2022-2023學(xué)年廣東省湛江市第二中學(xué)高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知隨機(jī)變量的分布列為01則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)概率之和為1可得.【詳解】由題意：，可得：.故選：D.2．在等差數(shù)列中，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出，再利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】在等差數(shù)列中，，則，因此，.故選：D.3．在等比數(shù)列中，，且，則的前項(xiàng)和為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出的值，再利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且對(duì)任意的，，由可得，解得，因?yàn)?/span>，則，所以，，因此，的前項(xiàng)和為.故選：C.4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（    ）A．60 B．24 C． D．【答案】B【分析】首先寫出展開(kāi)式通項(xiàng)，再考慮通項(xiàng)與相乘得到含的項(xiàng)，即可得系數(shù).【詳解】由的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式項(xiàng)為，故系數(shù)為.故選：B5．已知，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的特點(diǎn)，即可求解.【詳解】，所以，故選：C6．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.【詳解】因?yàn)?/span>，則，所以，，，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A.7．《易系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這個(gè)數(shù)中任取個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)中至少有個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】本題首先可以根據(jù)題意確定個(gè)數(shù)中的陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)，然后求出任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)以及任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率，最后兩者相加，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，個(gè)數(shù)中，、、、、是陽(yáng)數(shù)，、、、、是陰數(shù)，若任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)，則，若任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)，則，故這個(gè)數(shù)中至少有個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布的概率計(jì)算，從有限的個(gè)物品（包括個(gè)指定物品）中抽取個(gè)物品，若抽取的個(gè)物品中有個(gè)指定物品，則概率，考查計(jì)算能力，是中檔題.8．已知奇函數(shù)是上的增函數(shù)，，若，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而判斷即可求解.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，且.又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以是上偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，所以，則，所以，故選：D. 二、多選題9．關(guān)于的展開(kāi)式，下列判斷正確的是(    )A．展開(kāi)式共有8項(xiàng) B．展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128C．展開(kāi)式的第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為49 D．展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為【答案】ABD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】展開(kāi)式共有項(xiàng)，故A正確．展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故B正確．展開(kāi)式的第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故C錯(cuò)誤．展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，故D正確．故選：ABD．10．已知函數(shù)，.下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)不存在最大值，也不存在最小值 B．函數(shù)存在極大值和極小值C．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)的極小值就是的最小值【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作出圖形，求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)、極值的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，且，，如圖，  所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，極小值即為最小值，且函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.故選：BCD.11．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則（    ）A．事件與事件相互獨(dú)立 B．C． D．【答案】BD【分析】由全概率公式可計(jì)算得到D正確；根據(jù)貝葉斯公式可知B正確；根據(jù)可知C錯(cuò)誤；由可知A錯(cuò)誤.【詳解】由題意知：，，，，，，，D正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；，，，事件與事件不相互獨(dú)立，A錯(cuò)誤.故選：BD.12．已知數(shù)列，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)（無(wú)論多?。偞嬖谡麛?shù)，使得時(shí)，恒有成立，就稱數(shù)列收斂于（極限為），即數(shù)列為收斂數(shù)列.下列結(jié)論正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列是一個(gè)收斂數(shù)列B．若數(shù)列為收斂數(shù)列，則，使得，都有C．若數(shù)列和為收斂數(shù)列，而數(shù)列一定為收斂數(shù)列D．