2022學(xué)年第二學(xué)期溫州十校聯(lián)合體期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設(shè)集合則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，而，所以.故選：C2. “”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的概念求解.【詳解】由，得，即，但若，取，則不成立，所以“”是“”的充分不必要條件；故選:A.3. 已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求解.【詳解】因為,所以,所以復(fù)平面復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第一象限,故選:A.4. 對于函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到B. 函數(shù)的圖象可以將函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到C. 若且，則的最小值為D. 若為偶函數(shù)，則【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象的變換判斷AB；通過函數(shù)的周期，轉(zhuǎn)化求解判斷C；利用函數(shù)的奇偶性判斷D即可．【詳解】由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，所以A不正確；將函數(shù)圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到函數(shù)，所以B不正確；因為函數(shù)的周期為，所以且，當(dāng)為最小值時，此時為相鄰的兩個零點，故的最小值為，所以C正確；若為偶函數(shù)，可得函數(shù)，，則，所以D不正確；故選：C．5. 如圖，三棱錐的四個頂點都在球上，平面，，則球的表面積是（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出且，得到與是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出，所以、、、四點在以為球心的球面上．根據(jù)題中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理算出長，進(jìn)而得到球半徑，利用球的表面積公式加以計算，可得答案．【詳解】取的中點，連,平面，平面，，又，，平面，平面，，是的斜邊上的中線，．同理可得：中，，，可得、、、四點在以為球心的球面上．中，，，可得，中，，可得．球的半徑，可得球的表面積為．故選：B  6. 已知實數(shù)，其中，則大小關(guān)系是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的值域與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得；利用指數(shù)與對數(shù)的互換判斷；利用對數(shù)的運算法則與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得；從而得解.【詳解】因為，，所以，則；因為，所以，且，所以；因為，所以；綜上：.故選：D.7. 2023年2月10日，神舟十五號三位航天員完成出艙活動全部既定任務(wù)，中國空間站全面建成后的首次出艙活動取得圓滿成功.該航天科研所的甲?乙?丙?丁?戊5位科學(xué)家應(yīng)邀去三所不同的學(xué)校開展科普講座活動，要求每所學(xué)校至少1名科學(xué)家.已知甲?乙到同一所學(xué)校，丙不到學(xué)校，則不同的安排方式有多少種（    ）A. 12種 B. 24種 C. 36種 D. 30種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)排列組合的知識以及分組分配的方法求解.【詳解】因為甲?乙到同一所學(xué)校，所以將甲、乙“捆綁”看成一個元素，因此要將四個元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少1個元素，若A學(xué)校只安排一個元素，則有種分配方法；若A學(xué)校只安排二個元素，則有種分配方法；所以不同的安排方式有24種，故選:B.8. 點在線段上（不含端點），為直線外一點，且滿足，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理推論可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為，所以，又點在線段上（不含端點），所以，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 下列四個選項中，計算結(jié)果是的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換公式以及誘導(dǎo)公式一一求解即可.【詳解】對A，，A正確；對B，，B正確；對C，，C正確；對D，，D錯誤；故選:ABC.10. 關(guān)于平面向量，有下列四個命題，則（    ）A. 已知向量，若，則B. 設(shè)向量，則C. 若向量和向量是單位向量，且，則D. 若向量，則向量在向量上的投影向量是【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平行向量的坐標(biāo)關(guān)系即可判斷A的正誤；根據(jù)向量數(shù)乘的幾何意義即可判斷B的正誤；根據(jù)向量垂直的充要條件及向量數(shù)量積的運算即可判斷C的正誤；根據(jù)投影向量的計算公式即可判斷D的正誤．【詳解】，若，則，即，解得或4，A錯誤；當(dāng)且，且不共線時，，B錯誤；是單位向量，時，，，C正確；，在上的投影向量為：，D正確．故選:CD11. 一個不透明箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球?兩個白球，從中不放回地任取2個球，每次取1個.記事件為“第次取到的球是紅球”，事件為“兩次取到的球顏色相同”，事件為“兩次取到的球顏色不同”，則（    ）A. 與互斥 B. C.  D. 與相互獨立【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用互斥事件的定義即可判斷；對于B，利用古典概型的概率公式即可判斷；對于C，利用條件概率的計算公式即可判斷；對于D，利用獨立事件的概率公式即可判斷.【詳解】對于A，與可以同時發(fā)生，即兩次取到的都是紅球，則與不互斥，故A錯誤；對于B，箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球、兩個白球，則，故B正確；對于C，，，則，故C正確；對于D，，，，則有與相互獨立，故D正確.