設，則，∵，∴，∴，∴，即∴，解得，，符合題意，所以，點P的坐標．22．設函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)證明：當時，的圖象與的圖象有2條公切線.【答案】(1)單調增區(qū)間為 ，單調減區(qū)間為.(2)證明見解析 【分析】（1）先對函數(shù)求導，再令求根，判斷導數(shù)的正負即可；（2）分別設出切點，表示出切線，根據(jù)題意，切線的斜率和縱截距分別相等列出方程組，化簡后得出，轉化為的圖象與直線有兩個不同的交點，研究的值域即可.【詳解】（1）由題意知，定義域為.，因為，令得，，當，，在單調遞增；當，，在單調遞減；故的單調增區(qū)間為 ，單調減區(qū)間為.（2），.設分別是的圖象與的圖象上的點,則函數(shù)在處的切線為，即；函數(shù)在處的切線為，即.要使的圖象與的圖象有2條公切線，需滿足有兩組解，整理后得，令，則的圖象與直線有兩個不同的交點.，令，則，故在上單調遞減，即在上單調遞減.又，所以存在，使，即.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；故，.又因為單調遞增，所以，即.當無限趨近于0時，趨近于；當無限趨近于時，趨近于.故當時，的圖象與的圖象有2條公切線.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵是把公切線問題轉化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，利用隱零點求出函數(shù)的最大值，即可得證. 

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