若數(shù)列和為收斂數(shù)列，則數(shù)列不一定為收斂數(shù)列【答案】ABC【分析】根據(jù)新定義證明是一個(gè)收斂數(shù)列，A正確，取得到B正確，證明、一定為收斂數(shù)列，得到C錯(cuò)誤D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：存在，取，，當(dāng)時(shí)，，則是收斂數(shù)列，A正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，中最大的項(xiàng)為，取，則，B正確；對(duì)選項(xiàng)C：對(duì)任意的，取，當(dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，則，故數(shù)列一定為收斂數(shù)列，C正確；對(duì)選項(xiàng)D：對(duì)任意的，令，取，當(dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)時(shí)，恒有，故當(dāng)時(shí)，則，故數(shù)列一定為收斂數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用數(shù)列的新定義，構(gòu)造類似的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵. 三、填空題13．某活動(dòng)小組有4男3女共7名學(xué)生在博物館參觀后排隊(duì)合影留念．若這7人排成一排，且3名女生互不相鄰，則共有        種不同的排法．【答案】1440【分析】根據(jù)題意，女生互不相鄰，屬于不相鄰問(wèn)題，所以先排其他人，再把女生插入排好的空檔中即可.【詳解】先把四個(gè)男生排成一排有種排法，在每一種排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女生插入空檔中有種方法，所以共有種不同方法.故答案為：1440.14．花店還剩七束花，其中三束郁金香，兩束白玫瑰，兩束康乃馨，李明隨機(jī)選了兩束，已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為        ．【答案】/【分析】使用條件概率進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件“兩束花是同一種花”，事件“兩束花都是郁金香”，則積事件“兩束花都是郁金香”，事件中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，積事件中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，∴已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為.故答案為：.15．在國(guó)際自然災(zāi)害中，中國(guó)救援力量為挽救生命做出了重要貢獻(xiàn)，完美地展示了國(guó)家形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得榮譽(yù)．某國(guó)際救援團(tuán)隊(duì)擁有6個(gè)醫(yī)療小組和8個(gè)搶險(xiǎn)小組，現(xiàn)分別去兩個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，每個(gè)救援點(diǎn)至少需要2個(gè)醫(yī)療小組和4個(gè)搶險(xiǎn)小組，則不同的分配方式一共有        種．（用數(shù)字作答）【答案】3500【分析】先分醫(yī)療小組再分搶險(xiǎn)小組，按小組數(shù)先分組后分配即可求得答案.【詳解】第一步分配醫(yī)療小組，先按2：4或3：3分兩組再分配到兩個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，共有；第二步分配搶險(xiǎn)小組，只能按4：4分組再分配到兩個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，共有，因此，共有種，故答案為：350016．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圖是      .【答案】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)后，代入不等式則可將不等式化為，根據(jù)恒成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】，即為，整理得到，即，使得恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量和函數(shù)最值之間大小關(guān)系的比較問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)基本不等式求解函數(shù)最值得到結(jié)果. 四、解答題17．如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，過(guò)點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，，.  (1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由正弦定理將條件等式角化邊，再由余弦定理求解即可；（2）先求出，再用正弦定理求出，然后求和，即可求出的面積.【詳解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）問(wèn)，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面積.18．己知的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，當(dāng)時(shí)，計(jì)算得出，利用裂項(xiàng)相消法可求得，然后檢驗(yàn)是否滿足在時(shí)的表達(dá)式，即可得出的表達(dá)式.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足，因此，.（2）解：，當(dāng)時(shí)，，則，也滿足，故對(duì)任意的，.19．如圖1，在梯形ABCD中，，，，E為CD中點(diǎn)，將沿AE翻折，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，如圖2．(1)證明：PB⊥AE；(2)當(dāng)二面角等于時(shí)，求PA與平面PEC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，取AE中點(diǎn)為O，連接PO，BO，BE，由線面垂直的判定定理可得平面POB，從而證明PB⊥AE；（2）根據(jù)題意，以O為原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：取AE中點(diǎn)為O，連接PO，BO，BE，由題可知，，又，所以，所以，，又平面POB，所以平面POB，又因?yàn)?/span>平面POB，所以． （2）因?yàn)槎娼?/span>等于，所以平面PAE⊥平面ABCE，平面平面ABCE＝AE，因?yàn)?/span>PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE，所以OA，OB，OP兩兩垂直．以O為原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，不妨設(shè)AB＝2，由已知得，所以，，則，，，，，，，，設(shè)平面PEC的法向量，則，取平面PEC的一個(gè)法向量，設(shè)PA與平面PEC所成角為，則，即PA與平面PEC所成角的正弦值為．20．