故選：BCD.12. 是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則下列選項正確的是（    ）A. 4是函數(shù)的一個周期B. 是函數(shù)圖象的一條對稱軸C. 函數(shù)是偶函數(shù)D. 【答案】AB【解析】【分析】利用函數(shù)周期性的概念可求解A，根據(jù)對稱性的定義可求解B，結(jié)合周期性和對稱性可判斷C，利用周期性和對稱性以及時，，可求解D.【詳解】對A，因為，即，則，所以，因此，4是函數(shù)的一個周期，A正確；對B，因為，且是定義在上的奇函數(shù)則，可得，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，B正確；對C，因為，且是定義在上的奇函數(shù)，則，可得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C錯誤；對D，當(dāng)時，，則，所以，D錯誤；故選：AB.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．非選擇題部分三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.13. 的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】分析】利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數(shù)．【詳解】，所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：14. 已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：-2-10125221由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，那么當(dāng)時殘差為__________.（注：殘差觀測值-預(yù)測值）【答案】##【解析】【分析】利用給定數(shù)表及回歸直線方程，求出時的觀測值和預(yù)測值即可計算作答.【詳解】由數(shù)表知，，則，因此時的觀測值為，而時的預(yù)測值為，所以當(dāng)時殘差為.故答案為：15. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有3個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上有且只有3個零點，所以，解得，故答案為: .16. 已知為正三角形，其邊長是2，空間中動點滿足：直線與平面所成角為，則面積的最小值為__________.【答案】##1.5【解析】【分析】根據(jù)線面角可求三棱柱的高，進(jìn)而利用等體積法即可判斷當(dāng)平面時，面積取得最小值，由體積公式即可求解.．【詳解】過作平面，由于與平面所成角為，所以，故，所以三棱錐的體積為,故當(dāng)平面時，面積取得最小值，故故答案為：．  四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 已知，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換公式以及正弦函數(shù)增區(qū)間的求解方法求解；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求值域.【小問1詳解】,令,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】因為得：,所以,所以函數(shù)的值域為.18. 中國國家流感中心3月2日發(fā)布的2023年第8周流感檢測周報稱：本周南?北方省份流感病毒檢測陽性率繼續(xù)上升.某醫(yī)院用甲?乙兩種療法治療流感患者，為了解兩種治療方案的效果，現(xiàn)隨機抽取105名患者，調(diào)查每人的恢復(fù)期，得到如下列聯(lián)表（注：恢復(fù)期大于7天為恢復(fù)期長）方案/人數(shù)恢復(fù)期長恢復(fù)期短甲1045乙2030 （1）是否有95%的把握認(rèn)為“恢復(fù)期長短”與治療方案有關(guān)；（2）現(xiàn)按分層隨機抽樣的方法，從采用乙治療方案的樣本中隨機抽取10人，從這10人中再隨機抽取3人，求其中恢復(fù)期長的人數(shù)的分布列和期望.（3）假設(shè)甲方案治療的恢復(fù)期為，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)近似服從正態(tài)分布，若某患者采用甲方案治療，則7天后是否有大于的把握恢復(fù)健康？請說明理由.0.10.050.0102.7063.8416.635若則，【答案】（1）有95%的把握認(rèn)為“恢復(fù)期長短”與“治療方案”有關(guān)    （2）分布列見解析，1.2    （3）7天后有大于的把握恢復(fù)健康，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立性檢驗方法求解；（2）利用超幾何分布求解；（3）利用正態(tài)分布直接求解.【小問1詳解】由題意可得如下列聯(lián)表：方案/人數(shù)恢復(fù)期長恢復(fù)期短合計甲104555乙203050合計3075105零假設(shè)：“恢復(fù)期長短”與“治療方案”無關(guān),,所以有95%的把握認(rèn)為“恢復(fù)期長短”與“治療方案”有關(guān).【小問2詳解】由分層抽樣得，抽取恢復(fù)期長的為4人，恢復(fù)期短的為6人，根據(jù)題意可取，，，，，可得的分布列為：0123.【小問3詳解】因為，所以又因為所以7天后有大于的把握恢復(fù)健康.19. 在中，角的對邊分別為，且滿足__________.從條件①?條件②這兩個條件中任選一個補充在上面橫線上作為已知，（1）求角；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.條件①：條件②：注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）選①，利用余弦定理即可得到的大??；選②利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正余弦平方和關(guān)系即可求出，則得到的大?。?/span>（2）利用正弦定理解得，再求出的范圍則得到的范圍，最后利用三角形面積公式即可.【小問1詳解】選擇條件①：由題意及正弦定理知，選擇條件②：因為，所以，即，解得，又，所以【小問2詳解】由可得因為是銳角三角形，由（1）知得到，故，解得，所以，則，所以.20. 