2023年春節(jié)期間，電影院有多部新片上映，某傳媒公司調(diào)查了消費(fèi)者的購(gòu)票途徑，數(shù)據(jù)顯示超八成用戶選擇線上購(gòu)買電影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H這8個(gè)線上購(gòu)票平臺(tái)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了200名線上消費(fèi)者并統(tǒng)計(jì)他們?cè)谶@8個(gè)平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)（假設(shè)每個(gè)消費(fèi)者只選用一個(gè)購(gòu)票平臺(tái)購(gòu)買春節(jié)檔電影票）以及曾經(jīng)使用過(guò)這8個(gè)平臺(tái)購(gòu)買電影票的人數(shù)（每個(gè)消費(fèi)者可用多個(gè)平臺(tái)購(gòu)買電影票），得到如下表格： ABCDEFGH購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)4030303030201010曾經(jīng)購(gòu)買過(guò)電影票的人數(shù)9288808070622515(1)把樣本消費(fèi)者中曾經(jīng)在每個(gè)平臺(tái)上購(gòu)買電影票的頻率作為線上消費(fèi)者在相應(yīng)平臺(tái)上購(gòu)買電影票的概率，從所有線上消費(fèi)者中隨機(jī)抽取4人，求恰有2人在C平臺(tái)上購(gòu)買電影票的概率．(2)現(xiàn)從樣本中在A，D，E平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的消費(fèi)者中按照分層抽樣的方法抽取n個(gè)人，已知抽取的在A平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)比在D平臺(tái)與E平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)之和少2．①求n的值；②從抽取的n個(gè)人中再隨機(jī)抽取4人，記這4人中在E平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)① ；②分布列見(jiàn)解析；期望為 【分析】（1）n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)求解即可；（2）先應(yīng)用分層抽樣再根據(jù)超幾何分布列分布列求數(shù)學(xué)期望即得.【詳解】（1）由題可得線上消費(fèi)者在C平臺(tái)上購(gòu)買電影票的概率為，所以從所有線上消費(fèi)者中隨機(jī)抽取4人，恰有2人在平臺(tái)上購(gòu)買電影票的概率為．（2）①設(shè)按照分層抽樣的方法抽取的在A平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)為4x，則抽取的在D平臺(tái)與平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)之和為6x，所以，得，所以．②由題及①易知抽到的10個(gè)人中，在平臺(tái)上購(gòu)買春節(jié)檔電影票的人數(shù)為3，所以X的所有可能取值為0，1，2，3． ，，，，所以的分布列為X0123P．21．乒乓球是中國(guó)的國(guó)球，我國(guó)選手取得世界乒乓球比賽的大部分冠軍，甚至多次包攬整個(gè)賽事的所有冠軍，乒乓球運(yùn)動(dòng)也深受人們的喜愛(ài)．乒乓球主要有白色和黃色兩種，國(guó)際乒聯(lián)將球的級(jí)別用星數(shù)來(lái)表示，星級(jí)代表質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)，星級(jí)越高質(zhì)量越好，級(jí)別最高為“☆☆☆”，即三星球，國(guó)際乒聯(lián)專業(yè)比賽指定用球，二星球適用于國(guó)內(nèi)重大比賽及國(guó)家隊(duì)專業(yè)訓(xùn)練，一星球適用于業(yè)余比賽或健身訓(xùn)練．一個(gè)盒子裝有9個(gè)乒乓球，其中白球有2個(gè)三星“☆☆☆”，4個(gè)一星“☆”，黃球有1個(gè)三星“☆☆☆”，2個(gè)一星“☆”(1)逐個(gè)無(wú)放回取兩個(gè)球，記事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立；(2)逐個(gè)無(wú)放回取球，取出白球即停止，取出的三星球數(shù)記為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望．【答案】(1)，相互獨(dú)立(2)分布列見(jiàn)解析， 【分析】（1）分別計(jì)算，，，根據(jù)是否成立判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立；（2）可能取值為,分別計(jì)算 列出分布列并求期望.【詳解】（1）“第二次三星球”的概率：（或）“第一次白球且第二次三星球”的概率：（或）“第一次白球”的概率：，所以.因?yàn)?/span>成立,所以事件與事件相互獨(dú)立.（2）可能取值為,,,,(或),分布列為012所以.22．已知函數(shù).(1)若，試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析. 【分析】（1）求導(dǎo)，求得取得最大值，再分和討論求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，研究時(shí)的情況，在， 上各有一個(gè)零點(diǎn)，即，再將要證，結(jié)合在上遞減和，轉(zhuǎn)化為，然后令，用導(dǎo)數(shù)法證明；【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，， ，，，當(dāng)時(shí)，，在 上遞增；當(dāng) 時(shí)，， 在上遞減；所以，則 ，所以在， 上各有一個(gè)零點(diǎn)；則，且，要證，則證，因?yàn)?/span>在上遞減，所以只需證，又，只需證，令，則，則，設(shè)，則，所以在上遞增，則，即，則在上遞減，則，即，即，則.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)基本思路是：結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，得到，且，將要證，結(jié)合在上遞減，轉(zhuǎn)化為證，由，轉(zhuǎn)化為，令而得解.23．已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）．(1)求橢圓C的方程．(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且斜率為的直線與橢圓C相交于P ，Q兩點(diǎn)，若直線AP與直線AQ的斜率之積為，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)定值為 【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，并與離心率聯(lián)立求出 ；（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，再根據(jù)條件即可證明.【詳解】（1）由題可知，  ，解得， ，故橢圓C的方程為；（2）直線l的方程為，聯(lián)立方程組整理得，則 ，由題意，必須有 ，即 必須滿足 ，此時(shí)，．，整理得，因?yàn)?/span>l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以，所以，即，故k為定值，且該定值為；綜上，橢圓C的方程為，k為定值，且該定值為.【點(diǎn)睛】在計(jì)算過(guò)程中，是對(duì)直線l的k和m的一個(gè)約束，因?yàn)?/span>l必須經(jīng)過(guò)橢圓C內(nèi)部的點(diǎn)；對(duì)的因式分解比較難，不容易看出. 

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