已知三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，且，平面平面，三棱錐的體積為.  （1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）方法一：利用等體積法求解；方法二：利用線面角的定義作出線面角求解.【小問1詳解】取線段的中點，連接.,平面平面，平面平面,且平面，平面,又,平面,平面,平面,.【小問2詳解】方法一：等體積法，則,因為平面,平面,所以，所以,因為平面,平面,所以，所以,所以為等腰三角形，取中點為，則有,所以，設(shè)點到平面的距離為.，即，即，則，設(shè)直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角的正弦為.方法二：定義法  作交于點，連接,則,過作于，連接.,平面，平面，又平面,平面平面，平面平面平面,平面,是直線與平面所成角,，則,因為平面,平面,所以，所以,因為平面,平面,所以，所以,所以等腰三角形，取中點為，則有,在直角中，根據(jù)等面積法可得，,解得，在則,直線與平面所成角的正弦為.21. 黨的二十大報告中提出：“我們要堅持以推動高質(zhì)量發(fā)展為主題，推動經(jīng)濟實現(xiàn)質(zhì)的有效提升和量的合理增長”.為了適應(yīng)新形勢，滿足市場需求，某企業(yè)準(zhǔn)備購進(jìn)新型機器以提高生產(chǎn)效益.已知生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量，并按照質(zhì)量指標(biāo)值劃分產(chǎn)品等級如圖表1：圖表1質(zhì)量指標(biāo)值產(chǎn)品等級一等品二等品三等品現(xiàn)從試用的新機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取200件作為樣品，檢驗其質(zhì)量指標(biāo)值，得到頻率分布直方圖，如圖表2：  （1）根據(jù)樣本估計總體的思想，求該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的第70百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）整理該企業(yè)的以往銷量數(shù)據(jù)，獲得信息如圖表3：圖表3產(chǎn)品等級一等品二等品三等品銷售率單件產(chǎn)品原售價20元15元10元未按原價售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價的可以全部售出（產(chǎn)品各等級的銷售率為等級產(chǎn)品銷量與其對應(yīng)產(chǎn)量的比值）已知該企業(yè)購進(jìn)新型機器的前提條件是，該機器生產(chǎn)的產(chǎn)品同時滿足下列兩個條件：①質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）不低于35.②單件產(chǎn)品平均利潤不低于4元.已知該新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品的成本為10元/件，月產(chǎn)量為2000件，根據(jù)圖表1?圖表2?圖表3信息，分析該新機器是否達(dá)到企業(yè)的購進(jìn)條件.【答案】（1）46.7    （2）該新型機器沒有達(dá)到該企業(yè)的認(rèn)購條件【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖數(shù)據(jù)信息結(jié)合百分位數(shù)的定義求解；（2）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)計算方法和分布列的數(shù)學(xué)期望公式求解.【小問1詳解】設(shè)該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的第70百分位數(shù)為，由頻率直方圖可知.【小問2詳解】先分析該產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)：由頻率分布直方圖可知，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為故滿足認(rèn)購條件①.再分析該產(chǎn)品的單價平均利潤值：由頻率分布直方圖可知，新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品為一?二?三等品的概率估計值分別為：，故2000件產(chǎn)品中，一?二?三等品的件數(shù)估計值為：件，則2000件產(chǎn)品的總利潤為：元，元，元，元，故2000件產(chǎn)品的單件平均利潤的估計值為，故不滿足認(rèn)購條件②.綜上，該新型機器沒有達(dá)到該企業(yè)的認(rèn)購條件.22. 已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間的值域為，求的值；（2）令，（i）若在上恒成立，求證：；（ii）若對任意實數(shù)，方程恒有三個不等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性即可求解最值，（2）根據(jù)一元二次不等式恒成立轉(zhuǎn)化成判別式不大于0即可求解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布，分類討論或者利用函數(shù)圖象，即可求解.【小問1詳解】由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，即解得【小問2詳解】（i）由題意可得，，若在恒成立，則在恒成立，即，（ii）由題意可得，當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖像無交點或只有一個交點時，方程只有一個實根，不符題意；當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖像的兩個不同交點位于對稱軸的同一側(cè)時，方程只有一個實根，不符題意；以下求解，函數(shù)與函數(shù)圖像的兩個交點位于對稱軸的兩側(cè)時，實數(shù)的取值范圍：設(shè)函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像交于兩點，化簡得，即，解得，所以或.，所以，，即得，當(dāng)時，無解，當(dāng)時，顯然成立，所以綜上所述，.      【點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．  

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